bc0404 Distâncias e Ângulos

Medidas de ângulo e distância. Nesse tópico veremos como medir o ângulo entre dois objetos geométricos {\Omega} e {\Gamma} o que será denotado por

\displaystyle \mathrm{ang}(\Omega,\Gamma)

e como medir distância, denotada

\displaystyle \mathrm{d}(\Omega,\Gamma)

Assumiremos o tempo todo que estamos trabalhando com um sistema de coordenadas ortonormal com uma base positiva.

Começaremos com a distância que é caracterizada por

\displaystyle \mathrm{d}(\Omega,\Gamma) = \min \{\mathrm{d}(X,Y)\colon X\in \Omega,~Y\in\Gamma\}

Como estabelecemos um sistema de coordenadas ortogonal, sabemos que a distância entre os pontos {A=(a_0,a_1,a_2)} e {B=(b_0,b_1,b_2)} é

\displaystyle   \boxed{ \mathrm{d}(A,B) = \sqrt{(a_0-b_0)^2+(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}} \ \ \ \ \ (30)

A medida angular entre os vetores {\overrightarrow u} e {\overrightarrow v} é

\displaystyle \theta = \mathrm{ang}(\overrightarrow u,\overrightarrow v)

e é tal que {0\leq \theta \leq \pi} (em radianos) e {\cos \theta = (\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v )/(|\overrightarrow u||\overrightarrow v|)}.

ponto-reta — a distância de um ponto {P} a uma reta {r} é o comprimento do segmento {\overline{PQ}} onde {Q} é dado pelo encontro da reta {r} com a reta perpendicular a {r} que passa por {P}.

Não precisamos determinar o ponto {Q}, basta tomarmos {A\in r} qualquer e considerarmos a projeção ortogonal de {\overrightarrow{AP}} em {\overrightarrow r}, {\mathrm{proj}_{\overrightarrow r}(\overrightarrow{AP})} e temos {|\overrightarrow{AP}|^2 = |\mathrm{d}(P,r)|^2 + | \mathrm{proj}_{\overrightarrow r}(\overrightarrow{AP})|^2} portanto

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  |\mathrm{d}(P,r)|^2 &=& |\overrightarrow{AP}|^2 - | \mathrm{proj}_{\overrightarrow r}(\overrightarrow{AP})|^2 = |\overrightarrow{AP}|^2 -\frac{|\overrightarrow r \cdot \overrightarrow{AP}|^2}{|\overrightarrow r|^2} \\ &=& \frac{|\overrightarrow{AP}|^2|\overrightarrow r|^2 +|\overrightarrow r \cdot \overrightarrow{AP}|^2}{|\overrightarrow r|^2} \\ &=& \frac{|\overrightarrow{AP}|^2|\overrightarrow r|^2 \sin^2\Theta }{|\overrightarrow r|^2} \end{array}

ou seja

\displaystyle  \boxed{ \mathrm{d}(P,r) = \frac{|\overrightarrow{AP}\wedge\overrightarrow r|}{|\overrightarrow r|}} \ \textrm{ para qualquer } A\in r \ \ \ (31)

Exemplo 16 A distância de {P=(-2,0,1)} para {r\colon X=(1,-2,0)+\lambda(3,2,1)} é dada por

\displaystyle  \mathrm{d}(P,r) = \frac{|(-2-1,0-(-2),1-0) \wedge(3,2,1)| }{|(3,2,1)|} = 3 \sqrt{\frac{90}7}.

ponto-plano — a distância de um ponto {P} a um plano {\pi}, {\mathrm{d}(P,\pi)}, é a distância de {P} à projeção ortogonal {Q} de {P} em {\pi}

que é equivalente a tomar um ponto {A\in\pi} qualquer e determinar

{|\mathrm{proj}_{\overrightarrow n}(\overrightarrow{AP})|}, i.e.

\displaystyle   \boxed{\mathrm{d}(P,\pi) = |\mathrm{proj}_{\overrightarrow n}(\overrightarrow{AP})| = \frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow n|}{|\overrightarrow n|}} \ \textrm{ para qualquer }A\in\pi \ \ \ (32)

Se {P=(x_0,y_0,z_0)}, {A=(x_1,y_1,z_1)} e {\pi\colon ax+by+cz+d=0} então {\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow n = ax_0+by_0+cz_0+d} e (32) fica

\displaystyle   \boxed{\mathrm{d}(P,\pi) = \frac{| ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}} \ \ \ \ \ (33)

Exemplo 17 A distância de {C=(2,1,1)} para {\pi\colon 2x+y-2z-21=0} é, usando (33),

\displaystyle  \mathrm{d}(C,\pi) = \frac{|4+1-2-21|}{\sqrt{2^2+ 1^1 +(-1)^2}} = \frac{18}3 = 6.

reta-reta — consideremos duas retas {r,s} com vetores diretores {\overrightarrow r,\overrightarrow s}, respectivamente. Se as retas são coincidentes ou concorrentes então {\mathrm{d}(r,s)=0}. Senão consideremos uma reta {t} que encontra {r} em {P} e {s} em {Q} perpendicularmente e temos
\displaystyle \mathrm{d}(r,s)=\mathrm{d}(P,Q); isso fica bem definido porque {t} é única no caso de {r} e {s} serem reversas e a escolha de {t} é indiferente no caso de retas paralelas.

No caso {r, s} paralelas temos {\mathrm{d}(r,s) = \mathrm{d}(P,s)} para qualquer {P\in r}, logo

\displaystyle  \boxed{\mathrm{d}(r,s) = \frac{|\overrightarrow{AP}\wedge\overrightarrow r|}{|\overrightarrow r|}} \textrm{ para quaisquer } P\in r,~A\in s

pela equação (31). Se as retas são reversas, então seja {\pi} o (único) plano que contém {r} e é paralelo a {s} e que tem como vetor normal {\overrightarrow r \wedge \overrightarrow s}. Assim, {\mathrm{d}(r,s) = \mathrm{d}(B,\pi)} para qualquer {B\in s} ou seja

\displaystyle  \boxed{\mathrm{d}(r,s)=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow r \wedge \overrightarrow s|}{|\overrightarrow r \wedge \overrightarrow s|} =\frac{| [\overrightarrow{AB},\overrightarrow r, \overrightarrow s]|}{|\overrightarrow r \wedge \overrightarrow s|} } \textrm{ para quaisquer } A\in r,~B\in s

pela equação (32)

Exemplo 18 A distância entre as retas reversas {r\colon X = (-1,2,0) + \lambda (1,3,1)} e {s\colon (1,2,0) + \lambda (2,3,3)} pode ser calculada tomando {A= (-1,2,0)\in r}, {B= (1,2,0)\in s} e usando (34)

\displaystyle  \mathrm{d}(r,s) = \frac{|(2,0,0)\cdot(1,3,1)\wedge(2,3,3)|}{|(6,-1,-3)|} =\frac{16}{\sqrt{46}}.

É natural definirmos {\mathrm{ang}(r,s) = \mathrm{ang}(\overrightarrow r,\overrightarrow s)}, entretanto essa definição depende da escolha do vetor diretor, como exemplifica a seguinte figura

o ângulo {\mathrm{ang}(r,s)} é o menor dos ângulos {\Theta_1} e {\Theta_2} e com isso temos

\displaystyle \Theta = \mathrm{ang}(r,s)= \mathrm{min}\big\{ \mathrm{ang}(\overrightarrow r,\overrightarrow s), \mathrm{ang}(\overrightarrow r,-\overrightarrow s)\big\}\in [0,\pi/2]

ou seja, duas retas não-ortogonais sempre formam um ângulo agudo.

Se {\varphi = \mathrm{ang}(\overrightarrow r,\overrightarrow s)} então quando {\cos\varphi \geq 0 } temos {\Theta = \varphi} logo {\cos\Theta = \cos\varphi} e, caso contrário, {\cos\Theta = - \cos\varphi}, portanto

\displaystyle   \boxed{\cos \Theta = \frac{|\overrightarrow r \cdot \overrightarrow s |}{|\overrightarrow r||\overrightarrow s|}} \ \ \ \ \ (33)

Exemplo 19 Sejam {r\colon X=(1,1,9)+\lambda(0,-1,-1)} e {s\colon X = (0,-1,4)+\lambda(1,1,0)}. Então

\displaystyle \cos \Theta = \frac{|(0,-1,-1) \cdot (1,1,0) |}{|(0,-1,-1)||(1,1,0)|}= \frac 12

portanto {\theta = \pi/3}.

reta-plano — dados um plano {\tau} com vetor normal {\overrightarrow n} e uma reta {r} com vetor diretor {\overrightarrow r}, caso {\overrightarrow n\cdot \overrightarrow r\neq 0} a reta é transversal ao plano, portanto {\mathrm{d}(r,\tau)=0}. Caso {\overrightarrow n\cdot \overrightarrow r = 0} a reta está contida ou é paralela ao plano. Se está contida então {\mathrm{d}(r,\tau)=0}, senão {\mathrm{d}(r,\tau)=\mathrm{d}(A,\tau)} para algum {A\in r}. Note-se que não poderíamos tomar um ponto qualquer do plano e calcular sua distância para a reta {r}

\displaystyle \boxed{ \mathrm{d}(r,\tau)= \begin{cases} 0, & \textrm{ se }\overrightarrow n\cdot \overrightarrow r\neq 0\\ 0, & \textrm{ se }\overrightarrow n\cdot \overrightarrow r= 0 \textrm{ e } r\subset \tau\\ \mathrm{d}(A,\tau), &\textrm{ para algum } A\in r, \textrm{ se }\overrightarrow n\cdot \overrightarrow r= 0 \textrm{ e } r\parallel \tau \end{cases}}

O ângulo definido por um plano {\tau} e uma reta {r} é a menor medida de ângulo entre {r} e todas as retas contidas em {\tau}. Do ponto de vista analítico, o melhor a se fazer é uma medida indireta do ângulo

\displaystyle  \Theta = \mathrm{ang}(\tau,r) = \frac{\pi}2 - \mathrm{ang}(r,s)

em que {s} é qualquer reta perpendicular ao plano. Assim, se {\overrightarrow n} é o vetor normal ao plano e {\overrightarrow r} é o vetor diretor de {r} então

\displaystyle   \boxed{ \sin \Theta = \frac{|\overrightarrow n \cdot \overrightarrow r|}{|\overrightarrow n||\overrightarrow r|}} \ \ \ \ \ (34)

pois {\sin \Theta = \cos (\pi/2 - \varphi)}.

Exemplo 20 Sejam {\tau\colon x+y-10=0} um plano e {r\colon (0,1,0)+\lambda(-1,-1,0)} uma reta. Então {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow r = (1,1,0)\cdot (-1-1,0) = -2} portanto a reta é transversal ao plano e { \mathrm{d}(r,\tau) = 0}. Ademais

\displaystyle \sin (\mathrm{ang}(\tau,r)) = \frac{|\overrightarrow n \cdot \overrightarrow r|}{|\overrightarrow n||\overrightarrow r|} = \frac{|(0,1,0) \cdot (-1,-1,0)|}{|(0,1,0)||(-1,-1,0)|} =\frac 12

portanto {\theta = \pi/6}.

plano-plano — dados planos {\tau_1,\tau_2} com normais {\overrightarrow n_1} e {\overrightarrow n_2}, se {(\overrightarrow n_1, \overrightarrow n_2)} é {{\mathrm{\ell.i.~}}} então os planos são transversais e {\mathrm{d}(\tau_1,\tau_2)=0}. Caso contrário {\mathrm{d}(\tau_1,\tau_2)=\mathrm{d}(A,\tau_2)} para qualquer {A\in\tau_1}

\displaystyle \boxed{\mathrm{d}(\tau_1,\tau_2)= \begin{cases} 0, & \textrm{ se } (\overrightarrow n_1, \overrightarrow n_2) \;\; {\mathrm{\ell.i.~}} \\ \mathrm{d}(A,\tau_2), & \textrm{para qualquer } A\in\tau_1, \textrm{ caso contrario.} \end{cases}}

A medida de ângulo entre {\tau_1,\tau_2} é a medida angular entre duas retas perpendiculares a cada um dos planos

\displaystyle  \theta = \mathrm{ang}(\tau_1,\tau_2) = \mathrm{ang}(r,s) \in [0,\pi/2]

em que {r\perp \tau_1} e {s\perp \tau_2} são retas quaisquer satisfazendo a condição de ortogonalidade aos planos. Assim, se {\overrightarrow n_1} é o vetor normal ao plano {\tau_1} e {\overrightarrow n_2} é o vetor normal ao plano {\tau_2} então

\displaystyle   \boxed{\cos \theta = \frac{|\overrightarrow n_1 \cdot \overrightarrow n_2|}{|\overrightarrow n_1||\overrightarrow n_2|}} \ \ \ \ \ (36)

 

Exemplo 21 Se {\tau_1\colon x-y+z=20} e {\tau_2\colon X= (1,1,-2) + \alpha(0,-1,1) + \beta(1,-3,2)}, então {\overrightarrow n_1 = (1,-1,1)} e {\overrightarrow n_2 = (0,-1,1)\wedge (1,-3,2) =(1,1,1)} e

\displaystyle  \theta = \frac {|(1,-1,1)\cdot (1,1,1)|}{|(1,-1,1)||(1,1,1)|} = \frac 13

logo {\theta = \arccos(1/3)\in [0,\pi/2]}.

 

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