bc0404 Posição relativa de retas e planos

Posição relativa de retas e planos. Sejam {\overrightarrow r} e {\overrightarrow s} vetores diretores das retas {r} e {s}, respectivamente.

Se ({\overrightarrow r}, {\overrightarrow s}) ~\mathrm{\ell.d.} então as retas são paralelas ou coincidentes.

pois {\overrightarrow r \parallel \overrightarrow s} e pra saber se as retas coincidem basta testar se um ponto arbitrário de {r} está em {s}, ou vice-versa. Agora,

Se ({\overrightarrow r}, {\overrightarrow s}) ~\mathrm{\ell.i.} então as retas são reversas ou concorrentes.

serão reversas se e só se {(\overrightarrow r, \overrightarrow s, \overrightarrow{AB}) ~ {\mathrm{\ell.i.~}}} para {A\in r } e {B\in s} quaisquer.

Em resumo, no caso reta-reta duas retas {r} e {s} de {\mathop{\mathbb E}^3} podem ser

  • reversas,
  • concorrentes,
  • paralelas ou
  • coincidentes.

Exemplo 14 As retas {r\colon X=(1,1,1)+\lambda(1,1,1)} e {s\colon X= (0,0,3)+\lambda (2,2,2)} têm vetores diretores paralelos e como {(0,0,3)\in s} mas {(0,0,3)\not\in r} as retas são paralelas. Com relação a reta {t\colon X=(0,0,3)+\lambda(1,2,3)} as retas {r} e {t} tem vetores diretores {{\mathrm{\ell.i.~}}} e tomando {A=(1,1,1)\in r } e {B=(0,0,3)\in s} temos {(\overrightarrow{AB},\overrightarrow r ,\overrightarrow t)} {{\mathrm{\ell.i.~}}} portanto as retas são reversas. As retas {s} e {t} tem vetores diretores {{\mathrm{\ell.i.~}}} e {(0,0,3)} pertence as duas retas, portanto elas são concorrentes.

Com respeito a uma reta {r} e um plano {\pi}, sejam {\overrightarrow r}, {(\overrightarrow p,\overrightarrow q)} os vetores diretores de {r} e {\pi}, respectivamente.

\displaystyle   \boxed{ \textrm{Se } (\overrightarrow p,\overrightarrow q, \overrightarrow r) ~ {\mathrm{\ell.i.~}} \textrm{ ent\~ao a reta \'e transversal ao plano} } \ \ \ \ \ (28)

caso contrário, os vetores {\overrightarrow p,\overrightarrow q, \overrightarrow r} são paralelos ao plano {\pi}

\displaystyle   \boxed{ \textrm{Se } (\overrightarrow p,\overrightarrow q, \overrightarrow r) ~ {\mathrm{\ell.d.~}} \textrm{ ent\~ao a reta est\'a contida ou \'e paralela ao plano} } \ \ \ \ \ (29)

Relembrando a Proposição 8: Se {\pi\colon ax+by+cz+d=0} é e {\overrightarrow u = (u_0,u_1,u_2)}, então {\overrightarrow u} é paralelo ao plano {\pi} se, e só se, {au_0+b u_1+cu_2 = 0}. Com isso, dado {\pi} e tomado {\overrightarrow u = (u_0,u_1,u_2)} o vetor diretor de {r} então

  • se {au_0+b u_1+cu_2 \neq 0}, {r} e {\pi} são transversais;
  • caso contrário, {r} e {\pi} não são transversais e para saber se {r} está contida em {\pi} basta testar se {A\in r} arbitrário está em {\pi}, senão {r \parallel \pi}.

Em resumo, com respeito a uma reta {r} e um plano {\pi} podem ocorrer

  • {r} contida em {\pi},
  • {r} paralela a {\pi}, ou
  • {r} transversal a {\pi}.

Exemplo 15 A reta {r\colon X=(1,1,1)+\lambda(1,1,1)} e o plano {\pi\colon x+y+z=0} contém o ponto {(0,0,0)}, ademais {1\cdot 1 +1\cdot 1 +1\cdot 1 \neq 0} portanto não são paralelos, logo são transversais.

Finalmente, no caso plano-plano a posição relativa entre dois planos {\pi_1} e {\pi_2} podem ocorrer deles serem

  • paralelos;
  • coincidentes;
  • transversais.

O resultado a seguir mostra que se os coeficientes da equação geral dos planos são proporcionais, então os panos são iguais, enquanto que se a proporcionalidade não vale apenas para o termo independente ({d}) então os planos são paralelos. Se os coeficientes não são proporcionais então os planos se encontram numa reta (transversais).

Proposição 10 Sejam

{\pi_1\colon a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0} {\pi_2\colon a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0}
{\overrightarrow{n}_1 = (a_1,b_1,c_1)} {\overrightarrow{n}_2 = (a_2,b_2,c_2)}
{\overrightarrow{a}_1 = (b_1,c_1,d_1)} {\overrightarrow{a}_2 = (b_2,c_2,d_2)}

então

  1. {\pi_1} e {\pi_2} são paralelos ou coincidentes se e só se {(\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2)} é {{\mathrm{\ell.d.~}}}

    1. coincidentes se e só se {(\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2)} é {{\mathrm{\ell.d.~}}};
    2. paralelos se e só se {(\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2)} é {{\mathrm{\ell.i.~}}};
  2. {\pi_1} e {\pi_2} são transversais se e só se {(\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2)} é {{\mathrm{\ell.i.~}}}.

Demonstração: Começamos por assumir {(\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2)} {{\mathrm{\ell.d.~}}}. As coordenadas desses vetores são proporcionais, i.e., existe {k\neq 0} tal que {(a_1,b_1,c_1) = k(a_2,b_2,c_2)} logo

\displaystyle  \pi_1\colon a_2x+b_2y+c_2z+ \frac{d_1}k=0

Pela proposição 8 todo vetor paralelo a {\pi_2} também é paralelo a {\pi_1}, portanto, nesse caso, os planos {\pi_1} e {\pi_2} são paralelos.

Se {(\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2)} é {{\mathrm{\ell.d.~}}} então {d_1 = k d_2} logo

\displaystyle  a_2x+b_2y+c_2z+ \frac{d_1}k = a_2x+b_2y+c_2z+ d_2

e temos o mesmo plano. Se, por outro lado, {d_1 \neq k d_2} então se {(x,y,z)\in \pi_1} temos

\displaystyle  a_2x+b_2y+c_2z = - \frac{d_1}k \neq d_2

ou seja, {(x,y,z)\not\in \pi_2} e concluímos que os planos paralelos são distintos.

Reciprocamente, se os planos {\pi_1} e {\pi_2} são paralelos, escolhemos os vetores

\displaystyle  \overrightarrow u = (-b_1,a_1,0) ~ \mathrm{~e~} ~ \overrightarrow v = (-c_1, 0 , a_1) ~ \mathrm{~e~} ~ \overrightarrow w = (0,-c_1, b_1).

Usando a Proposição 8 (escolhemos os vetores acima pra que isso seja possível) podemos concluir que esses vetores são paralelos a {\pi_1}

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  a_1(-b_1)+b_1a_1+c_10 &=&0\\ a_1(-c_1)+b_10+c_1a_1 &=&0\\ a_10+b_1(-c_1)+c_1b_1 &=&0 \end{array}

e, portanto, paralelos também a {\pi_2} pois os planos são paralelos. De novo, a Proposição 8

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  a_2(-b_1)+b_2a_1+c_20 &=&0\\ a_2(-c_1)+b_20+c_2a_1 &=&0\\ a_20+b_2(-c_1)+c_2b_1 &=&0 \end{array}

logo {a_1b_2 -a_2b_1=a_1c_2-a_2c_1=b_1c_2-b_2c_1=0} o que nos dá que os vetores {\overrightarrow n_1} e {\overrightarrow n_2} são proporcionais. O mesmo vale para planos coincidentes.

Agora, só resta o caso 3, mas esse caso é equivalente a {\pi_1} e {\pi_2} não são transversais se e só se {(\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2)} é {{\mathrm{\ell.d.~}}} que é o que provamos pois não-transversal equivale a paralelo ou coincidente. \Box

No caso de sistema ortogonal de coordenadas definimos:

  1. Duas retas são ortogonais se seu vetores diretores são ortogonais, ademais se essas retas se encontram então elas são ditas perpendiculares.
  2. Uma reta é perpendicular a um plano se o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano.
  3. Dois planos são perpendiculares se eles têm vetores normais ortogonais.

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s