bc0404 Sistema de coordenadas

Sistema de coordenadas. Um sistema de coordenadas {\Sigma} é um par {(O,E)} em que {O} é um ponto chamado origem e {E} é base.

Notação No caso {E=(\overrightarrow{e}_1,\overrightarrow{e}_2,\overrightarrow{e}_3)} escrevemos, por abuso de notação,

\displaystyle \Sigma=(O,\overrightarrow{e}_1,\overrightarrow{e}_2,\overrightarrow{e}_3).

Dado um ponto {P}, as coordenadas de {P} nos sistema {\Sigma=(O,E)} são as coordenadas do vetor {\overrightarrow{OP}} na base {E}. Escrevemos

\displaystyle  \boxed{ P=(x,y,z)_\Sigma ~\textrm{ ou }~ P=(x,y,z) }

Notemos que {\overrightarrow{OP}=(x,y,z)_E} e temos um bijeção entre {\mathop{\mathbb E}^3} e {{\mathbb R}^3}. A primeira coordenada de um ponto {P} com relação a um sistema de coordenadas é chamada abcissa , a segunda ordenada e a terceira cota .

Exemplo 10 Num sistema de coordenadas, dados os pontos {A=(a,b,c)} e {B=(c,d,e)}, determine as coordenadas do ponto médio do segmento {\overline{AB}}.

Pelo exercício 9 temos que {\overrightarrow{OM} = \frac 12 \big(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\big) = \frac 12((a,b,c)+(c,d,e))} {= \big((c+a)/2, (d+b)/2, (e+c)/2 \big)}.

Fixado um sistema de coordenadas {\Sigma  =(O,E)} e dados os pontos {A=(a,b,c)_\Sigma} e {B=(d,e,f)_\Sigma} e o vetor {\overrightarrow u  =(u_0,u_1,u_2)_E} e {\lambda\in{\mathbb  R}} temos

\displaystyle  \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO}  +\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} =  (d-a,e-b,f-c)_E

\displaystyle  A+\lambda \overrightarrow u = (a+\lambda u_0,b+\lambda u_1,c+\lambda u_2)_\Sigma

verifique essa última igualdade.

 

Uma reta é dita orientada quando se escolheu um segmento orientado sobre ela. Um eixo é uma reta orientada na qual se fixou uma origem e se adotou uma unidade de medida de distância entre os pontos. No sistema de coordenadas {\Sigma=(O,\overrightarrow{e}_1,\overrightarrow{e}_2,\overrightarrow{e}_3)}, cada reta que passa por {O} e é paralela a um dos vetores {\overrightarrow{e}_1,\overrightarrow{e}_2,\overrightarrow{e}_3} da base é dita eixo coordenado

  • o eixo das abcissas, ou eixo dos {x} , é denotado {Ox} é paralelo a {\overrightarrow{e}_1} e a unidade é {|\overrightarrow{e}_1|};
  • o eixo das ordenadas ou eixo dos {y} , é denotado {Oy} é paralelo a {\overrightarrow{e}_2} e a unidade é {|\overrightarrow{e}_2|};
  • o eixo das cotas ou eixo dos {z} , é denotado {Oz} é paralelo a {\overrightarrow{e}_3} e a unidade é {|\overrightarrow{e}_3|}.

Cada plano determinado por um par de eixos é dito plano coordenado e são denotados por {Oxy}, {Oxz} e {Oyz}.

Dizemos que {\Sigma} é um sistema de coordenadas ortogonal quando {E} for uma base ortonormal. Com respeito a um sistema ortogonal de coordenadas, dados os pontos {A=(a,b,c)} e {B=(d,e,f)} então a distância entre eles é o comprimento do vetor {\overrightarrow{AB}}, isto é,

\displaystyle   d(A,B) = \sqrt{(d-a)^2+(e-b)^2+(f-c)^2} \ \ \ \ \ (16)

Exercício 22 Dê um exemplo de pontos em um sistema de coordenadas não ortogonal onde (16) falha.

Exercício 23 Sejam {P=(1,3,3)}, {Q=(-2,-1,4)} e {\overrightarrow u = (-1,4,0)}. Determine as coordenadas de {\overrightarrow{QP}}, de {P+\overrightarrow u} e de {Q+2\overrightarrow{PQ}}.

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