bc0404 Segmentos orientados e equipolência

O espaço Euclideano é um conjunto de pontos munido de uma estrutura que nos permite medir distâncias e ângulos. O nome “Espaço Euclideano” é em homenagem ao matemático grego Euclides que, em sua obra Os Elementos, apresentou um estudo sistemático desses espacos baseado em 5 postulados sobre tais espaços:

  1. Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos.
  2. Pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita continuamente em uma reta.
  3. Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio.
  4. Todos os ângulos retos são iguais.
  5. Postulado das Parelelas: Se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então estas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.

O 5º postulado é equivalente a dizer que

  • Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela a reta dada.
  • A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempe igual a dois ângulos retos.
  • Dados quaisquer três pontos não colineares, existe um círculo passando por eles.
  • Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos (Pitágoras).
  • Quaisquer duas retas paralelas possuem uma perpendicular em comum.

Os axiomas de incidência da geometria euclideana são os seguintes:

  1. Dois pontos distintos determinam uma única reta.
  2. Toda reta possui pelo menos dois pontos.
  3. Existem três pontos que não pertencem a mesma reta.
  4. Dado um ponto {A} não incidente a uma reta {r}, existe no máximo uma reta {s} que é incidente a {A} e não intersecta {r}.

Duas retas são ditas paralelas se a interseção delas for vazia.

Convenções notacionais

  • {\mathop{\mathbb E}^3} denota o conjunto de pontos da Geometria Euclidiana;
  • {A,B,C,\dots} denotam pontos;
  • {a,b,c,\dots} denotam retas; 
     
  • {\alpha,\beta,\gamma} denotam planos;
  • {AB} denota a reta que contém os pontos {A} e {B};
  • {\overline{AB}} denota o segmento da reta {AB} com extremidades {A} e {B}, em particular {\overline{AA}} é um segmento nulo;
  • {|\overline{AB}|} denota o comprimento do segmento de reta {\overline{AB}};
  • escrevemos {AB \parallel CD} se as retas {AB} e {CD} são paralelas.

Um segmento orientado é um par ordenado de pontos {(A,B)}. Chamamos {A} de origem e {B} de extremidade do segmento orientado. No caso {A=B} chamamos o segmento orientado de nulo.

Definições: Sejam {(A,B)} e {(C,D)} segmentos orientados.

  • {(A,B)} e {(C,D)} têm mesmo comprimento se {|\overline{AB}|=|\overline{CD}|};
  • {(A,B)} e {(C,D)} têm mesma direção se as retas {AB} e {CD} são paralelas ou coincidentes. Um segmento orientado nulo não tem direção;
  • {(A,B)} e {(C,D)} de mesma direção têm mesmo sentido  
    1. caso as retas {AB} e {CD} sejam paralelas e os segmentos de reta {\overline{AC}} e {\overline{CD}} não se encontram, caso se encontrem dizemos que têm sentidos opostos ou
    2. caso as retas {AB} e {CD} sejam coincidentes, tomamos {(E,F)} qualquer de mesmo sentido de {(A,B)} com {EF \parallel AB} e se {(E,F)} te mesmo sentido de {(C,D)} então o mesmo vale para {(A,B)} e {(C,D)}; senão dizemos que {(A,B)} e {(C,D)} têm sentidos opostos.

{(A,B)} é equipolente a {(C,D)}

se são ambos nulos ou são ambos não-nulos, de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Notação: {(A,B)\equiv (C,D)}. Valem as propriedades (a verificação é exercício):

  • reflexiva {(A,B)\equiv (C,D)};
  • simétrica {(A,B)\equiv (C,D) \Rightarrow (C,D)\equiv (A,B)};
  • transitiva {(A,B)\equiv (C,D)} e {(C,D)\equiv (E,F) \Rightarrow (A,B)\equiv (E,F)}.

Por isso, equipolência é uma relação de equivalência. Uma relação de equivalência sobre um conjunto {E} particiona {E} em subconjuntos ditos classes de equivalência.

A classe de equipolência de {(A,B)} é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a {(A,B)}. Dizemos que {(A,B)} é um representante da classe; qualquer elemento da classe é um representante dela.

Exercicio 1 (regra do paralelogramo) Se {(A,B)\equiv (C,D)} então {(A,C)\equiv (B,D)}. Prove.

 

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s