bc0404 Base e Mudança de base

{E=(\overrightarrow{v}_1,\overrightarrow{v}_2,\overrightarrow{v}_3)} {{\mathrm{\ell.i.~}}} é uma base de {\mathbb V}.

Vimos (Proposição 3 e equação (7)) que para todo {\overrightarrow z \in \mathbb V} existem únicos {\alpha,\beta,\gamma \in {\mathbb R}} tais que

\displaystyle  \overrightarrow z =\alpha \overrightarrow{v}_1 + \beta \overrightarrow{v}_2 + \gamma\overrightarrow{v}_3

portanto, fixado uma base {E}, todo vetor {\overrightarrow z} é univocamente determinado pelos coeficientes {\alpha,\beta,\gamma} da combinação linear dos vetores da base que gera {\overrightarrow z}.

Notação: Escrevemos {\overrightarrow z = (\alpha,\beta,\gamma)_E} e dizemos que {\alpha,\beta} e {\gamma} são as coordenadas de {\overrightarrow{z}} com relação à base {E}.

Com isso obtemos (verifique)

  • Adição de vetores:
    \displaystyle  (\alpha,\beta,\gamma)_E + (\delta,\phi,\epsilon)_E = (\alpha+\delta,\beta+\phi,\gamma+\epsilon)_E
  • Multiplicação por escalar:
    \displaystyle \lambda (\alpha,\beta,\gamma)_E = (\lambda\alpha,\lambda\beta,\lambda\gamma)_E

Para {\overrightarrow u = (-1,2,0)_E} e {\overrightarrow v = (3,-3,4)_E}, se {\overrightarrow w = -3\overrightarrow u +2\overrightarrow v} então

\displaystyle  \overrightarrow w =(9,-12,8)_E

Se {\overrightarrow u = (0,0,0)_E} então {\overrightarrow u =\overrightarrow 0}.

Se {(\overrightarrow u,\overrightarrow v)} é {{\mathrm{\ell.d.~}}}, {\overrightarrow u = (u_1,u_2,u_3)_E} e {\overrightarrow v = (v_1,v_2,v_3)_E} então {u_i} é proporcional a {v_i}, e vice-versa, para todo {i} (Proposição 1). Por exemplo {(3,10,11)_E} e {(4,7,11)_E} são {{\mathrm{\ell.i.~}}} pois {3/4 \neq 10/7}, enquanto que {(1,7,1)_E} e {(1/2,7/2,1/2)_E} é {{\mathrm{\ell.d.~}}}.

No caso de 3 vetores, fixada um base {E}, os vetores

\displaystyle  \overrightarrow{u} = (u_1,u_2,u_3)_E, ~ \overrightarrow{v} = (v_1,v_2,v_3)_E, ~ \overrightarrow{w} = (w_1,w_2,w_3)_E

são {{\mathrm{\ell.d.~}}} se e somente se

\displaystyle  \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} =\overrightarrow 0

\displaystyle \Longleftrightarrow

\displaystyle  ( \alpha u_1 + \beta v_1 + \gamma w_1, \alpha u_2 + \beta v_2 + \gamma w_2 , \alpha u_3 + \beta v_3 + \gamma w_3)_E =(0,0,0)_E

admite solução não trivial (exercício 12), ou seja, se e só se o sistema linear

\displaystyle  \begin{cases} \alpha u_1 + \beta v_1 + \gamma w_1 &= 0 \\ \alpha u_2 + \beta v_2 + \gamma w_2 &= 0 \\ \alpha u_3 + \beta v_3 + \gamma w_3 &= 0 \end{cases}

admite solução não trivial. O sistema linear admite solução não trivial se e só se

\displaystyle  \mathrm{det} \begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1\\ u_2 & v_2 & w_2 \\ u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix} = 0.

(Um sistema linear homogêneo admite uma (a trivial) ou infinitas soluções, pela regra de Cramer um sistema linear como acima admite solução não trivial se e só se o determinante como acima for nulo) Equivalentemente, provamos que três vetores são {{\mathrm{\ell.i.~}}} se e só se a matriz {3\times 3} com as colunas dadas pelas coordenadas dos vetores tem determinante não nulo.

Proposição 4 Fixada um base {E}, os vetores

\displaystyle  \overrightarrow{u} = (u_1,u_2,u_3)_E, ~ \overrightarrow{v} = (v_1,v_2,v_3)_E, ~ \overrightarrow{w} = (w_1,w_2,w_3)_E

são {{\mathrm{\ell.d.~}}} se e somente se

\displaystyle  \mathrm{det} \begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1\\ u_2 & v_2 & w_2 \\ u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix} = 0

Mudança de base

{B=(\overrightarrow{b}_1,\overrightarrow{b}_2,\overrightarrow{b}_3)}, {E=(\overrightarrow{e}_1,\overrightarrow{e}_2,\overrightarrow{e}_3)} bases.

Os vetores de {E} podem ser expressos na base {B} como

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \overrightarrow{e}_1 = e_{1,1} \overrightarrow{b}_1 + e_{2,1}\overrightarrow{b}_2 + e_{3,1}\overrightarrow{b}_3 = (e_{1,1},e_{2,1},e_{3,1})_B\\ \overrightarrow{e}_2 = e_{1,2} \overrightarrow{b}_1 + e_{2,2}\overrightarrow{b}_2 + e_{3,2}\overrightarrow{b}_3 = (e_{1,2},e_{2,2},e_{3,2})_B\\ \overrightarrow{e}_1 = e_{1,3} \overrightarrow{b}_1 + e_{2,3}\overrightarrow{b}_2 + e_{3,3}\overrightarrow{b}_3 = (e_{1,3},e_{2,3},e_{3,3})_B \end{array}

Assim, se {\overrightarrow v = (x,y,z)_E} então

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \overrightarrow v &=& x\overrightarrow{e}_1 + y\overrightarrow{e}_2 + z\overrightarrow{e}_3 \\ &=& x(e_{1,1} \overrightarrow{b}_1 + e_{2,1}\overrightarrow{b}_2 + e_{3,1}\overrightarrow{b}_3) + y(e_{1,2} \overrightarrow{b}_1 + e_{2,2}\overrightarrow{b}_2 + e_{3,2}\overrightarrow{b}_3) + z(e_{1,3} \overrightarrow{b}_1 + e_{2,3}\overrightarrow{b}_2 + e_{3,3}\overrightarrow{b}_3)\\ &=& (xe_{1,1}+ye_{1,2}+ze_{1,3})\overrightarrow{b}_1 + (xe_{2,1}+ye_{2,2}+ze_{2,3})\overrightarrow{b}_2 + (xe_{3,1}+ye_{3,2}+ze_{3,3})\overrightarrow{b}_3 \end{array}

portanto

\displaystyle \overrightarrow v = ( xe_{1,1}+ye_{1,2}+ze_{1,3} , xe_{2,1}+ye_{2,2}+ze_{2,3} , xe_{3,1}+ye_{3,2}+ze_{3,3} )_B

Em forma matricial, as coordenadas de {\overrightarrow v = (a,b,c)_B} na base {B} são dadas por

\displaystyle  \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e_{1,1}&e_{1,2}&e_{1,3}\\ e_{2,1}&e_{2,2}&e_{2,3}\\ e_{3,1}&e_{3,2}&e_{3,3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}

e a matriz

\displaystyle M_{B\rightarrow E} = \begin{pmatrix} e_{1,1}&e_{1,2}&e_{1,3}\\ e_{2,1}&e_{2,2}&e_{2,3}\\ e_{3,1}&e_{3,2}&e_{3,3} \end{pmatrix}

é chamada matriz mudança de base de {B} para {E}.

Como {E} é base, seus vetores são {{\mathrm{\ell.i.~}}} portanto, pela proposição 4 {\mathrm{det}M_{B\rightarrow E}\neq 0}. Se {\mathrm{det}M_{B\rightarrow E}\neq 0} então {M_{B\rightarrow E}} é invertível e podemos escrever

\displaystyle  \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = M_{B\rightarrow E}^{-1} \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}.

Exemplo 6 Sejam {E=(\overrightarrow{e}_1,\overrightarrow{e}_2,\overrightarrow{e}_3)} e {F=(\overrightarrow{f}_1,\overrightarrow{f}_2,\overrightarrow{f}_3)} bases tais que

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \overrightarrow{f}_1 &=& -\overrightarrow{e}_1 +\overrightarrow{e}_2 \\ \overrightarrow{f}_2 &=& \overrightarrow{e}_2 \\ \overrightarrow{f}_3 &=& \overrightarrow{e}_2 + \overrightarrow{e}_3 \end{array}

Então a matriz mudança de base de {E} para {F} é

\displaystyle  M_{E\rightarrow F} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

e se {\overrightarrow u =(1,-1,3)_F} então

\displaystyle  \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix}

que resulta em {x_1=-1,x_2=3,x_3=3}, i.e., {\overrightarrow u = (-1,3,3)_E}.

Exercício 13 Dois vetores {\overrightarrow u,\overrightarrow v} não-nulos são ortogonais, denotado por {\overrightarrow u \perp \overrightarrow v}, se existem representantes {(A,B)} e {(C,D)} de {\overrightarrow u} e {\overrightarrow v} com {\overline{AB}} ortogonal a {\overline{CD}}. Convenciona-se que {\overrightarrow 0} é ortogonal a qualquer outro vetor.

Se {E(\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow w)} é uma base onde os vetores são dois-a-dois ortogonais então {E} é uma base ortogonal e se, além disso, {|\overrightarrow u| = |\overrightarrow v|=|\overrightarrow w|=1} então {E} é uma base ortonormal .

Prove que se {E} é uma base ortonormal e {\overrightarrow x = (\alpha, \beta, \gamma)_E} então

\displaystyle   |\overrightarrow{x}|= \sqrt{\alpha^2 + \beta^2+\gamma^2} \ \ \ \ \ (8)

Exercicio 14 Sejam {A,B,C} bases. Prove que

  1. {M_{A\rightarrow A}=\mathrm{Id}}, em que {\mathrm{Id}} denota a matriz identidade;
  2. {M_{B\rightarrow A}= M_{A\rightarrow B}^{-1}};
  3. {M_{A\rightarrow C}=M_{A\rightarrow B} M_{B\rightarrow C}}.

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