bc0402 Revisão de Bases Matemáticas

A seguir revemos alguns dos conceitos vistos na disciplina BC0003 – Bases Matemáticas. De uma maneira geral, quase todos os conceitos de BC0003 são importantes agora e não temos tempo para rever um subconjunto relevante deles, por isso sugiro a releitura das suas anotações dessa disciplina periodicamente. O objetivo dessa aula é resgatar conceitos e nomeclaturas que serão úteis logo em seguida.

— Conjuntos Numéricos —

Números Naturais {{\mathbb N}=\{0,1,2,3,4,5,\dots\}}.
Números Inteiros {{\mathbb Z}=\{\dots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots\}}.
Números Racionais { {\mathbb Q}=\left\{ \frac pq ~\colon~ p,q\in{\mathbb Z}\right\}}.

\displaystyle \boxed{{\mathbb N}\subset {\mathbb Z} \subset {\mathbb Q}}

O conjunto dos números racionais não incluem números como {\sqrt{2}}, que mede a diagonal do quadrado de lado 1, esses números ditos números Irracionais, como também são o {\pi} e o {\mathrm{e}}. O conjunto dos números reais {{\mathbb R}} é uma extensão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Números Reais são usualmente representados na forma decimal ou na reta real

Usaremos os termos número real e ponto da reta (real) com o mesmo sentido, o de um elemento do conjunto {{\mathbb R}}.

Notação:

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  {\mathbb R}^* &\stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=}& \{x\in{\mathbb R} ~|~ x\neq 0\}\\ {\mathbb R}_+ &\stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=}& \{x\in{\mathbb R} ~|~ x\geq 0\}\\ {\mathbb R}_- &\stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=}& \{x\in{\mathbb R} ~|~ x\leq 0\}\\ {\mathbb R}_+^* &\stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=}& \{x\in{\mathbb R} ~|~ x > 0\}\\ {\mathbb R}_-^* &\stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=}& \{x\in{\mathbb R} ~|~ x < 0\} \end{array}

Analogamente definimos {{\mathbb N}^*}, {{\mathbb Z}^*}, {{\mathbb Z}_-}, {{\mathbb Z}_+}, {Z_+^*}, {{\mathbb Z}_-^*} e {{\mathbb Q}^*}, {{\mathbb Q}_-}, {{\mathbb Q}_+}, {Q_+^*}, {{\mathbb Q}_-^*}.

— Supremo e ínfimo —

Dado um sobconjunto de pontos {A}, {\emptyset \neq A \subset {\mathbb R}}, dizemos que {A} é limitado superiormente se existe um número {K \in {\mathbb R}} tal que

\displaystyle   \textrm{ para todo } a \in A \textrm{ vale que } a\leq K , \ \ \ \ \ (1)

e o supremo de {A}, quando existe, é o número real {\mathbf{sup\, A}} que satisfaz

  • para todo {a\in A} tem-se

    \displaystyle a \leq \sup A

  • para qualquer {K\in{\mathbb R}} que satisfaz (1) tem-se

    \displaystyle \sup A \leq K

{A \subset {\mathbb R}} não-vazio é limitado inferiormente se existe {k \in {\mathbb R}} tal que para todo {a \in A} {a\geq k}; o ínfimo de {A}, quando existe, é o número real {\mathbf{inf\, A}} que satisfaz

  • {a \geq \inf A} para todo {a\in A}, e
  • {\inf A \geq k} para todo {k} que limita {A} inferiormente.

Por exemplo

  1. {\mathrm{sup} \{1,2,3\}=3}.
  2. {{\mathbb N}} não tem supremo e {\mathrm{inf}\,{\mathbb N} = 0}.
  3. {\sqrt 2 = \sup \{x\in {\mathbb Q} ~\colon~ x^2 < 2\}}.
  4. {\sup \{ (-1)^n - \frac 1n ~\colon~ n\in{\mathbb N}^*\} = 1}.

Note que nos dois últimos exemplo o supremo não faz parte do conjunto.

— Axiomas —

Os reais satisfazem os seguintes axiomas (os primeiros também são satisfeitos pelos racionais).

Axiomas de corpo ordenado:

  1. {(x + y) + z = x + (y + z)} e {(xy)z = x(yz)} ({\forall x,y,z\in {\mathbb R}})

  2. {x + y = y + x} e {xy = yx} ({\forall x,y \in {\mathbb R}})
  3. {x(y + z) = xy + xz} ({\forall x,y,z\in {\mathbb R}})
  4. {x+0=x} e {x\cdot 1=x}
  5. para todo {x}, {x+(-x)=0} e {-x} é o único real com tal propriedade; para todo {x\neq 0}, {x\cdot x^{-1} = 1} e {x^{-1}} é único com tal propriedade
  6. {x \leq x} ({\forall x \in {\mathbb R}})
  7. se {x\leq y} e {y\leq x} então {x=y} ({\forall x,y\in {\mathbb R}})
  8. se {x\leq y} e {y\leq z} então {x\leq z} ({\forall x,y,z\in {\mathbb R}})
  9. {x = y} ou (exclusivo) {x < y} ou (exclusivo) {x > y} ({\forall x,y\in {\mathbb R}})
  10. se {x<y} então {x+z < y+z} ({\forall x,y,z\in {\mathbb R}})

  11. se {x < y} e {z > 0} então {xz < yz} ({\forall x,y,z\in {\mathbb R}})

O que difere {{\mathbb R}} de {{\mathbb Q}} é

Axioma de completude:

12. Todo {A\subset {\mathbb R}} não-vazio e limitado superiormente tem supremo.

O exemplo 3 acima, {\sqrt 2 = \sup \{x\in {\mathbb Q} ~\colon~ x^2 < 2\}} mostra que {Q} não satisfaz o axioma da completude pois {\{x\in {\mathbb Q} ~\colon~ x^2 < 2\} \subset {\mathbb Q}} é não-vazio e limitado superiormente (justifique), mas {\sqrt 2 \not\in {\mathbb Q}}.

O Axioma de Completude é equivalente a afirmar que todo {A\subset {\mathbb R}} não-vazio e limitado inferiormente tem ínfimo.

Propriedade arquimediana:

\displaystyle  { \textrm{Para todo real } r \textrm{ existe natural } n \textrm{ tal que } n>r . } \ \ \ \ \ (2)

Exercício 1 Deduza a propriedade arquimediana do axioma da completude.

— Alguns conceitos importantes —

Agora resgatamos os conceitos e nomeclaturas que serão úteis logo em seguida, quando iniciaremos o estudo de funções de um variável.

Valor absoluto: o valor absoluto de um número real {x}, denotado por {|x|} (leia-se módulo de {x}) é definido por

\displaystyle   \boxed{ |x| \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \begin{cases} x & \textrm{ se }x\geq 0\\ -x & \textrm{ se }x < 0\\ \end{cases} }\ \ \ \ \ (3)

e satisfaz

  • {|x| = \max\{x, -x\}} ({\forall x\in {\mathbb R}})
  • {|x + y|\leq |x| + |y|} ({\forall x,y\in {\mathbb R}})
  • {|xy| = |x||y|} ({\forall x,y\in {\mathbb R}})
  • {|x - a| < \varepsilon \Leftrightarrow a - \varepsilon < x < a + \varepsilon } ({\forall a,\varepsilon \in {\mathbb R}})

Distância: a distância entre os pontos {x} e {y} da reta é o valor

\displaystyle   |x-y| \ \ \ \ \ (4)

e satisfaz

  • {|x-y| \geq 0} e a igualdade vale se e só se {x = y} ({\forall x,y\in {\mathbb R}})
  • {|x-y| = |y-x| } ({\forall x,y\in {\mathbb R}})
  • {|x-z| \leq |x-y| + |y-z|} ({\forall x,y,z\in {\mathbb R}})

Intervalos da reta:

  1. {(x,y)\stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \{ z\in {\mathbb R} ~|~ x <z< y \}}
  2. {[x,y]\stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \{ z\in {\mathbb R} ~|~ x \leq z \leq y \} }
  3. {[x,y)\stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \{ z\in {\mathbb R} ~|~ x \leq z < y \} }
  4. {(x,y]\stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \{ z\in {\mathbb R} ~|~ x < z \leq y \} }

    Nesses quatro casos o comprimento do intervalo é definido como a distância entre seus extremos

    \displaystyle |y-x|

  5. {(x,+\infty) \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \{ z\in {\mathbb R} ~|~ z > x \} }
  6. {[x,+\infty) \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \{ z\in {\mathbb R} ~|~ z \geq x \} }
  7. {(-\infty,y) \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \{ z\in {\mathbb R} ~|~ z < y \} }
  8. {(-\infty,y] \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \{ z\in {\mathbb R} ~|~ z \leq y \} }
  9. {(-\infty,+\infty) \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} {\mathbb R}}
  10. {(x,x)= \emptyset} (intervalo vazio)
  11. {[x,x]= \{x\}} (intervalo degenerado)

Intervalos da forma 1 são ditos intervalo aberto.

Intervalos da forma 2 são ditos intervalo fechado.

Importante saber que {+\infty} e {-\infty} não são números reais.

Daqui em diante, quando dizemos intervalo não consideramos os casos vazio e degenerado.

Vizinhança: o intervalo de centro {a} e raio {r} ({r>0}) é o intervalo

\displaystyle  (a-r,a+r)

também chamado de vizinhança em torno de {a} de raio {r}.

Um intervalo de centro {a} e raio positivo (qualquer) é chamado de vizinhança em torno de {a}, ou simplesmente, de vizinhança de {a}.

Exercício 2 Verifique que {x\in (a-r,a+r)} se e só se {|x - a| < r} logo

\displaystyle  (a-r,a+r) = \{x\in{\mathbb R} ~\colon~ |x-a| < r\}.

Exercício 3 Ler o Capítulo 2, 3 e 4 das notas de aula de Bases Matemáticas escritas pelo Armando Caputi e pelo Daniel Miranda.

— Funções reais a variáveis reais —

Estudaremos funções

\displaystyle  f \colon D \rightarrow C

com {C,D\subset {\mathbb R}}. Chamamos o conjunto {D} de domínio e o conjunto {C} de contra-domínio. Se vale uma equação da forma

\displaystyle  y = f(x)

dizemos que {x} é a variável independente (representa um elemento do domínio {D}) e {y} é a variável dependente (representa o elemento do contra-domínio {C} relacionado a {x} por {f}). Por exemplo, {g\colon {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}} dada por

\displaystyle  g(x) = \begin{cases} x^2 & \textrm{ se }x\neq 2 \\ 1 & \textrm{ se } x=2 \end{cases} \ \ \ \ \ (5)

é uma função que associa ao valor {x} no domínio {{\mathbb R}} ao valor {g(x)} no contra-domínio. Note-se que {g} é a função e {g(x)} é o valor da função no ponto {x}.

Por abuso, frequentemente omitimos {C} e {D} da definição e dizemos que a função é a expressão analítica que descreve a relação entre os elementos de {C} e {D}. Por exemplo, dizemos que

\displaystyle  f(x) = \frac 1{3x-6}

é uma função e fica subentendido que o domínio é o subconjunto de {{\mathbb R}} dado por todos os valores de {x} pros quais o valor {f(x)} fica definido, maximal com essa propriedade. No caso acima, {D={\mathbb R}-\{2\}}.

A imagem de uma função {f\colon D \rightarrow C}, denotada {\mathrm{Im}\; f}, é o subconjunto do contra-domínio dado pelos valores que a função assume

\displaystyle \boxed{\mathrm{Im}\; f \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \big\{ f(x) ~\colon~ x\in D\big\}}

e a imagem de um subconjunto {X\subset D} é definida da maneira natural

\displaystyle \boxed{f(X) \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \big\{ f(x) ~\colon~ x\in X\big\} }

de modo que {\mathrm{Im} f = f(D)}.

Se {f(D)=C} então {f} é dita sobrejetiva. Quando {x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)} a função é dita injetiva. Uma bijeção, ou função bijetiva, é uma função sobrejetiva e injetiva.

Operações

Composição: se {f\colon C\rightarrow D} e {g\colon X\rightarrow Y} são funções e {D \subset X} então está definido o valor {g\big(f(x)\big)} para todo {x\in C}, essa função é chamada de função composta e denotada {g\circ f \colon C\rightarrow Y}.

Quando {f\colon D\rightarrow C} é bijetiva podemos definir a função inversa como a função {g\colon C \rightarrow D} tal que

\displaystyle  f\big(g(x)\big)=x \textrm{ e } g\big(f(y)\big)=y

ou, ainda, {g} é dada, para todo {y\in C}, por {g(y) = x}, em que {x} é tal que {f(x) =y}. Por exemplo, para {f\colon {\mathbb R} -\{2\} \rightarrow {\mathbb R}^*} dada por {f(x) = \frac 1{3x-6}} temos a inversa {g\colon {\mathbb R}^* \rightarrow {\mathbb R} -\{2\}} dada por {g(x) = \frac 1{3x} + 2}.

Observação 1 Usalmente, denotamos a inversa de {f} por {f^{-1}}. Cuidado pra não confundir

\displaystyle  f^{-1} \textrm{ com } \frac 1f

o contexto dirá a diferença.

Soma e produto: se {f,g\colon D \rightarrow C} são duas funções então {s\colon D\rightarrow C} é definida por {s(x) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} f(x) + g(x)} a qual, usualmente, é escrita como {f+g(x)}. Também {p\colon D\rightarrow C} é definida por {p(x) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} f(x) \cdot g(x)} a qual, usualmente, é escrita como {fg(x)}.

Analogamente, definimos {f-g(x)} e {\frac fg (x)} nos pontos {x} em que {g(x)\neq 0}.

Gráfico

O gráfico da função {f\colon D\rightarrow C} é o subconjunto de {{\mathbb R}^2} definido por

\displaystyle   \boxed{\mathrm{Graf}(f) \stackrel{{\text{\tiny def}}}{=} \big\{(x,y) \in {\mathbb R}^2 ~\colon~ y=f(x)\big\}} \ \ \ \ \ (6)

Exemplos:

Funções monótonas

Dada uma função {f\colon D \rightarrow C} e um subconjunto do domínio {A \subset D} dizemos que

  1. {f} é crescente em {A} se para quaisquer {a,b\in A} vale

    {a<b \Rightarrow f(a) < f(b)};

  2. {f} é não-decrescente em {A} se para quaisquer {a,b\in A} vale

    {a<b \Rightarrow f(a) \leq f(b)};

  3. {f} é decrescente em {A} se para quaisquer {a,b\in A}

    vale {a<b \Rightarrow f(a) > f(b)};

  4. {f} é não-crescente em {A} se para quaisquer { a,b\in A} vale

    {a<b \Rightarrow f(a) \geq f(b)}.

Em todos os casos {f} é dita monótona, em particular, nos casos 1 e 3 é dita estritamente monótona.

Exercício 4 Ler o Capítulo 6 e 7 das notas de aula de Bases Matemáticas escritas pelo Armando Caputi e pelo Daniel Miranda.

Exercício 5 Teste o desenho de gráficos no WolframAlpha, veja exemplo 1 e exemplo 2 e aqui alguns exemplos de usos que serão úteis nessa disciplina.

Exercício 6 (Conjuntos)

(A) Dados {A,~ B,~ C} conjuntos. Prove as seguintes afirmações

  1. {A\cap B \subset A};
  2. {A \subset A \cup B};
  3. {A \cap B \subset A };
  4. {A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) };
  5. {A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)}.

(B) Dado um conjunto {U}, sejam {A} e {B} subconjuntos quaisquer de {U}. Tomando o complementar relativamente a {U}, mostre que:

  1. { (A^\mathtt{C} )^\mathtt{C} = A};
  2. { (A \cap B)^\mathtt{C} = A^\mathtt{C} \cup B^\mathtt{C}}.

Exercício 7 (Conjuntos numéricos) Considere os seguintes conjuntos. Diga quais são limitados superiormente e quais a são limitados inferiormente. Encontre o supremo e o ínfimo desses conjuntos, quando existir:

  1. {A = \{1, 2, 4, 8, . . . \}};
  2. {B = \{1 + \frac 1n ~\colon~ n\in{\mathbb N}^*\}};
  3. {C = \{x \in{\mathbb Q} ~\colon~ 1 \leq x\}};
  4. {D = \{x \in{\mathbb Q} ~\colon~ 1 \leq x < 2\}};
  5. {E= \{x \in{\mathbb Q} ~\colon~ x^2 < 3\}};
  6. {F= \{ \frac n{1+n} ~\colon~ n \in{\mathbb N}\}}.

Exercício 8 (Funções)

(A) Determine o domínio {D\subset {\mathbb R}} das seguintes funções:

  1. {f(x) = \frac 1{x(x+4)(3x+1)}};
  2. {f(x) = \frac 1{\sqrt{x^2-1}}};
  3. {f(x) = \sqrt{|1 + x|-|x^2 |}};
  4. {f(x) = \sqrt{\sqrt{1+x}-x}};
  5. {f(x) = \sqrt[3]{1+ \sqrt{|x|-3}}}.

(B) Considere uma função {f \colon A \rightarrow B}. Se {X} e {Y} são subconjuntos do domínio {A} e se {V} e {W} são subconjuntos do contradomínio {B}, mostre que:

  1. {f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)};
  2. {f(X \cap Y) \subset f(X) \cap f(Y)};
  3. Se {X \subset Y} então {f(X) \subset f(Y)};
  4. Se {f} é injetiva então {f(X\cap Y) = f(X)\cap f(Y)};

(C) Para cada par de funções {f,~ g} abaixo encontre o domínio e as expressões de {f \circ g}, {f \circ f}, {g \circ f} e {g \circ g}.

  1. {f \colon {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R},} {f(x) = x^3} e {g \colon [1, \infty) \rightarrow {\mathbb R}}, {g(x) = \sqrt{x - 1}};

  2. {f \colon {\mathbb R}^*\rightarrow {\mathbb R},~ f(x) = -\frac 1x} e {g \colon (-\infty,2]\rightarrow{\mathbb R},~ g(x) = \sqrt{2 - x}};
  3. {f \colon {\mathbb R}^*\rightarrow {\mathbb R},~ f(x) = \frac 1x} e {g \colon {\mathbb R}-\{2, 3\} \rightarrow{\mathbb R},~ g(x) = \frac 1{(x-2)(x-3)}};

  4. {f\colon {\mathbb R} \rightarrow{\mathbb R},~ f(x) = \sin (x)} e {g \colon {\mathbb R}_+ \rightarrow{\mathbb R},~ g(x) = \sqrt x}.

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