bc0402 Limites no infinito e infinito


Consideremos as funções {p,g\colon {\mathbb R}^* \rightarrow {\mathbb R}} dadas por {p(x)=\frac 1{x}} e {g(x)=\frac 1{|x|}}.

Quando {x} cresce indefinidamente, o que denotamos por {x\rightarrow +\infty}, tanto {p(x)} quanto {g(x)} assumem valores positivos arbitrariamente pequenos, i.e., se aproximam indefinidamente de {0}; denotamos esse fato por

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac 1x =0\qquad \textrm{ e }\qquad \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac 1{|x|} =0

Por outro lado, quando {x} decresce indefinidamente, o que denotamos por {x\rightarrow -\infty}, tanto {p(x)} quanto {g(x)} assumem valores positivos arbitrariamente pequenos, i.e., se aproximam indefinidamente de {0}; denotamos esse fato por

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac 1x =0\qquad \textrm{ e }\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac 1{|x|} =0

Formalmente, limites no infinito:

  • se {f} está definida em {I=(k,+\infty)} então

    \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = \ell

    se para todo {\varepsilon >0}, existe {N>0} tal que, para todo {x\in I}

    se {x > N} então { | f(x) - \ell| < \varepsilon}.

  • se {f} está definida em {I=(-\infty, k)} então

    \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = \ell

    se para todo {\varepsilon>0}, existe {n>0} tal que, para todo {x\in I}

    se {x < -n} então { | f(x) - \ell| < \varepsilon}.

Em ambos os casos dizemos que a reta {y=\ell} é a assíntota horizontal da curva definida por {y=f(x)}.

Exemplo 18 Seja {f} a função dada por {f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}}. Então,

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)= 1

pois

\displaystyle \left|\frac{x^2-1}{x^2+1} -1 \right| =\left|\frac{-2}{x^2+1} \right| =\frac{2}{x^2+1}

que é arbitrariamente pequeno ({<\varepsilon}) se {x} é suficientemente grande ({x> \sqrt{2/\varepsilon }}):

\displaystyle  x > \sqrt{2/\varepsilon } \Rightarrow x^2 > 2/\varepsilon \Rightarrow x^2 + 1> 2/\varepsilon \Rightarrow \varepsilon > 2/(x^2 + 1)

Pela mesma razão

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)= 1

portanto {y =1} é assíntota horizontal do gráfico de {f}.

Exercício 34 Verifique que {y=1} é uma assíntota horizontal de {y = \frac x{x-1}}.

Exercício 35 Use a definição para mostrar que

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac 1x =0\qquad \textrm{ e }\qquad \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac 1{|x|} =0

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac 1x =0\qquad \textrm{ e }\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac 1{|x|} =0

Exemplo 19 {\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac 1x}. Dado {\varepsilon >0} escolhemos {N = \frac 1{\varepsilon}} de modo que se { x > N} então { \frac 1x < \varepsilon}. Portanto {\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac 1x = 0}.

Exemplo 20 (Limite fundamental exponencial) Outro limite fundamental, que não provaremos (veja o exercício 36 abaixo), é o limite fundamental

\displaystyle   \lim_{x\rightarrow+\infty}\left( 1+\frac 1x\right)^x = \mathrm{e} \ \ \ \ \ (14)

Exercício 36 Assuma que a sequência {\mathrm{e}_n = (1+(1/n))^n} convirja para {\mathrm{e}} (veja as notas de aula de bases matemáticas). Prove que se {n\leq x< n+1}, então

\displaystyle \left(1+\frac 1n\right)^n \frac{n+1}n > \left(1+\frac 1x\right)^x > \left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+1} \frac{n+1}{n+2}

Agora conclua usando o Teorema do Confronto que que

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow+\infty}\left( 1+\frac 1x\right)^x = \mathrm{e}.

(veja solução aqui)

Exercício 37 Verifique que

\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+}(1+h)^{1/h} = \lim_{h\rightarrow 0^-}( 1+ h)^{1/h} = \mathrm{e}

Voltando aos exemplos do início dessa seção, para {p(x) = 1/x}, quando {x} tende a {0} pela direita o valor de {p(x)} cresce indefinidamente, e denotamos esse fato por

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac 1{x}= +\infty

quando {x} tende a {0} pela esquerda o valor de {p(x)} decresce indefinidamente, e denotamos esse fato por

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac 1{x}= -\infty

Para {g(x) = \frac 1{|x|}}, quando {x} se aproxima de zero o valor de {g(x)} cresce indefinidamente, e denotamos esse fato por

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow 0} \frac 1{|x|}= +\infty

Formalmente, se {f} está definida numa vizinhança {V} de {a} exceto, possivelmente, em {a}, então

  • {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = +\infty }
    se para todo {M>0}, existe {\delta >0} tal que, para todo {x\in V}

    se {0< |x-a| < \delta } então {f(x)> M.}

  • {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = -\infty }
    se para todo {m>0}, existe {\delta >0} tal que, para todo {x\in V}

    se {0< |x-a| < \delta } então {f(x)< -m .}

Exercício 38 Dê definições para

  • {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = +\infty}
  • {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = +\infty}
  • {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = -\infty}
  • {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = -\infty}

Em todos os seis casos dizemos que a reta {x=a} é a assíntota vertical da curva definida por {y=f(x)}.

Exemplo 21 Para {f\colon {\mathbb R}-\{1\}\rightarrow {\mathbb R}} dada por {f(x) = \frac x{x-1}}, a reta {x=1} é uma assíntota vertical e a reta {y=1} é uma assíntora horizontal

Exemplo 22 {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac 1{x}}. Dado {M >0} escolhemos {\delta = \frac 1M} de modo que se { 0 < x - 0 < \delta} então {\frac 1{x} > M}. Portanto, {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac 1{x}=+\infty.}

Exercício 39 Dada uma função {f}, é verdade que se {\lim_{x\rightarrow a} f(x) = +\infty} então {\lim_{x\rightarrow a} \frac 1{f(x)} = 0 }? Prove ou dê um contra-exemplo.

Exercício 40 Dada uma função {f}, é verdade que se {\lim_{x\rightarrow a} \frac 1{f(x)} = 0 } então {\lim_{x\rightarrow a} f(x) = +\infty}? Prove ou dê um contra-exemplo.

Exercício 41 Determine {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+} \frac 1{x-a}}.

Exercício 42 Determine {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^-} \frac 1{x-a}}.

Exercício 43 Determine {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \frac 1{(x-a)^2}}.

Exercício 44 Estude as assíntotas das funções secante e tangente

\displaystyle \sec,~\tan\colon {\mathbb R}-\{\pi/2+k\pi\colon k\in{\mathbb Z}\}\rightarrow{\mathbb R}.

Exercício 45 Estude as assíntotas das funções cossecante e cotangente

\displaystyle \mathrm{cossec},~\mathrm{cotan}\colon {\mathbb R}-\{\pi/2+k\pi\colon k\in{\mathbb Z}\}\rightarrow{\mathbb R}.

— Propriedades de limites no infinito —

Tudo o que foi dito no teorema 3 vale se trocarmos {x\rightarrow a } por {x\rightarrow +\infty}.

Tudo o que foi dito no teorema 3 vale se trocarmos {x\rightarrow a } por {x\rightarrow -\infty}.

O Teorema do Confronto vale se trocarmos {x\to a} por {x\to +\infty } ou por {x\to -\infty}.

— Propriedades de limites infinitos —

O Teorema do Confronto vale se trocarmos {L} por {+\infty } ou por { -\infty}.

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow\star} f(x) = \Box \quad\mathrm{~e~} \quad \lim_{x\rightarrow\star} g(x) = \bigcirc

{\Box} {\bigcirc} {+} {\times} {-} {\div}
{+\infty} {+\infty} {+\infty} {+\infty} ? ?
{-\infty} {+\infty} ? {-\infty} {-\infty} ?
{+\infty} {-\infty} ? {-\infty} {+\infty} ?
{-\infty} {-\infty} {-\infty} {+\infty} ? ?
{L>0} {+\infty} {+\infty} {+\infty} {-\infty} {0}
{L<0} {+\infty} {+\infty} {-\infty} {-\infty} {0}
{L>0} {-\infty} {-\infty} {-\infty} {+\infty} {0}
{L<0} {-\infty} {-\infty} {+\infty} {+\infty} {0}

Além dos ? acima, são indeterminados os casos:
{0\cdot \pm\infty}, {\frac{k}{0}}, {\frac{\pm\infty}{0}}, {\frac 00}, {1^{+\infty}}, {0^0} e {+\infty^0}

{x\rightarrow\star} pode ser {x\rightarrow+\infty}, {x\rightarrow-\infty}, {x\rightarrow a}, {x\rightarrow a^+}, {x\rightarrow a^-}.

Exercício 46 (Variações do teorema do confronto) Sejam {f} e {g} funções sobre o mesmo domínio tais que para todo {x} numa vizinhança de {a}

  • {|g(x)| \leq M}, para {M} fixo, e {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a }f(x) =0}, então

    \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)g(x) = 0.

  • {f(x)\leq g(x)} e {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a }f(x) = +\infty}, então

    \displaystyle  \lim_{x\rightarrow a }g(x) = +\infty

  • {f(x)\leq g(x)} e {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a }g(x) = -\infty}, então

    \displaystyle  \lim_{x\rightarrow a }f(x) = -\infty

  • {0\leq f(x)\leq g(x)} e {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a }g(x) = 0}, então

    \displaystyle  \lim_{x\rightarrow a }f(x) = 0

Exemplo 23 (Aplicação do limite fundamental exponencial) A seguinte aplicação foi tirada do livro do Courant.

Um capital inicial de {1} foi investido com rendimento anual de {100\alpha} porcento ao ano. Ao fim de {x} anos a quantia acumulada será de {(1+\alpha)^x}.

Se somarmos o juro ao capital ao fim de cada mês, ao invés do fim de cada ano, ao fim de {x} anos a quantia acumulada é

\displaystyle \left(1+ \frac{\alpha}{12}\right)^{12x}

se a computação fosse diária

\displaystyle \left(1+ \frac{\alpha}{365}\right)^{365x}

e assim por diante, se o ano é fracionado em {n} partes, ao fim de {x} anos a quantia acumulada é

\displaystyle \left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{nx}.

Fazendo {n\rightarrow +\infty}, isto é, considerando que o juro é composto continuamente, em cada instante, então fazendo {y=n/\alpha}

\displaystyle  \lim_{n\rightarrow+\infty} \left( 1 + \frac{\alpha}n\right)^{nx} = \lim_{y\rightarrow+\infty} \left( 1 + \frac{1}y\right)^{y\alpha x} = \left(\lim_{y\rightarrow+\infty} \left( 1 + \frac{1}y\right)^{y}\right)^{\alpha x} = \mathrm{e}^{\alpha x}

(na última igualdade usamos o teorema 3, item 4) é o total acumulado após {x} anos.

Exercicio 47 (Decaimento radioativo e crescimento populacional)

(1) Uma massa inicial {m_0} de material radiativo apresenta decaimento de massa de {100\alpha} porcento a cada hora. Se o decaimento é computado a cada instante, então após {x} horas a massa será {m_0\mathrm{e}^{-\alpha x}}. Justifique.

(2) Uma população inicial de {p_0} bactérias reproduzem-se de modo que a população aumenta em {100\alpha} porcento a cada hora. Se o crescimento é computado a cada instante, então após {x} horas a população será {p_0\mathrm{e}^{\alpha x}}. Justifique.

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