bc0402 Limite

Limite de funções reais a variáveis reais é, isoladamente, provavelmente, o conceito mais importante desse curso. As outras definições importantes que vêm em seguida envolvem limite. Nessa nota, começamos com um discussão ingênua de limite e depois apresentamos uma definição precisa de limite.

Seja {f} uma função e {a\in {\mathbb R}} de modo que {f} esteja definida em todos os pontos numa vizinhança de {a}, exceto possivelmente em {a}.

Dizemos que o limite dos valores {f(x)}, quando {x} tende a {a}, é o número {\ell} se

o valor da função {f(x)} está arbitrariamente próximo (bem próximo) do ponto {\ell}
quando {x} está suficientemente próximo de {a}, mas diferente de {a}.

Para tornar mais preciso o quão próximo são os valores, a proposição acima é reescrita como

se para qualquer intervalo {L} em torno de {\ell} podemos escolher um intervalo {I} em torno de {a} tal que

\displaystyle f(I') \subset L

em que {I'=I-\{a\}}, ou seja,

\displaystyle  \textrm{ para todo }x\in I~\mathrm{e}~x\neq a \textrm{ vale que } f(x)\in L . \ \ \ \ \ (7)


A idéia é que não importa quão pequeno seja o comprimento de {L} (em torno de {\ell}), sempre será possível determinar o intervalo {I} como descrito em (7) acima. Nesse caso, escrevemos

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \ell

O uso de {I'}, ao invés de {I}, permite que a função não esteja definida no ponto {a}.

Vamos olhar a função {f\colon {\mathbb R}^* \rightarrow {\mathbb R}} dada por {f(x) = x \sin \frac 1x}. A função {f} não está definida no {0}, mas está definida em qualquer vizinhança do {0}. Como {-1 <\sin x <1} podemos suspeitar que se quanto menor é {x}, menor é {f(x)} e o gráfico dessa função sustenta a nossa suspeita

e, intuitivamente, {f(x)} está próximo de {0} quando {x} está perto de {0}.

Digamos que queiramos o valor de {f(x)} a distância menor que { 1/10} de {0}, i.e,

\displaystyle |f(x) -0|< \frac 1{10} \ \ \ \ \ (8)

então tomemos {L=(-\frac 1{10},\frac 1{10})} o intervalo de raio {1/10} e centro {\ell = 0}; notemos que (8) equivale a

\displaystyle \left| x\sin \frac 1x \right| < \frac 1{10} \ \ \ \ \ (9)

porém, das propriedades de valor absoluto e de {|\sin \frac 1x| \leq 1} deduzimos

\displaystyle \left| x\sin \frac 1x \right| = \left| x \right|\left|\sin \frac 1x \right| \leq |x| \ \ \ \ \ (10)

 para todo {x\neq 0}.

Assim, se tomamos a vizinhança {I= ( -\frac 1{10},\frac 1{10})} de {a=0} temos por definição que

\displaystyle \text{ se } x\in I \text{ ent\~ao } |x| < \frac 1{10} \ \ \ \ \ (11)

portanto, substituindo essa desigualdade de (11) em (10) acima, a equação (9) fica satisfeita para todo {x\in I}, {x\neq 0}.

Pode-se fazer {L} mais apertado (em torno do {0}) tomando-se {L=(-\frac 1{100},\frac 1{100})}. Usando a mesma dedução (eqs. (9), (10),(11)) basta tomarmos {I= ( -\frac 1{100},\frac 1{100})}.

Como regra, se {x\in I} e {I= (0-\varepsilon,0+\varepsilon)} com {\varepsilon >0} (arbitrariamente pequeno) e {x\neq 0} então {f(x) \in L= (0-\varepsilon,0+\varepsilon)} ({f(x)} arbitrariamente perto do {0} pela condição em {\varepsilon}), logo

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \left( x\sin \frac 1x\right) =0.

Exercício 9 O que você consegue dizer a respeito de {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \left(x^2\sin \frac 1x\right)}. Dica:


Exercício 10 Fixado {c\in{\mathbb R}}, seja {f\colon {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}} dada por {f(x)=c}. O que você consegue dizer a respeito de {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)}, para qualquer {a\in{\mathbb R}}.

Exercício 11 O que você consegue dizer a respeito de {\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0} H(t)} para {H\colon {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}} dada por

\displaystyle \begin{array}{rcl} H(t)= \begin{cases} 1 & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases} \end{array}

Exemplo 1 Tomemos {f\colon {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}} dada por {f(x)=x+1} e fixemos {a=1}. Para valores de {x} próximos de {1} os respectivos valores de {f(x)} estão próximo de {2}.

Façamos {\ell=2}. Dado o intervalo {L=(2-\varepsilon, 2+\varepsilon)} com {\varepsilon >0}, podemos escolher {I=(1-\frac{\varepsilon}2, 1+\frac{\varepsilon}2)} pois

\displaystyle \begin{array}{rcl} x\in (1-\frac{\varepsilon}2, 1+\frac{\varepsilon}2) &\Rightarrow& 1-\frac{\varepsilon}2 < x < 1+\frac{\varepsilon}2 \\ &\Rightarrow& 2-\frac{\varepsilon}2 < x + 1 < 2+\frac{\varepsilon}2 \\ &\Rightarrow& x+1 \in (2-\frac{\varepsilon}2, 2+\frac{\varepsilon}2) \\ &\Rightarrow& f(x) \in L \end{array}

pois {(2-\frac{\varepsilon}2, 2+\frac{\varepsilon}2) \subset (2-\varepsilon , 2+\varepsilon)}. Portanto,

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} (x+1) =2.

Notemos que não é possível termos, por exemplo, {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} x+1 = 1} pois para qualquer intervalo {(2-\varepsilon , 2+\varepsilon)} em torno do {a=2} temos que para {2< x < 2+\varepsilon} o valor {f(x)} é maior que 3, logo está fora de qualquer intervalo de centro {\ell=1} e raio pequeno (menor que 2).

Exemplo 2 (função afim) Consideremos a função {f\colon {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}} dada por {f(x)=mx+b} com {m\neq 0} (se {m=0}, a função é constante e esse é o caso do exercício 10).

Vamos verificar que {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a)}.

Queremos que {f(x)} esteja arbitrariamente próximo de {f(a)} — digamos que {|f(x) -f(a)| < \varepsilon} — quando {x} está suficientemente próximo de {a}. Para determinar quão próximo de {a} deve estar {x}, devemos encontrar um raio {\delta} tal que

se {x\in \underbrace{(a-\delta, a+\delta)}_I} então {f(x) \in \underbrace{(f(a)-\varepsilon,f(a)+\varepsilon)}_L}.

Supondo {x\in I} (para algum {\delta} que ainda precisamos determinar), portanto {|x-a|< \delta}, temos

\displaystyle |f(x) - f(a)| = |mx+b -ma -b| = |m(x-a)| = |m||x-a| < |m|\delta

e se escolhemos {\delta = \frac{\varepsilon}{|m|}} então {|m|\delta = \varepsilon}, ou seja,

\displaystyle |f(x) - f(a)| < |m|\delta =\varepsilon

e o valor da função {f(x)} está arbitrariamente próximo a {f(a)}{|f(x)-f(a)|<\varepsilon} ou {f(x) \in L} — desde que {x} esteja suficientemente próximo de {a}{|x-a|< \varepsilon/m} ou {x\in I} — portanto,

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}(mx+b) = ma+b

Exemplo 3 Tomemos {k\colon {\mathbb R} - \{2\}\rightarrow {\mathbb R}} dada por {k(x)=\frac{x^3 - 2x^2}{x-2}} e {a=2}. Para {x\neq 2} temos

\displaystyle k(x)=\frac{x^3 - 2x^2}{x-2}= x^2

Vamos verificar que {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}k(x) =4}. Dado o intervalo {L=(4-\varepsilon, 4+\varepsilon)} com qualquer {\varepsilon >0} pequeno precisamos achar um raio positivo {\delta} tal que a imagem de {I=(2-\delta, 2+\delta)-\{2\}} por {k} esteja contida em {L}.

Suponhamos que {x} satisfaça {|x-2| < \delta} e {x\neq 2} para algum {\delta} (que ainda não conhecemos), ou seja, {x} está suficientemente próximo de {2}. A distância entre {4} e a imagem desse ponto é

\displaystyle  |k(x) - 4| = |x^2 -4| = |(x-2)(x+2)|= |x-2||x+2|

pois {x\neq 2}. Observemos que

  1. {|x-2| < \delta}, por hipótese, logo {|x-2||x+2| < \delta|x+2|};
  2. de {x - 2< \delta} temos {x+2 < \delta + 4};

portanto

\displaystyle  |k(x) - 4| = |x-2||x+2| < \delta(\delta + 4)

e queremos {k(x)\in L}, isto é

\displaystyle  |k(x) - 4| < \varepsilon

assim basta {\delta(\delta + 4) \leq \varepsilon}. Como o valor de { \varepsilon} pode ser arbitrariamente pequeno, o valor de {\delta} vai depender do valor de {\varepsilon}. Para simplificar, notemos que

  1. se {\delta \leq 1} então {\delta + 4 \leq 5} portanto {\delta(\delta + 4) \leq 5\delta};

  2. para {\delta} satisfazer {5 \delta \leq \varepsilon} devemos ter {\delta \leq \frac{\varepsilon}5};

ou seja, precisamos determinar {\delta} de modo que {\delta \leq 1} e {\delta \leq \varepsilon /5}, por exemplo,

\displaystyle  \delta = \inf \left\{ 1 , \frac{\varepsilon}5\right\}

e temos para {x\in I} que {k(x) \in (4-\varepsilon , 4+\varepsilon)} portanto,

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2} k(x) = 4.

— A definição precisa de limite —

Usando o fato de que

\displaystyle |x-a| < \delta \textrm{ e } x \neq a \textrm{ equivale a } 0 < |x-a| < \delta

Seja {f\colon C \rightarrow {\mathbb R}} e {a\in {\mathbb R}} de modo que {f} esteja definida para todo ponto numa vizinhança {V} de {a}, exceto possivelmente em {a}. O limite de {f(x)} quando {x} tende de {a} é {\ell}, e escrevemos

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x) = \ell

se para todo {\varepsilon >0}, existe {\delta >0} tal que, para todo {x} em {V}

se {0 < |x-a| < \delta} então {|f(x) - \ell|< \varepsilon}.

A condição na última linha acima é equivalente a

se { a- \delta < x < a + \delta} então {\ell - \varepsilon < f(x) < \ell + \varepsilon}

para todo para todo {x\in V-\{a\}}.

O {\delta} na definição acima depende de {\varepsilon}, em geral, é dado em função de {\varepsilon} e descrevemos esse fato usando a notação {\delta=\delta(\varepsilon)}.

Revendo os exemplos anteriores, para {f(x) = x\sin \frac 1x}, dado {\varepsilon >0} tomamos {\delta = \varepsilon} e vale que se {0 < |x| < \delta} então {|f(x)|< \varepsilon}.

No Exemplo 1, dado {\varepsilon >0} tomamos {\delta = \frac \varepsilon 2 } e vale que se {0 < |x-1| < \delta} então {|f(x)-2|< \varepsilon}.

No Exemplo 2, dado {\varepsilon >0} tomamos {\delta = \frac \varepsilon 6 } e vale que se {0 < |x-2| < \delta} então {|k(x)-4|< \varepsilon}.

Observação 2 Observemos que a escolha de {I} no Exemplo 2 acima mostra também que se {f(x)= x^2} então {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} f(x) = 4}. Nesse caso e no Exemplo 1, vale {\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)}. Mas isso não é uma regra, como vimos no Exemplo 2.

Exemplo 4 Definamos

\displaystyle g(x) = \begin{cases} x^2 & x\neq 2 \\ 1 & x=2 \end{cases}

cujo gráfico é

e temos

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2} g(x) = 4

ademais {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} g(x)\neq g(2).}

Exercício 12 Sejam {f(x) = x^2} e {a\in {\mathbb R}}. Mostre que para qualquer {\varepsilon >0} podemos tomar {\delta = \min \{ 1,\frac{\varepsilon}{2|a|+1}\}} na definição de limite para concluir que

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)

Exercício 13 Investigue o erro na seguinte prova de {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}x^2 = a^2}, {a>0}:

Dado qualquer {\varepsilon >0}, tomamos {\delta = \min \{ \sqrt{a^2 + \varepsilon} -a , a - \sqrt{a^2-\varepsilon}\}} assim,

\displaystyle 0<|x-a|< \delta \Leftrightarrow x\neq a \textrm{ e } a-\delta < x < a+ \delta

pela escolha de {\delta} podemos concluir de {a-\delta < x < a+ \delta} que

\displaystyle \sqrt{a^2-\varepsilon} < x < \sqrt{a^2 + \varepsilon}

portanto {a^2-\varepsilon < x^2 < a^2 + \varepsilon}, ou seja, {-\varepsilon < x^2 - a^2< \varepsilon}, portanto

\displaystyle | x^2 - a^2|< \varepsilon.

Observação 3 Limites podem não existir.

Exemplo 5 Vejamos o gráfico de

\displaystyle h(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 2 \\ 5^{x/2} & x> 2 \end{cases}

Qualquer intervalo {I} em torno do 2 deve ter na imagem os pontos {4} e {5}, portanto {h} não tem limite quando {x\rightarrow 2}.

A negação da sentença

“ para todo {\varepsilon >0} existe {\delta >0} tal que para todo x, se {0 < |x-a| < \delta} então {|f(x) - \ell|< \varepsilon}

é

existe {\varepsilon >0} tal que para todo {\delta >0} existe {x} que satisfaz {0 < |x-a| < \delta} mas que não satisfaz {|f(x) - \ell|< \varepsilon}.

Exemplo 6 Podemos usar a negação para, por exemplo, mostrar que {4} não é limite de {h(x)} quando {x\rightarrow 2} no exemplo acima. Para isso, fazemos {\varepsilon = \frac 12} e para qualquer {\delta} fazemos {x= 2 + \frac{\delta}2} e temos {0 < |x-2| < \delta} mas não vale {|h(x) - 4|< \frac 12} pois

\displaystyle h(x) = 5^{ 1 + \frac{\delta}4} > 5.

Exercício 14 Prove que {5} não é limite de {h(x)} quando {x\rightarrow 2} no exemplo acima.

Exercício 15 Determine o limite

\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ (x+h)^3 - x^3}h

Exercício 16 Determine o limite

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 9} \frac{ x-9 }{\sqrt x -3}

— Limites laterais —

Revendo a função {h} definida acima

o valor de {h(x)}, quando {x} está próximo de 2 pela esquerda, está próximo de {4}; o valor de {h(x)}, quando {x} está próximo de 2 pela direita, está próximo {5}. Também, os limites laterais diferenciam o comportamento de funções como

que de uma lado tende a {\ell} e do outro não, o valor da função oscila sem ficar arbitrariamente próximo de {\ell}. Ademais as funções não estão definidas em torno do ponto {a}, mas estão definidas para os pontos {x} em torno de {a} com {x>a}.

Seja {f} uma função que esteja definida em todos os pontos numa vizinhança de {a\in {\mathbb R}}, mas não necessariamente em {a}. O limite de {f(x)} quando {x} está próximo de {a} pela direita é {\ell}, denotado por

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\ell

se para todo intervalo {L} em torno de {\ell} existe um intervalo {I} em torno de {a} tal que para todo {x} no domínio

se {x\in I} e {x>a} então {f(x) \in L}.

O limite de {f(x)} quando {x} está próximo de {a} pela esquerda é {\ell}, denotado por

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=\ell

se para todo intervalo {L} em torno de {\ell} existe um intervalo {I} em torno de {a} tal que para todo {x} no domínio

se {x\in I} e {x<a} então {f(x) \in L}.

Exemplo 7 Para a função {u\colon {\mathbb R} \rightarrow{\mathbb R}} definida por {u(x) = \begin{cases} x^2, & \textrm{ se } x< 1\\ x+1, & \textrm{ se } x\geq 1\\ \end{cases}} temos

\displaystyle \begin{array}{rcl} &&\lim_{x\rightarrow 1^+} u(x) = \lim_{x\rightarrow 1^+} x+1 = 2 \\ &&\lim_{x\rightarrow 1^-} u(x) = \lim_{x\rightarrow 1^-} x^2 = 1 \end{array}

Exemplo 8 A função definida em {{\mathbb R}^*} dada por {\frac{|x|}x} vale {1} se {x>0} e vale {-1} se {x<0}, ainda

\displaystyle \begin{array}{rcl} &&\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{|x|}x = \lim_{x\rightarrow 0} 1 = 1\\ &&\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{|x|}x = \lim_{x\rightarrow 0} -1 = -1 \end{array}

Exercício 17 Refaça o exercício 11.

Exercício 18 Determine {\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{|x-1|}{x-1}}. Repita para {x\rightarrow 1^-}.

Exercício 19 Dê uma definição precisa, com {\varepsilon} e {\delta} para limite lateral.


Resp.: O limite de {f(x)} quando {x} se aproxima de {a} pela direita é o real {\ell}, e escrevemos

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+}f(x) = \ell

se para todo {\varepsilon >0}, existe {\delta >0} tal que, para todo {x}

se {0 < x-a < \delta} então { \ell - \varepsilon < f(x) < \ell + \varepsilon}.

O limite de {f(x)} quando {x} se aproxima de {a} pela esquerda é o real {\ell}, e escrevemos

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^-}f(x) = \ell

se para todo {\varepsilon >0}, existe {\delta >0} tal que, para todo {x}

se {0 < a-x < \delta} então { \ell - \varepsilon < f(x) < \ell + \varepsilon}.

Exercício 20 Para cada caso, descubra {\delta>0} para o qual {|f(x)-\ell|< \varepsilon} para todo {x} tal que {0<|x-a|< \delta}

  1. {f(x)= x^4}, {\ell = a^4};
  2. {f(x)= \frac 1x}, {a=\ell =1};
  3. {f(x)= x^4+\frac 1x}, {a=1,~\ell=2};
  4. {f(x) =\sqrt{|x|}}, {a=\ell=0}.

Exercício 21 Lembremos (das aulas de Bases Matemáticas) que {\log(x)\colon (0,+\infty)\rightarrow{\mathbb R}} é a função inversa de {\mathrm{e}^x}, i.e.,

\displaystyle \log(x) = y \Leftrightarrow \mathrm{e}^y = x

Mostre que {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\log(x) = 0}.(dica: {\delta = \inf \{ 1-\mathrm{e}^{-\varepsilon}, \mathrm{e}^{\varepsilon}-1\}})

Exercício 22 Assuma que {f(x) \leq g(x)} para todo {x} e prove que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x) \leq \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)}, dado que os limites existem.

Exercício 23 Prove que {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac 1x=\ell} é falso para qualquer {\ell\in{\mathbb R}}.

Exercício 24 Para a função {p\colon {\mathbb R}^*\rightarrow {\mathbb R}} dada por {p(x) = \frac 1x}, o que ocorre quando {x} está próximo de {0} pela direita? E pela esquerda?

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