bc0404 Posição relativa de retas e planos

Posição relativa de retas e planos. Sejam {\overrightarrow r} e {\overrightarrow s} vetores diretores das retas {r} e {s}, respectivamente.

Se ({\overrightarrow r}, {\overrightarrow s}) ~\mathrm{\ell.d.} então as retas são paralelas ou coincidentes.

pois {\overrightarrow r \parallel \overrightarrow s} e pra saber se as retas coincidem basta testar se um ponto arbitrário de {r} está em {s}, ou vice-versa. Agora,

Se ({\overrightarrow r}, {\overrightarrow s}) ~\mathrm{\ell.i.} então as retas são reversas ou concorrentes.

serão reversas se e só se {(\overrightarrow r, \overrightarrow s, \overrightarrow{AB}) ~ {\mathrm{\ell.i.~}}} para {A\in r } e {B\in s} quaisquer.

Em resumo, no caso reta-reta duas retas {r} e {s} de {\mathop{\mathbb E}^3} podem ser

  • reversas,
  • concorrentes,
  • paralelas ou
  • coincidentes.

Exemplo 14 As retas {r\colon X=(1,1,1)+\lambda(1,1,1)} e {s\colon X= (0,0,3)+\lambda (2,2,2)} têm vetores diretores paralelos e como {(0,0,3)\in s} mas {(0,0,3)\not\in r} as retas são paralelas. Com relação a reta {t\colon X=(0,0,3)+\lambda(1,2,3)} as retas {r} e {t} tem vetores diretores {{\mathrm{\ell.i.~}}} e tomando {A=(1,1,1)\in r } e {B=(0,0,3)\in s} temos {(\overrightarrow{AB},\overrightarrow r ,\overrightarrow t)} {{\mathrm{\ell.i.~}}} portanto as retas são reversas. As retas {s} e {t} tem vetores diretores {{\mathrm{\ell.i.~}}} e {(0,0,3)} pertence as duas retas, portanto elas são concorrentes.

Com respeito a uma reta {r} e um plano {\pi}, sejam {\overrightarrow r}, {(\overrightarrow p,\overrightarrow q)} os vetores diretores de {r} e {\pi}, respectivamente.

\displaystyle   \boxed{ \textrm{Se } (\overrightarrow p,\overrightarrow q, \overrightarrow r) ~ {\mathrm{\ell.i.~}} \textrm{ ent\~ao a reta \'e transversal ao plano} } \ \ \ \ \ (28)

caso contrário, os vetores {\overrightarrow p,\overrightarrow q, \overrightarrow r} são paralelos ao plano {\pi}

\displaystyle   \boxed{ \textrm{Se } (\overrightarrow p,\overrightarrow q, \overrightarrow r) ~ {\mathrm{\ell.d.~}} \textrm{ ent\~ao a reta est\'a contida ou \'e paralela ao plano} } \ \ \ \ \ (29)

Relembrando a Proposição 8: Se {\pi\colon ax+by+cz+d=0} é e {\overrightarrow u = (u_0,u_1,u_2)}, então {\overrightarrow u} é paralelo ao plano {\pi} se, e só se, {au_0+b u_1+cu_2 = 0}. Com isso, dado {\pi} e tomado {\overrightarrow u = (u_0,u_1,u_2)} o vetor diretor de {r} então

  • se {au_0+b u_1+cu_2 \neq 0}, {r} e {\pi} são transversais;
  • caso contrário, {r} e {\pi} não são transversais e para saber se {r} está contida em {\pi} basta testar se {A\in r} arbitrário está em {\pi}, senão {r \parallel \pi}.

Em resumo, com respeito a uma reta {r} e um plano {\pi} podem ocorrer

  • {r} contida em {\pi},
  • {r} paralela a {\pi}, ou
  • {r} transversal a {\pi}.

Exemplo 15 A reta {r\colon X=(1,1,1)+\lambda(1,1,1)} e o plano {\pi\colon x+y+z=0} contém o ponto {(0,0,0)}, ademais {1\cdot 1 +1\cdot 1 +1\cdot 1 \neq 0} portanto não são paralelos, logo são transversais.

Finalmente, no caso plano-plano a posição relativa entre dois planos {\pi_1} e {\pi_2} podem ocorrer deles serem

  • paralelos;
  • coincidentes;
  • transversais.

O resultado a seguir mostra que se os coeficientes da equação geral dos planos são proporcionais, então os panos são iguais, enquanto que se a proporcionalidade não vale apenas para o termo independente ({d}) então os planos são paralelos. Se os coeficientes não são proporcionais então os planos se encontram numa reta (transversais).

Proposição 10 Sejam

{\pi_1\colon a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0} {\pi_2\colon a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0}
{\overrightarrow{n}_1 = (a_1,b_1,c_1)} {\overrightarrow{n}_2 = (a_2,b_2,c_2)}
{\overrightarrow{a}_1 = (b_1,c_1,d_1)} {\overrightarrow{a}_2 = (b_2,c_2,d_2)}

então

  1. {\pi_1} e {\pi_2} são paralelos ou coincidentes se e só se {(\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2)} é {{\mathrm{\ell.d.~}}}

    1. coincidentes se e só se {(\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2)} é {{\mathrm{\ell.d.~}}};
    2. paralelos se e só se {(\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2)} é {{\mathrm{\ell.i.~}}};
  2. {\pi_1} e {\pi_2} são transversais se e só se {(\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2)} é {{\mathrm{\ell.i.~}}}.

Demonstração: Começamos por assumir {(\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2)} {{\mathrm{\ell.d.~}}}. As coordenadas desses vetores são proporcionais, i.e., existe {k\neq 0} tal que {(a_1,b_1,c_1) = k(a_2,b_2,c_2)} logo

\displaystyle  \pi_1\colon a_2x+b_2y+c_2z+ \frac{d_1}k=0

Pela proposição 8 todo vetor paralelo a {\pi_2} também é paralelo a {\pi_1}, portanto, nesse caso, os planos {\pi_1} e {\pi_2} são paralelos.

Se {(\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2)} é {{\mathrm{\ell.d.~}}} então {d_1 = k d_2} logo

\displaystyle  a_2x+b_2y+c_2z+ \frac{d_1}k = a_2x+b_2y+c_2z+ d_2

e temos o mesmo plano. Se, por outro lado, {d_1 \neq k d_2} então se {(x,y,z)\in \pi_1} temos

\displaystyle  a_2x+b_2y+c_2z = - \frac{d_1}k \neq d_2

ou seja, {(x,y,z)\not\in \pi_2} e concluímos que os planos paralelos são distintos.

Reciprocamente, se os planos {\pi_1} e {\pi_2} são paralelos, escolhemos os vetores

\displaystyle  \overrightarrow u = (-b_1,a_1,0) ~ \mathrm{~e~} ~ \overrightarrow v = (-c_1, 0 , a_1) ~ \mathrm{~e~} ~ \overrightarrow w = (0,-c_1, b_1).

Usando a Proposição 8 (escolhemos os vetores acima pra que isso seja possível) podemos concluir que esses vetores são paralelos a {\pi_1}

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  a_1(-b_1)+b_1a_1+c_10 &=&0\\ a_1(-c_1)+b_10+c_1a_1 &=&0\\ a_10+b_1(-c_1)+c_1b_1 &=&0 \end{array}

e, portanto, paralelos também a {\pi_2} pois os planos são paralelos. De novo, a Proposição 8

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  a_2(-b_1)+b_2a_1+c_20 &=&0\\ a_2(-c_1)+b_20+c_2a_1 &=&0\\ a_20+b_2(-c_1)+c_2b_1 &=&0 \end{array}

logo {a_1b_2 -a_2b_1=a_1c_2-a_2c_1=b_1c_2-b_2c_1=0} o que nos dá que os vetores {\overrightarrow n_1} e {\overrightarrow n_2} são proporcionais. O mesmo vale para planos coincidentes.

Agora, só resta o caso 3, mas esse caso é equivalente a {\pi_1} e {\pi_2} não são transversais se e só se {(\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2)} é {{\mathrm{\ell.d.~}}} que é o que provamos pois não-transversal equivale a paralelo ou coincidente. \Box

No caso de sistema ortogonal de coordenadas definimos:

  1. Duas retas são ortogonais se seu vetores diretores são ortogonais, ademais se essas retas se encontram então elas são ditas perpendiculares.
  2. Uma reta é perpendicular a um plano se o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano.
  3. Dois planos são perpendiculares se eles têm vetores normais ortogonais.

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