bc0404 Mudança de coordenadas

Mudança de sistema de coordenadas. Mudar o sistema de coordenadas significa mudar a origem, ou a base (ou ambos).

Sejam {B=(\overrightarrow b_1,\overrightarrow b_2,\overrightarrow b_3)}, {E=(\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2,\overrightarrow e_3)} bases, {O_1} e {O_2} pontos distintos e {\Sigma_1=(O_1,B)} e {\Sigma_2=(O_2,E)} sistemas de coordenadas; ademais {O_2=(h,k,l)_{\Sigma_1}}.

Os vetores de {E} podem ser expressos na base {B} como

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \overrightarrow{e}_1 = (e_{1,1},e_{2,1},e_{3,1})_B\\ \overrightarrow{e}_2 = (e_{1,2},e_{2,2},e_{3,2})_B\\ \overrightarrow{e}_1 = (e_{1,3},e_{2,3},e_{3,3})_B \end{array}

de modo que a matriz mudança de base, de {B} para {E}, é

\displaystyle  M_{B\rightarrow E} = \begin{pmatrix} e_{1,1}&e_{1,2}&e_{1,3}\\ e_{2,1}&e_{2,2}&e_{2,3}\\ e_{3,1}&e_{3,2}&e_{3,3} \end{pmatrix} \ \ \ \ \ (37)

Assim, se {X\in\mathop{\mathbb E}^3} temos {X=(x,y,z)_{\Sigma_1}} e {X=(u,v,w)_{\Sigma_2}} e queremos relacionas as coordenadas {x,y,z,u,v,w}. Entretanto, se {X=(u,v,w)_{\Sigma_2}} é porque

\displaystyle \overrightarrow{O_2X} = (u,v,w)_E

e, como {O_2=(h,k,l)_{\Sigma_1}} e {X=(x,y,z)_{\Sigma_1}}, temos

\displaystyle \overrightarrow{O_2X} = (x-h,y-k,z-l)_B

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\displaystyle  \begin{pmatrix} x-h\\y-k\\z-l \end{pmatrix} = M_{B\rightarrow E} \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix}

ou, equivalentemente,

\displaystyle \boxed{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h\\k\\l \end{pmatrix} + M_{B\rightarrow E} \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix}} \ \ \ \ \ (38)

Como {M_{B\rightarrow E}} é invertível e a inversa é {M_{E\rightarrow B}} podemos escrever

\displaystyle  \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} = M_{E\rightarrow B} \begin{pmatrix} x-h\\y-k\\z-l \end{pmatrix}.

Exemplo 19 Sejam {E=(\overrightarrow {e}_1,\overrightarrow{e}_2,\overrightarrow{e}_3)} e {F=(\overrightarrow{f}_1,\overrightarrow{f}_2,\overrightarrow{f}_3)} bases tais que

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \overrightarrow{f}_1 = \overrightarrow{e}_1 & \overrightarrow{f}_2 = \overrightarrow{e}_3 & \overrightarrow{f}_3= \overrightarrow e_1 + 2\overrightarrow{e}_2 - \overrightarrow{e}_3 \end{array}

Sejam {\Sigma_1 = (O_1, E)} e {\Sigma_2 = (O_2,F)} sistemas de coordenadas em que {O_2 = (1,2,-1)_{\Sigma_1}}. Então

\displaystyle  \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&0&2\\ 0&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} \qquad \mathrm{e} \\ \qquad \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&-1/2&0\\ 0&1/2&1\\ 0&1/2&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1\\y-2\\z+1 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ (39)

  1. Sendo {P=(2,1,-3)_{\Sigma_1}} e {Q=(0,1,-1)_{\Sigma_2}}, determine as coordenadas de {P} em {\Sigma_2} e as de {Q} em {\Sigma_1}.

    Susbstituindo {(x,y,z)=(2,1,-3)} na segunda igualdade de (39) acima temos {(u,v,w)=(3/2,-5/2,-1/2)}, portanto, {P=(3/2,-5/2,-1/2)_{\Sigma_2}}.

    Susbstituindo {(u,v,w)=(0,1,-1)} na primeira igualdade de (39) acima temos {(x,y,z)=(0,0,1)}, portanto, {Q=(0,0,1)_{\Sigma_1}}.

  2. Obtenha uma equação geral de {\pi\colon \big[ x-3y+2z-2=0\big]_{\Sigma_1}} em relação a {\Sigma_2}.

    Da primeira igualdade de (39) acima temos que {x=1+u+w}, {y=2+2w} e {z= -1+v-w}, substituindo na equaçõa geral

    \displaystyle  (1+u+w)-3(2+2w)+2(-1+v-w)=0

    ou seja, {\pi\colon \big[ u+2v-7w-9=0\big]_{\Sigma_2}}.

  3. Obtenha uma equação vetorial de {r\colon \big[ X = (1,1,2)+ \lambda (3,1,-2)\big]_{\Sigma_1}} em relação a {\Sigma_2}.

    Da equação vetorial dada temos {x=1+3\lambda}, {y=1+\lambda} e {z=2-2\lambda} e substituindo na segunda igualdade de (39) temos

    \displaystyle  u = \frac 12 +\frac 52 \lambda, \qquad v = \frac 52 - \frac 32 \lambda \qquad w=-\frac 12 + \frac 12\lambda

    logo {r\colon \big[ X = (1/2,-5/2,-1/2)+\lambda(5,-3,1)\big]_{\Sigma_2}}.

Exercicio 28 Repita o exemplo acima para {\overrightarrow f_1 = \overrightarrow e_1}, {\overrightarrow f_2 = -\overrightarrow e_3} e {\overrightarrow f_3 = \overrightarrow e_2} e {O_2=(1,0,0)_{\Sigma_1}}.

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