bc0404 Equações de reta


Equações de reta. Um vetor não nulo {\overrightarrow u} é um vetor diretor da reta {r} se {\overrightarrow u} é paralelo a {r}. Se {A \in r} então esse ponto e o vetor determinam a reta {r}, pois para qualquer {X\in r} vale {\overrightarrow{AX} = \lambda \overrightarrow u} para algum escalar {\lambda}, ou seja, {X=A+\lambda\overrightarrow u}.

Em outras palavras, {r} é o lugar geométrico dos pontos {X} tais que {X=A+\lambda\overrightarrow u} para algum escalar {\lambda}. Escrevemos

\displaystyle   \boxed{ r \colon X= A + \lambda \overrightarrow u \quad (\lambda \in {\mathbb R})} \ \ \ \ \ (17)

Essa equação é chamada equação vetorial da reta {r}.

Observacao 4 Equação vetorial de uma reta não é única.

Se adotamos um sistema de coordenadas {\Sigma=(O,E)} então temos {A=(a,b,c)_\Sigma} e {\overrightarrow u = (u_0,u_1,u_2)_E} e todo {X=(x,y,z)_\Sigma} satisfaz

\displaystyle   \boxed{ \begin{cases} x = a + \lambda u_0 \\ y = b + \lambda u_1 \\ z = c + \lambda u_2 \end{cases} (\lambda\in{\mathbb R})} \ \ \ \ \ (18)

esse sistema é chamado sistema de equações paramétricas da reta {r}.

Exemplo 11 Seja {r} a reta determinada pelos pontos {A} e {B}. Então {\overrightarrow{BA}} é um vetor diretor de {r} e {X= A+ \lambda \overrightarrow{BA} \quad (\lambda \in {\mathbb R})} é uma equação vetorial de {r}.

Com respeito a um sistema de coordenadas se {r} é a reta determinada pelos pontos {A=(1,0,1)} e {B=(3,-2,3)}, então {\overrightarrow{BA}=(-2,2,-2)} é um vetor diretor de {r} e

\displaystyle  (x,y,z) = (1,0,1)+\lambda(-2,2,-2)

é uma equação vetorial de {r} e

\displaystyle  \begin{cases} x = 1-2\lambda \\ y = 2\lambda\\ z = 1 - 2\lambda \end{cases}

são as equações paramétricas da reta {r}.

Exercício 24 Dados os vértices consecutivos {ABCD} de um paralelogramo com {A=(1,-3,2)}, {B=(0,6,-3)} e {C=(5,1,4)}, determine as coordenadas do ponto {D} e determine as coordenadas do ponto de encontro das diagonais {\overline{AC}} e {\overline{BD}}.

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