bc0404 Superfície esférica

Superfícies esféricas

Fixamos um sistema de coordenadas ortogonal. Uma superfície esférica {S} é o lugar geométrico dos pontos {X\in\mathop{\mathbb E}^3} tais que, para dados {C\in \mathop{\mathbb E}^3} e {\rho\in {\mathbb R}} positivo, {\mathrm{d}(X,C)=\rho}. O ponto {C} é chamado centro e {\rho} raio

Se {C=(a,b,c)} então, por (30), {S} é dado pelos pontos {(x,y,z)\in\mathop{\mathbb E}^3} tais que

\displaystyle   \boxed{ (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = \rho^2} \ \ \ \ \ (41)

que é chamada equação reduzida da superfície esférica. Desenvolvendo a equação acima temos uma equação da forma

\displaystyle   \boxed{ x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0} \ \ \ \ \ (42)

para {A,B,C,D} números reais, chamada equação geral da superfície esférica.

Observação 6 A equação geral {x^2+y^2+z^2-4x+2y-8z+30=0} é equivalente a {(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-4)^2 = -9} o que não é equação de uma superfície esférica.

Exercício 29 Mostre que {x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0} para {A^2+B^2+C^2-4D>0} é equação de uma superfície esférica de centro {(-A/2,-B/2,-C/2)} e raio {(1/2) \sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}}.

Posição relativa

Sejam {S} uma superfície esférica de centro {C} e raio {\rho}, e {P} um ponto

  • se {\mathrm{d}(P,C)>\rho} dizemos que {P} é exterior a {S};
  • se {\mathrm{d}(P,C)<\rho} dizemos que {P} é interior a {S};

e um conjunto qualqer de pontos {\Omega \subset \mathop{\mathbb E}^3} é exterior a {S} se todos os seu pontos são exterior a {S} e {\Omega} é interior a {S} se todos os seu pontos são interior a {S}.

reta-esfera — sejam {S} uma superfície esférica de centro {C} e raio {\rho} e {r} uma reta, então podem ocorrer

  1. {\mathrm{d}(C,r) > \rho}, nesse caso {S\cap r = \emptyset};
  2. {\mathrm{d}(C,r) = \rho}, nesse caso {S\cap r = \{T\}}; {T} é chamado ponto de tangência , e {CT \perp r};
  3. {\mathrm{d}(C,r) < \rho}, nesse caso {S\cap r = \{A,B\}} e {r} é secante a {S}.

plano-esfera — sejam {S} uma superfície esférica de centro {C} e raio {\rho} e {\pi} um plano qualquer, então podem ocorrer

  1. {\mathrm{d}(C,\pi) > \rho}, donde {S\cap \pi = \emptyset};
  2. {\mathrm{d}(C,\pi) = \rho}, donde {S\cap \pi= \{T\}}; {T} é chamado ponto de tangência e {CT \perp \pi};
  3. {\mathrm{d}(C,\pi) < \rho}, donde {S\cap \pi} é uma circunferência e {\pi} é secante a {S}.

A circunferência do item 3 tem raio {\rho' = \sqrt{\rho^2 - \mathrm{d}(C,\pi)^2}} e o centro {C'} é o encontro da reta que passa por {C} e é ortogonal a {\pi} com o plano {\pi}.

Exemplo 23 Sejam {\pi\colon 2x+y-2z-21=0} e {S: x^2+y^2+z^2-4x-2y-2z-94=0} equações gerais de um plano e uma superfície esférica, respectivamente. Determine o centro e o raio da circunferência {\pi\cap S}.

A equação reduzida de {S} é {(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 = 10^2} cujo centro é {C=(2,1,1)}. A reta perpendicular a {\pi } que passa por {C} tem equação

\displaystyle  X = (2,1,1)+\lambda(2,1,-2)

portanto {C'} satisfaz

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \begin{cases} x=2+2\lambda\\y=1+\lambda\\z=1-2\lambda \end{cases} ~\mathrm{e}~\quad 2x+y-2z-21=0 \end{array}

logo {2(2+2\lambda)+(1+\lambda)-2(1-2\lambda)-21=0}, ie, {\lambda = 2 } e {C'=(6,3,-3)}.

A distância {\mathrm{d}(C,\pi) = 6} e o raio da circunferência é {\rho' = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8}.

Exercício 30 Dê a equação geral de {S} de centro {(1,-2,1)} e raio {3}.

Mostre que {P=(3,-1,-1)} pertence a {S}.

Determine a equação do plano {\pi} tangente a {S} em {P}.

esfera-esfera — sejam {S_1} uma superfície esférica de centro {C_1} e raio {\rho_1} e {S_2} uma superfície esférica de centro {C_2} e raio {\rho_2}. Vamos assumir {C_1\neq C_2} (analise o caso {C_1=C_2}).

{S_1\cap S_2} é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem

\displaystyle   \begin{cases} x^2 + y^2 +z^2 + a_1x+b_1x+c_1z+d_1 = 0\\ x^2 + y^2 +z^2 + a_2x+b_2x+c_2z+d_2 = 0 \end{cases} \ \ \ \ \ (43)

e subtraindo as equações, é equivalente a

\displaystyle   \begin{cases} x^2 + y^2 +z^2 + a_1x+b_1x+c_1z+d_1 = 0\\ (a_1-a_2)x+(b_1-b_2)x+(c_1-c_2)z+d_1-d_2 = 0 \end{cases} \ \ \ \ \ (44)

ou a

\displaystyle   \begin{cases} x^2 + y^2 +z^2 + a_2x+b_2x+c_2z+d = 0\\ (a_1-a_2)x+(b_1-b_2)x+(c_1-c_2)z+d_1-d_2 = 0 \end{cases} \ \ \ \ \ (45)

Tanto em (43) quanto em (44) a segunda equação é equação geral de um plano {\pi} ({C_1\neq C_2 \Rightarrow (a_1-a_2,b_1-b_2,c_1-c_2)\neq (0,0,0)})

\displaystyle \pi\colon (a_1-a_2)x+(b_1-b_2)x+(c_1-c_2)z+d_1-d_2 = 0

é o plano radical das esferas {S_1} e {S_2}, ademais

\displaystyle S_1\cap S_2 = S_1 \cap \pi = S_2 \cap \pi

e recaímos no caso plano-esfera

  • {S_1\cap S_2} é uma circunferência {\Gamma} contida no plano radical cujo centro é {C_1C_2 \cap \pi}, nesse caso dizemos que {S_1} e {S_2} são secantes
  • {S_1\cap S_2 = \{T\}=C_1C_2\cap\pi}, nesse caso dizemos que {S_1} e {S_2} são tangentes em {\pi}
  • {S_1\cap S_2 = \emptyset}, nesse caso dizemos que {S_1} e {S_2} são disjuntas em {\pi}

Devido a equivalência dos sistemas (43), (44), (45) podemos concluir que

  1. {S_1} e {S_2} são secantes se e só se {\mathrm{d}(C_2,\pi)< \rho_2};
  2. {S_1} e {S_2} são tangentes se e só se {\mathrm{d}(C_2,\pi)= \rho_2};
  3. {S_1} e {S_2} são disjuntas se e só se {\mathrm{d}(C_2,\pi)> \rho_2}.

Exercício 31 Sejam {S_1} uma superfície esférica de centro {C_1} e raio {\rho_1} e {S_2} uma superfície esférica de centro {C_2} e raio {\rho_2}. Defina {\delta = \mathrm{d}(C_1,C_2)}. Prove

  1. {S_1} e {S_2} são secantes se e só se {\rho_2-\rho_1 < \delta < \rho_2=\rho_1};
  2. {S_1} e {S_2} são tangentes se e só se {\delta =\rho_2-\rho_1} ou {\delta = \rho_2+\rho_1};
  3. {S_1} e {S_2} são disjuntas se e só se {\delta <\rho_2-\rho_1} ou ou {\delta > \rho_2+\rho_1}.
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