bc0404 Produto escalar

Por ora, fixemos uma base {\mathcal O=(\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k)} ortonormal. Dados vetores {\overrightarrow u = (u_1,u_2,u_3)_{\mathcal O}, \overrightarrow v=(v_1,v_2,v_3)_{\mathcal O}}, o produto interno — ou produto escalar — deles é o escalar

\displaystyle  \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v {\;\stackrel{\text{\tiny def}}{=}\;} u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3

Propriedades:

  • (I1) {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \overrightarrow v \cdot \overrightarrow u};
  • (I2) {(\alpha \overrightarrow u)\cdot \overrightarrow c= \overrightarrow u\cdot(\alpha\overrightarrow v) =\alpha(\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v)};
  • (I3) {\overrightarrow u \cdot ( \overrightarrow v + \overrightarrow w) = \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v + \overrightarrow u \cdot \overrightarrow w};
  • (I4) {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow u \geq 0};
  • (I5) {|\overrightarrow u | = \sqrt{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow u}}.

Exercício 15 Verifique as propriedades acima. Prove que {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow u = 0} se e só se {\overrightarrow u=\overrightarrow 0}.

Vejamos como produto escalar nos dá uma ferramente para medir ângulos. Sejam {\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}} vetores não nulos e {P,A,} pontos tais que {\overrightarrow u =\overrightarrow{PA}} e {\overrightarrow v = \overrightarrow{PB}}. Então {\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB}}. Se {\Theta} é a medida do ângulo {A\widehat{P}B}, {0 \leq \Theta \leq \pi} em radianos, então pela lei dos cossenos:

\displaystyle \big| \overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB} \big|^2 = | \overrightarrow{PA}|^2 + |\overrightarrow{PB}|^2 -2|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|\cos \Theta,

ou

\displaystyle   \big| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \big|^2 = | \overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 -2|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos \Theta \ \ \ \ \ (9)

No lado direito de (9) temos

{\big| \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \big|^2} { (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} )\cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} )} por (I5)
{=} { (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} )\cdot\overrightarrow u - (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ) \cdot\overrightarrow v} por (I3)
{=} { \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow u - \overrightarrow{v} \cdot\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot\overrightarrow v} por (I3)
{=} {\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow u -2 \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot\overrightarrow v } por (I1)
{=} {|\overrightarrow u|^2 + |\overrightarrow v |^2 - 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} } por (I5)

e substituindo em (9) resulta que

\displaystyle  \cos \Theta = \frac{\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v}{|\overrightarrow u ||\overrightarrow v|}.

Portanto, se {\overrightarrow u \perp \overrightarrow v}, então {\cos \Theta = 0}, portanto {\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v =0}. Reciprocamente, se {\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v =0} então {\Theta = \pi/2} ({\overrightarrow u \perp \overrightarrow v}) pois {0 \leq \Theta \leq \pi}. Assim, podemos afirmar que {\Theta} é um ângulo reto se e só se {\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v = 0}.

Exercício 16 Prove que, com a notação acima,

  1. {\Theta} corresponde a um ângulo agudo se e só se {\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v > 0};
  2. {\Theta} corresponde a um é um ângulo obtuso se e só se {\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v < 0};

Exemplo 7 Se {(\overrightarrow u,\overrightarrow v)} é {{\mathrm{\ell.i.~}}} é {\overrightarrow w \neq \overrightarrow 0} é ortogonal a {\overrightarrow u} e a {\overrightarrow v} então {(\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow w)} é base.

De fato, suponha que {\alpha \overrightarrow u+\beta \overrightarrow v + \gamma\overrightarrow w = \overrightarrow 0}. Então

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \overrightarrow w \cdot(\alpha \overrightarrow u+\beta \overrightarrow v + \gamma\overrightarrow w) = \overrightarrow w \cdot \overrightarrow 0 &\Leftrightarrow& \alpha \overrightarrow w \cdot\overrightarrow u+\beta \overrightarrow w \cdot\overrightarrow v + \gamma\overrightarrow w \cdot \overrightarrow w = \overrightarrow 0 \\ &\Leftrightarrow& \alpha \overrightarrow w \cdot\overrightarrow u+\beta \overrightarrow w \cdot\overrightarrow v + \gamma\overrightarrow w \cdot \overrightarrow w = \overrightarrow 0\\ &\Leftrightarrow& \gamma\overrightarrow w \cdot \overrightarrow w = \overrightarrow 0 \end{array}

pela ortogonalidade. Do exercício 15 {\gamma =0}, logo {\alpha \overrightarrow u+\beta \overrightarrow v = \overrightarrow 0} e como {(\overrightarrow u,\overrightarrow v)} é {{\mathrm{\ell.i.~}}}, temos {\alpha =\beta =0}, portanto {(\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow w)} é base.

Observação 1 Se escolhêssemos outros representantes, digamos {\overrightarrow u = \overrightarrow{OC}} e {\overrightarrow v=\overrightarrow{OD}} então o ângulo {C\widehat O D} é diferente de {A\widehat{P}B}. Entretanto, tais ângulos apresentam a mesma medida de ângulo que é o que interessa pra nós.

Observação 2 Se {C = (\overrightarrow x,\overrightarrow y,\overrightarrow z)} é uma outra base ortonormal e {\overrightarrow u = (u_x,u_y,u_z)_C } e {\overrightarrow v = (v_x,v_y,v_z)_C} então usando (I2) e (I3) podemos deduzir

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \overrightarrow u\cdot \overrightarrow v &=& (u_x\overrightarrow u + u_y\overrightarrow v +u_z \overrightarrow w)\cdot (v_x\overrightarrow u + v_y\overrightarrow v +v_z \overrightarrow w)\\ &=& u_xv_x \overrightarrow u\cdot \overrightarrow u + u_xv_y \overrightarrow u\cdot \overrightarrow v + u_xv_z \overrightarrow u\cdot \overrightarrow w + u_yv_x \overrightarrow v\cdot \overrightarrow u + u_yv_y \overrightarrow v\cdot\overrightarrow v + \\&& u_y v_z\overrightarrow v\cdot\overrightarrow w+ u_zv_x \overrightarrow w \cdot\overrightarrow v + u_zv_z \overrightarrow w\cdot \overrightarrow w \end{array}

Da ortonormalidade da base, os vetores têm norma 1, portanto {\overrightarrow u\cdot \overrightarrow u = \overrightarrow v\cdot\overrightarrow v =\overrightarrow w\cdot \overrightarrow w = 1} e os vetores são ortogonais 2-a-2, portanto {\overrightarrow u\cdot \overrightarrow w = \overrightarrow u\cdot \overrightarrow w = \overrightarrow v\cdot \overrightarrow u = v\cdot\overrightarrow w+ \overrightarrow w \cdot\overrightarrow v = 0}. Disso tudo resulta,

\displaystyle \overrightarrow x\cdot \overrightarrow y = u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z.

Assim, na definição de produto escalar não importa a base, importa apenas que seja ortonormal.

 


Projeção ortogonal de {\overrightarrow u} sobre {\overrightarrow v}: dados dois vetores {\overrightarrow u} e {\overrightarrow v}, com {\overrightarrow v} não nulo, vamos decompor o vetor {\overrightarrow u} em dois vetores {\overrightarrow p}, {\overrightarrow q} de modo que {\overrightarrow p} é paralelo a {\overrightarrow v} e {\overrightarrow q} é ortogonal a {\overrightarrow v}, i.e.,

 

\displaystyle \overrightarrow u =\overrightarrow p + \overrightarrow q \textrm{ com } \overrightarrow p \parallel \overrightarrow v \textrm{ e }\overrightarrow q \perp \overrightarrow v

{\overrightarrow p} é a projeção de {\overrightarrow u} sobre {\overrightarrow v}.

Sejam {\overrightarrow u} e {\overrightarrow v} não-nulo e tomemos {\overrightarrow u = \overrightarrow{PA}} e {\overrightarrow v =\overrightarrow{PB}}. Seja {r} a reta perpendicular a reta {PB} e que passa por {A} e {H} o ponto de encontro dessas retas.

A projeção ortogonal de {\overrightarrow{PA}} sobre {\overrightarrow{PB}} é o vetor {\overrightarrow{PH}}.

Notemos que {\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PH}+ \overrightarrow{HA} } com

  • {\overrightarrow{PH}} um múltiplo escalar de {\overrightarrow{PB}}, i.e., {\overrightarrow{PH} = \lambda \overrightarrow{PB}};
  • { \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{PA} -\overrightarrow{PH}} ortogonal a {\overrightarrow{PB}}, i.e., {(\overrightarrow{PA}-\lambda \overrightarrow{PB}) \cdot \overrightarrow{PB} =0}

e a última equação equivale a

\displaystyle  \lambda \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}

portanto

\displaystyle \lambda = \frac{\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}}{\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PB}}= \frac{\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}}{\big|\overrightarrow{PB}\big|^2}= \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\big|\overrightarrow{v}\big|^2}.

Definição: Dados os vetores {\overrightarrow u} e {\overrightarrow v} não-nulo, a projeção ortogonal de {\overrightarrow{u}} sobre {\overrightarrow{v}} é o vetor

\displaystyle \mathrm{proj}_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow u) {\;\stackrel{\text{\tiny def}}{=}\;} \left( \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{|\overrightarrow v|^2}\right)\overrightarrow{v}

Exercício 17 Os cossenos diretores de um vetor {\overrightarrow v} são os cossenos dos ângulos que {\overrightarrow v} forma com cada vetor de uma base ortonormal. Dada a base {B=(\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k)} e o vetor {\overrightarrow v=(x,y,z)_B} e denotando esses ângulos por {\alpha}, {\beta} e {\gamma} (respectivamente a {\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k}).

  1. Prove que {\cos^2 \alpha + \cos^2\beta + \cos^2 \gamma =1}.
  2. o versor de {\overrightarrow v} é o vetor {\frac{\overrightarrow v}{|\overrightarrow v|}}. Prove que\displaystyle  \frac{\overrightarrow v}{|\overrightarrow v|}= (\cos \alpha,\cos\beta,\cos\gamma)_B
  3. Prove que\displaystyle \cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, ~\cos\beta = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, ~~\cos\gamma = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

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