bc0402 Máximos e mínimos, problemas de otimização, esboço de gráficos e regras de L’Hôpital


Sejam {f\colon D\rightarrow {\mathbb R}} uma função, {A\subset D} um subconjunto qualquer e {c\in A}. Dizemos que

  • {f(c)} é o valor máximo de {f} em {A}, se

    \displaystyle  f(x) \leq f(c) \textrm{ para todo }x\in A

    e {c} é um ponto de máximo de {f} em {A};

  • {f(c)} é o valor mínimo de {f} em {A}, se

    \displaystyle  f(x) \geq f(c) \textrm{ para todo }x\in A

    {c\in A} é um ponto de mínimo de {f} em {A}.

Exercício 76 Mostre que se {c} é ponto de máximo de {f} em {A} então {c} é ponto de mínimo de {-f} em {A}.

Quando {A=(a,b)} é uma vizinhança de {c} dizemos ponto de máximo/mínimo local e {f(c)} é valor máximo/mínimo local. Quando {A=\mathrm{Dom}(f)} ao invés de local, dizemos global.

Quando {c} é um ponto de máximo ou de mínimo (local) dizemos que {c} é um ponto extremo (local/global) e que {f(c)} é um valor extremo (local/gobal).

Exemplo 39 A função {f} do gráfico abaixo tem mínimos locais nos pontos {-3} e {2}, e tem máximo local em {0}. O ponto de máximo em {A=[-5,4]} é {-5} e o ponto de mínimo em {A} é {-3}. Assumindo que {f(x) \rightarrow +\infty} quando {x \rightarrow + \infty} e quando {x \rightarrow -\infty} odemos dizer que função não tem máximo global e tem mínimo global em {-2}.

Extremos locais

Uma condição necessária para {c} ser ponto extremo local quando a função é derivavel na vizinhança é a seguinte: se {c} é ponto de máximo local então os pontos {(y,f(y))} com {y} na vizinhança a esquerda de {c} formam com {(c,f(c))} secantes com inclinação não-negativa e os pontos {(y,f(y))} com {y} a direita de {c}, secantes com inclinação não-positiva, logo a tangente em {(c,f(c)} tem inclinação {0}.

Teorema 17 (Teorema de Fermat) Se {c} é ponto extremo local de {f} e {f'(c)} existe então {f'(c)=0}.

Demonstração: Suponha {c} ponto de máximo de {f} em {(c-\delta,c+\delta)}. Para todo {h} tal que {|h|< \delta} temos que

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  f(c) \geq f(c+h) \end{array}

pois {f(c)} é valor máximo local de {f}, logo

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \frac{f(c+h)-f(c)}h \geq 0 &\textrm{ se }&h<0\\ \frac{f(c+h)-f(c)}h \leq 0 &\textrm{ se }&h>0 \end{array}

como existe o limite quando {h\rightarrow 0}, o limite não-negativo a esquerda é igual ao limite não-positivo a direita, portanto o limite é {0}. \Box

Exemplo 40 Se {f\colon{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}} é dada por {f(x)=x^3} então {f'(0) = 0}, porém {0} não é extremo local. Se {f\colon{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}} é dada por {f(x) = |x|} então {0} é ponto de mínimo de {f} em {{\mathbb R}} que não pode ser detectado pela equação {f'(x) =0} pois a derivada em {0} não existe.

Exemplo 41 {f\colon {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}} definida por {f(x) = x^3} não tem valores extremos globais.

No caso de {f\colon {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}} definida por {f(x)=x^2} o {0} é um ponto de mínimo global e {f(0)} é valor mínimo global de {f} pois {f} é decrescente em {(-\infty,0)} e crescente em {(0,+\infty)}, pelo corolário 14.

A função {\sin(x)} tem valor máximo e mínimo globais nos pontos {-1} e {1}, respectivamente.

Agora, se numa vizinhança {(a,b)} de {c} a função contínua {f} é crescente em {(a,c)} e decrescente em {(c,b)} então {c} é ponto de máximo. A monoticidade pode ser inferida da derivada, assim temos o seguinte teste.

Teste da derivada para extremo local. Se {f} é derivável numa vizinhança {(a,b)} de {c}, não necessariamente em {c}, então

  • se {f' >0} a esquerda de {c} e {f' <0} a direita de {c} então {c} é ponto de máximo local;
  • se {f' <0} a esquerda de {c} e {f' >0} a direita de {c} então {c} é ponto de mínimo local;
  • se {f'} tem o mesmo sinal a esquerda e a direita de {c} então {c} não é ponto extremo.

Vamos formalizar e justificar essas observações no próximo teorema e no próximo exercício.

Exemplo 42 (Máximo local de funções deriváveis) Seja {f} uma função derivável em todo ponto do intervalo {(a,b)}, e seja {c \in (a,b)} ponto crítico tal que

  • {f'(x)> 0} para todo {x\in (c-\delta,c)} e
  • {f'(x)< 0} para todo {x\in (c,c+\delta)},

para algum {\delta>0} tal que {(c-\delta,c+\delta)\subset (a,b)}. Dado {x\in (c-\delta,c)} (respec., {x\in (c,c+\delta)}), pelo TVM existe {\xi\in (c-\delta,c)} (respec., {\xi\in (c,c+\delta)}) tal que

\displaystyle  \frac{f(x) - f(c)}{x-c} = f'(\xi)

ou seja, sempre vale {f(x) -f(c) = (x-c) f'(\xi)}.

Se {x} e {\xi} estão em {(c-\delta,c)} então {x-c} é negativo e {f'(\xi)} é positivo; se {x} e {\xi} estão em {(c,c+\delta)} então {x-c} é positivo e {f'(\xi)} é negativo; de modo que em qualquer dos dois casos vale {f(x) -f(c) <0}, ou seja,

\displaystyle   f(x) \leq f(c)\textrm{ para todo }x\in (c-\delta, c+\delta). \ \ \ \ \ (24)

Considerações análogas estabelecem condições para o valor mínimo da função num intervalo.

Exercício 77 (Mínimo local de funções deriváveis) Sejam {f}, {c}, {\delta} como acima e suponhamos que {f'(x)<0} para todo {x\in (c-\delta,c)} e que {f'(x) > 0} para todo {x\in (c,c+\delta)}. Mostre que

\displaystyle   f(x) \geq f(c)\textrm{ para todo }x\in (c-\delta, c+\delta). \ \ \ \ \ (25)

Restringindo mais as funções em estudo, suponha que {f} seja duas vezes derivável com derivadas contínuas. Vimos que se {f} é derivável num intervalo {I} em torno do ponto crítico {c} e se {f' <0} a esquerda de {c} em {I} e {f' >0} a direita de {c} em {I} então {c} é ponto de mínimo. Agora, se {f''>0} em {I}, então {f'} é crescente em {I} e como {c} é ponto crítico {f} muda de sinal em {c}, que então deve ser ponto de mínimo local. Analogamente, se {f''<0} em {I} e {c} é ponto crítico então {c} é ponto de máximo local em {I}.

Teste da segunda derivada para extremo local. Seja {f} uma função cuja derivada primeira e segunda são contínuas numa vizinhança de {c}. Se {c} é ponto crítico e

  • {f''(c)>0} então {c} é ponto de mínimo local;
  • {f''(c) < 0} então {c} é ponto de máximo local.

Demonstração: Seja {f} uma função como no enunciado com {f''(c) > 0}. Como {f''} é contínua o lema 8 garante que deve existir {\delta >0} tal que se {|h|<\delta} então {f'' (c+h) > 0}. Como no exemplo 42, {f} é crescente em torno de {c} a esquerda e decrescente em torno de {c} a direita, por conseguinte {f(c)} é valor máximo local. O caso {f''(c) > 0} é análogo e decorre do exercício 77. \Box

Exercício 78 Seja {f} como no enunciado acima. O que ocorre se no ponto crítico a segunda derivada se anula?

Exercício 79 Enumcie as versões dos testes da derivada e da segunda derivada para pontos extremos globais.

Funções definidas num intervalo fechado

Se {f\colon [a,b]\rightarrow{\mathbb R}} é contínua e derivável em {(a,b)} então o teorema de Weierstrass, garante a existência de valores extremos; pelo teorema 17 os pontos extremos devem ser procurados dentre

  1. os pontos críticos em {[a,b]};
  2. os extremos do intervalo {a} e {b};
  3. os pontos nos quais a derivada não existe, caso seja viável.

Problemas de otimização

Exemplo 43 Uma janela tem forma de retângulo encimado por um semicírculo. Dentre as janelas de perímetro {P} qual deixa passar a maior quantidade de luz?

Se o semicírculo tem raio {r} e o retângulo lado {x} então

\displaystyle P = 2x+2r+\pi r

donde temos que

\displaystyle  x = \frac{P-r(2+\pi)}2.

A janela que deixa passar maior quantidade de luz é a que tem maior área dentre todas as de perímetro {P}. A área em função de {r} é {a\colon [0,P/(2+\pi)]\rightarrow {\mathbb R}} dada por

\displaystyle  A(r) = 2\cdot r\cdot x(r) + \frac{\pi r}2 = r\left(P - r\left( 2+ \frac{\pi}2\right)\right).

Como a função é contínua e derivável o ponto de máximo ou é um ponto crítico ou um dos extremos do intervalo do domínio

\displaystyle  A'(r) = P -2r\left(2 + \frac \pi 2 \right)

e {r_0= P/(4+\pi)} é o único ponto crítico. Nos extremos temos {A(0) = 0 = A \big(P/(2+\pi)\big)}, portanto {r_0} é ponto de máximo.

Exemplo 44 Dentre todos os retângulos de mesma área {A} determinar o que tem menor perímetro.

Seja {a^2=A} a área (fixa) dos retângulos. Os lados têm comprimentos {x} e {a^2/x} portanto o perímetro é função {p\colon (0,+\infty)\rightarrow{\mathbb R}} dada por {\displaystyle p(x) = 2\left(x+ \frac{a^2}x\right).} Temos

\displaystyle  p'(x) = 2\left(1 - \frac{a^2}{x^2}\right) \textrm{ e } p''(x) = \frac{4a^2}{x^3}

A equação {p'(x)=0} admite apenas a raiz {x= a} e {p''(a) = 4/a >0}, portanto, {a} é ponto de mínimo e o quadrado retângulo de menor perímetro.

Exemplo 45 Um cano de metal deve ser carregado por um corredor em L com largura {a~\mathrm{m}} e {b~\mathrm{m}}. Qual o comprimento do cano para que se possa passar pelo corredor?

Se {\theta} é o ângulo que o segmento de reta que toca a quina interna e toca nas paredes do corredor forma com a parede (como na figura acima), então o comprimento do segmento em função de {\theta} pode ser determinado da seguinte forma

\displaystyle \cos (\theta) = \frac a{L_2(\theta)} \textrm{ e }\sin(\theta) = \frac b{L_1(\theta)}, \textrm{ para todo }\theta\in (0,\pi/2)

e o segmento mede {L(\theta) = L_1(\theta) + L_2(\theta)}.

Se o cano for maior que qualquer um desses segmentos então não passa pela curva do corredor.

Devemos achar um valor mínimo para {L\colon (0,\pi/2) \rightarrow {\mathbb R}} dada por {L(\theta) = \frac b{\sin(\theta)} + \frac a{\cos(\theta)}}, que é derivável em todo ponto do domínio. A derivada

\displaystyle  L'(\theta) = \frac b{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)} - \frac a{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)}

se anula quando

\displaystyle  \frac b{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)} = \frac a{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)} \Leftrightarrow \frac{\sin^3 (\theta)}{\cos^3(\theta)} = \frac ab

ou seja, {\tan(\theta)^3 = \frac ab}, portanto, {\theta = \arctan ( \sqrt[3]{a/b})} é ponto crítico. Ademais, se {\tan (\theta)^3 > \frac ab}, então {L'(\theta) > 0}; se {\tan (\theta)^3 < \frac ab}, então {L'(\theta) < 0}, portanto, {\theta = \arctan ( \sqrt[3]{a/b})} é o ponto de mínimo.

Exemplo 46 Suponhamos que se possa vender {x} unidades de um produto por semana a {p(x)=200-0,01x} centavos por unidade, e que a fabricação dessas {x} unidades custe {f(x)=50x-20.000} centavos. Então a receita semanal é {xp(x) = 200x -0,01x^2} e o lucro

\displaystyle  \ell(x) = xp(x) -f(x) = 150x-0,01x^2-20.000.

Como a segunda derivada é negativa, o lucro é máximo quando {\ell'(x) = 150-0,02x} se anula, ou seja, quando {x=7.500}. Para atingir o lucro máximo o preço de venda é {125} centavos por unidade.

Exemplo 47 Uma loja vende {200} gravadores de DVD por semana a {\$ 350,00} cada. Uma pesquisa indicou que a cada {\$10,00} de desconto o número de unidades vendidas aumenta {20} por semana.

Se {x} for o número de gravadores vendidos por semana, o aumento nas vendas é {x-200}. Para cada unidade adicional vendida o acréscimo no preço é {\frac{10}{20}}, então o preço de venda é {F(x) = 350 - (1/2)(x-200) = 450 - x/2} e a receita é {xF(x) = 450x - x^2/2}. A receita é máxima quando {[xF(x)]' = 450 - x =0}, ou seja {x=450} (a segunda derivada é uma constante positiva). O lucro

\displaystyle  \ell(x) =450x - x^2/2 - 450 + x/2

é máximo quando {x=450,5}, portanto o preço é {\$225,25.}

Custo marginal Se produzir {x} unidades de um produto tem custo {c=f(x)} e se a produção de {x+\Delta x} unidades acarreta custo {c+\Delta c}, então

\displaystyle \frac{\Delta c}{\Delta x}

é a taxa média do aumento no custo por aumento na unidade de produção e a taxa instantânea { c' = f'(x)} é chamada de custo marginal.

Se o preço de venda por unidade quando se produz {x} unidades é {p=F(x)} então a receita da produção é {xp = xF(x)} e

\displaystyle [xp]' = p + x p'

é a receita marginal. Finalmente o lucro é dado por {\ell =xp - c} o que nos permite determinar a produção de modo a maximizar o lucro estudado a função {\ell '(x) = p + x p'- c'}, {p=F(x)} e {c=f(x)}.

Roteiro para esboço de gráficos

  • explicitar o domínio;
  • determinar os intervalos de crescimento e decrescimento;
  • estudar a concavidade;
  • estudar os limites infinitos e limites no infinito (assíntotas);
  • determinar os pontos de intersecção como os eixos.

Exemplo 47 Esboço do gráfico de {f(x) = x^3 -x^2 -x+1}.

  • domínio {{\mathbb R}}
  • intervalos de crescimento e decrescimento: {-1/3} e {1} são pontos críticos, {f(-1/3) = 32/27} e {f(1)=0}

  • concavidade: {1/3} é ponto de inflexão e {f(1/3)=16/27}

  • limites infinitos e limites no infinito;\displaystyle  \lim_{x\rightarrow+\infty}{ f(x)} = +\infty ~\textrm{ e }~ \lim_{x\rightarrow -\infty}{ f(x)} = -\infty
  • pontos de intersecção como os eixos: {x^3 -x^2 -x+1 =(x-1)^2(x+1)} logo as raízes são {-1} e {1}. O gráfico encontra o eixo {y} em {1}.

Exemplo 48 Esboço do gráfico de {f(x) = x^2+\frac 1{x^2}}.

  • domínio {{\mathbb R} - \{0\}}
  • intervalos de crescimento e decrescimento: {f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{x^2} \frac{x^2-1}x} tem o mesmo sinal de {\frac{x^2-1}x} e {-1} e {1} são pontos críticos, {f(-1)=f(1) = 2}

  • concavidade: {f''>0} e não há ponto de inflexão

  • limites infinitos e limites no infinito;\displaystyle  \lim_{x\rightarrow 0^+}{ \left(x^2 + \frac 1{x^2}\right)} = \lim_{x\rightarrow 0^-}{ \left(x^2 + \frac 1{x^2}\right) } = +\infty\displaystyle  \lim_{x\rightarrow+\infty}{ \left(x^2 + \frac 1{x^2}\right)} = \lim_{x\rightarrow -\infty}{ \left(x^2 + \frac 1{x^2}\right)} = +\infty
  • pontos de intersecção como os eixos: não há.

Exercicio 80 Esboce o gráfico de {y=(x-4)^{2/3}}.

Exercicio 81 Esboce o gráfico de {y=\mathrm{e}^{-x^2/2}}.

— Regras de L’Hôpital —

Sejam {f} e {g} funções contínuas em com derivadas contínuas numa vizinhança de um ponto {a}. Então

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a) = \lim_{x\rightarrow a} (f(a) + f'(a)(x-a))

e notemos que a expressão do lado direito é da reta tangente ao gráfico de {f} em {(a,f(a))}. Assumindo que {g(a)\neq 0} e que {g'(a) \neq 0} temos

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) }{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(a) + f'(a)(x-a) }{g(a) + g'(a)(x-a)} = \frac{ f'(a) }{g'(a)} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{ f'(x) }{g'(x)} .

Essa heurística funciona em casos mais gerais para determinar limites quando a forma {\lim \frac fg} é indeterminada, por exemplo quando {f\rightarrow 0} e {g \rightarrow 0}. A seguir supomos existir as derivadas da funções numa vizinhança de {a}.

1ª Regra de L’Hôpital Se {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \lim_{x\rightarrow a} g(x) = 0} e existe o limite {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}} então

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.

Também vale se trocarmos as ocorrência de {x\rightarrow a} por {x\rightarrow a^+} ou por {x\rightarrow a^-} ou por {x\rightarrow +\infty} ou por {x\rightarrow -\infty}.

2ª Regra de L’Hôpital Se {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \pm \infty} e { \lim_{x\rightarrow a} g(x) = \pm \infty} e existe o limite {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}}, ou ele é infinito, então

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.

Também vale se trocarmos as ocorrência de {x\rightarrow a} por {x\rightarrow a^+} ou por {x\rightarrow a^-} ou por {x\rightarrow +\infty} ou por {x\rightarrow -\infty}.

Exemplo 51 O limite {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}x\log(x)} é equivalente ao limite {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\log(x)}{1/x}} que por L’Hôpital é

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1/x}{-1/x} = \lim_{x\rightarrow 0^+} (-x) =0

Exemplo 52 Nem sempre funciona diretamente

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} = \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}} = \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}

Coloque {\mathrm{e}^x} em evidência e tente novamente.

Exemplo 53 O que está errado na sequência de aplicações da regra de L’Hôpital

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^3-1}{x^2-1} = \lim_{x\rightarrow 1} \frac{3x^2}{2x} = \lim_{x\rightarrow 1} \frac{6x}2 =3

quando, de fato, o limite é {\frac 32}.

Exercicio 82 Determine os seguintes limites

  1. {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(2x)}x}
  2. {\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pi/2} \frac{1-\sin(x)}{\cos(x)}}
  3. {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x^3}}
  4. {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac x{\mathrm{e}^x}}
  5. {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^{-4/3}}{\sin(1/x)}}
  6. {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\log(x)}{\mathrm{cosec}(x)}}

As indeterminações do tipo {0\cdot -\infty} podem, as vezes, serem escritas na forma {\frac 00} ou {\frac {+\infty}{+\infty}} como é o caso de {x\log(x) = \log(x)/ x^{-1}}. O mesmo ocorre com {0\cdot \infty} e {\infty-\infty}, por exemplo,

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow 0^+} \left(\frac 1x - \frac 1{\sin(x)} \right)= \lim_{x\rightarrow 0^+} \left(\frac {\sin(x)-x}{x\sin(x)} \right)= \lim_{x\rightarrow 0^+} \left(\frac {\cos(x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)} \right)= \lim_{x\rightarrow 0^+} \left(\frac {-\sin(x)}{\cos(x)+\cos(x) -x\sin(x)} \right )

que é {0}. As outras indeterminações {0^0}, {\infty^0} e {1^\infty} também podem, as vezes, ser reduzidas aos casos em que L’Hôpital se aplica, por exemplo {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^{1/x}} pode ser calculado escrevendo {y =(1+x)^{1/x}} e tomando logaritmo

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow 0} \log y = \lim_{x\rightarrow 0}\frac 1x \log (1+x)

e, por L’Hôpital, {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\log y =1}, portanto, {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{1/x} =\mathrm{e}}.

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2 respostas para bc0402 Máximos e mínimos, problemas de otimização, esboço de gráficos e regras de L’Hôpital

  1. Iago Cavalcante disse:

    Muito bom o assunto!
    Também estou vendo os outros, em 2013,rsrs

  2. obrigada, foi muito útil seu material….

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