bc0404 Dependência linear

Dados vetores {\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_n} e reais {\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}

\displaystyle \vec{u} = \alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+\dots +\alpha_n\vec{v}_n

é uma combinação linear desses vetores.

{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} são chamados coeficientes .

Dizemos que {\vec u} é gerado por {\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_n}.

Uma sequência de vetores {(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_n)} é linearmente dependente (l.d.) se e somente se algum vetor da sequência é gerado pelos demais, caso contrário, a sequência é linearmente independente (l.i.) .

Notemos que {(\vec u,\vec v)} l.d. implica em {(\vec u,\vec v,\vec w)} l.d. qualquer que seja {\vec w} pois se {\vec u=\lambda\vec v} então {\vec u=\lambda\vec v+0\vec w}.

Proposição 3 Se {(\vec u, \vec v, \vec w)} é l.i. então todo {x\in\mathbb V} é combinação linear de {\vec u, \vec{v} } e {\vec w}.

Demonstração: Tomemos {\vec u =\vec{PA}}, {\vec v=\vec{PB}}, {\vec w =\vec{PC}} e {\vec x = \vec{PD}}.

Seja {M} o ponto onde a reta paralela a reta {PC} que passa por {D} encontra o plano {PAB} (tal reta não é paralela a {PAB} (justifique) e pela observação que antecede a proposição {P,A,D} não são colineares). Seja {Q} o ponto onde a reta paralela a reta {PA} que passa por {M} encontra a reta {PB} (a reta paralela a reta {PA} que passa por {M} não é paralela a {PB}, justifique).

Seja {N} o ponto onde a reta paralela a reta {PB} que passa por {M} encontra a reta {PA} (a reta paralela a reta {PB} que passa por {M} não é paralela a {PA}, justifique).

Seja {R} o ponto onde o plano paralelo ao plano {PAB} que contém {D} encontra a reta {PC} (o plano paralelo ao plano {PAB} que contém {D} não é paralello a {PC}, justifique).

Agora, como no exercício 10

\displaystyle \vec{PD} = \vec{PN}+\vec{PQ}+\vec{PR} .

Ainda, temos escalares {\alpha,\beta,\gamma} tais que

\displaystyle  \begin{cases} \vec{PN} = \alpha \vec{PA} \\ \vec{PQ} = \beta \vec{PB} \\ \vec{PR} = \gamma \vec{PC} \\ \end{cases}

pois {\vec{PN}\parallel \vec{PA}, ~ \vec{PQ} \parallel \vec{PB}, ~ \vec{PR} \parallel \vec{PC}} (Proposição 1), logo

\displaystyle  \vec x = \vec{PD} = \vec{PN}+\vec{PQ}+\vec{PR} = \alpha\vec{PA} + \beta\vec{PB} + \gamma\vec{PC} =\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w}.

\Box

Corolário. {(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_n)} é l.d. para todo {n\geq 4}.

No caso {n=1} a sequência {(\vec{v}_1)} é l.i. caso {\vec{v}_1\neq \vec 0}; no caso {n=2} a sequência {(\vec{v}_1,\vec{v}_2)} é l.d. se é só se os vetores são paralelos (Proposição 1). Ainda, sabemos (Proposição 2) que se {(\vec{v}_1,\vec{v}_2)} é l.i. então

\displaystyle  \alpha \vec{v}_1 + \beta \vec{v}_2 =\vec 0 \Rightarrow \alpha =\beta = 0.

No caso {n=3}, se {(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3)} é l.d. então, digamos que

\displaystyle  \vec{v}_3 = \alpha \vec{v}_1 + \beta \vec{v}_2

e temos que esses vetores admitem representantes coplanares (ou, podemos dizer que os vetores são paralelos a um plano)

Notação: Embora dependência linear esteja definida para sequências de vetores, as vezes usamos dizer que os vetores {\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3} são l.d. (ou l.i.).

Exercício 11 Prove que se os vetores {\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3} são coplanares então eles são l.d..

Exercício 12 Prove que os vetores {\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3} são l.d. se e somente se

\displaystyle  \alpha \vec{v}_1 + \beta \vec{v}_2 + \gamma \vec{v}_3 =\vec 0

tem solução não trivial.

Exercício 12 (equivalentemente) Prove que os vetores {\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3} são l.i. se e somente se

\displaystyle  \alpha \vec{v}_1 + \beta \vec{v}_2 + \gamma \vec{v}_3 =\vec 0 \Rightarrow \alpha =\beta = \gamma = 0.

Decorre desse exercício que se {\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3} são l.i. então

\displaystyle   \alpha\vec{v}_1 + \beta\vec{v}_2 + \gamma\vec{v}_3 = \alpha'\vec{v}_1 + \beta'\vec{v}_2 + \gamma'\vec{v}_3 \Rightarrow \alpha=\alpha',~\beta=\beta',~\gamma=\gamma' \ \ \ \ \ (7)

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