bc0402 Continuidade

Quando introduzimos limite chamamos a atenção para o fato que nem sempre vale que

\displaystyle \displaystyle  \lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a)

essa equação pode falhar quando

  1. {f} não está definida em {a},
  2. {f(a)} está definido mas o limite não existe,
  3. {f(a)} está definido, o limite existe mas esses valores são diferentes;

Conhecemos os exemplos

cada um verifica uma das três situações enumeradas. Também, há os casos de limites infinitos como em {f(x) = 1/x} em que a função não está definida em {0} e o limite, quando {x\rightarrow 0} não existe.

Um exemplo onde função não está definida no {0} nem tem liminte quando {x\rightarrow 0} é o da função dada por {\sin (1/x)} em que a imagem do intervalo {\big[(2n - \frac 12)\pi,(2n + \frac 12)\pi\big]} é {[-1,1]} para qualquer natural {n}; temos {\sin \left( \frac 2{(4n-1)\pi}\right)= -1} e 0temos {\sin \left( \frac 2{(4n+1)\pi}\right)=1} e, quando {n} cresce, a função oscila cada vez mais rapidamente entre {-1} e {1} conforme {x} se aproxima de {0}.

Informalmente, uma função é contínua se seu gráfico não tem quebras, saltos ou oscilações bruscas como nos exemplos acima. Por exemplo {f(x) = \sin(1/x)} não é contínua em {0}, assim como {g(x) = x\sin(1/x)}.

Formalmente, uma função {f} é contínua em {a\in{\mathbb R}} se

\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a)

ou ainda, equivalentemente, se para todo {\varepsilon>0}, existem {\delta>0} tal que, para todo {x} no domínio da função, se {a-\delta <x< a+\delta }, então {f(a) -\varepsilon < f(x) < f(a) + \varepsilon.}

Graficamente, uma função é contínua em {a} se para toda escolha de retas horizontais {f(a) -\varepsilon} e {f(a)+\varepsilon} é possível escolher retas verticais {a-\delta} e {a+\delta} de modo que toda parte do gráfico que fica entre as retas verticais deve ficar também entre as retas horizontais.

Notemos, porém que se estendemos a definição das funções {f} e {g} para o {0}, como em

\displaystyle  F(x) = \begin{cases} \sin(1/x) & \textrm{ se } x\neq 0\\ 0 & \textrm{ se } x=0 \end{cases} \quad\textrm{ e }\quad G(x) = \begin{cases} x\sin(1/x) & \textrm{ se } x\neq 0\\ 0 & \textrm{ se } x=0 \end{cases}

resulta que a função {G} é contínua em {0}, diferente de {F}, que não importa o valor que definirmos para {F(0)} está sempre será descontínua nesse ponto.

Se {\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} f(x)} existe mas é diferente de {f(a)} então dizemos que {f} tem uma descontinuidade removível em {a}. N caso das funções {f(x)= \sin(1/x)} e {g(x)=x\sin(1/x)} discutidas acima, {g} tem descontinuidade removível em {0}, já a função {f} não.

Exercício 48 Quais das seguintes funções {f} podemos estender para um função {F} contínua em todo ponto da reta real?

  1. {f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}}
  2. {f(x) = \frac{|x|}{x}}
  3. {f(x) = 0} para todo {x} irracional.

Exercício 49 Seja {h} uma função com descontinuidade removível em {a} e defina a função {H} por

\displaystyle H(x) = \begin{cases} h(x) & \textrm{ se } x\neq a\\ \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}h(x) & \textrm{ se } x= a \end{cases}

Mostre que {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}H(x) = H(a)}.

Uma função {f} é contínua no intervalo aberto {(a,b) \subset {\mathbb R}} se {f} é contínua em todo {x\in (a,b)}, é contínua no intervalo fechado {[a,b] \subset {\mathbb R}} se {f} é contínua em todo {x\in (a,b)} e

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+}f(x) = f(a) \textrm{ e }\lim_{x\rightarrow b^-}f(x) = f(b)

No caso {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+}f(x) = f(a)} dizemos que {f} é contínua a direita em {a} e no caso {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^-}f(x) = f(a)} dizemos que {f} é contínua a esquerda em {a}.

— Continuidade de algumas funções conhecidas —

Dos exercícios e exemplos anteriores nós sabemos que

  • funções polinomiais são contínuas em todo ponto da reta;
  • funções racionais são contínuas em todo ponto do seu domínio;
  • a função logaritmo é contínua em todo real positivo;
  • a função raiz quadrada é contínua em todo real positivo.

Vejamos mais alguns exemplos.

Exemplo 24 (Continuidade da função seno) Vimos nesse exemplo que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \sin(x) = 0}. De fato, vale que para todo {a\in {\mathbb R}}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow a} \sin(x) = \sin(a)

e isso pode ser mostrado como segue. Fixado {a\in{\mathbb R}}, fazemos {x=a+h} e temos

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\sin(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \sin(a+h)

e usando a identidade para o seno de uma soma temos

\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \sin(a+h) = \lim_{h\rightarrow 0} \big( \sin(a)\cos(h) + \cos(a)\sin(h) \big)

e usando o exercício 28 onde deve-se mostrar que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \cos(x) = 1} temos pelas propriedades operacionais 1 e 2 do Teorema 3 de limites que

\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \big( \sin(a)\cos(h) + \cos(a)\sin(h) \big)= \lim_{h\rightarrow 0} \big( \sin(a)\cos(h)\big) + \lim_{h\rightarrow 0}\big(\cos(a)\sin(h) \big)

e que

\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \big( \sin(a)\cos(h)\big) + \lim_{h\rightarrow 0}\big(\cos(a)\sin(h) \big) = \sin(a) \lim_{h\rightarrow 0} \cos(h) + \cos(a)\lim_{h\rightarrow 0}\sin(h) = \sin(a)\cdot 1 + \cos(a) \cdot 0

logo {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \sin(x)= \sin(a)}.

Exercício 50 (Continuidade da função cosseno) Use a identidade trigonométrica para o cosseno da soma, {\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)}, para provar que a função cosseno é contínua em todo {a\in{\mathbb R}}.

Exercício 51 (Continuidade da função exponencial) Use o fato que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\mathrm{e}^x=1} para provar que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^a} para todo {a\in{\mathbb R}}.

A partir de funções contínuas podemos provar que muitas outras funções são contínuas com o seguinte resultado que segue imediatamente das propriedades operacionais com limites (teo. 3).

Teorema 5 Suponha {f} e {g} são contínuas em {a\in{\mathbb R}}, entoão

  1. {f+g} é contínua em {a};
  2. {f\cdot g} é contínua em {a};
  3. {\frac fg} é contínua em {a}, se {g(a)\neq 0};
  4. se {f} contínua em {g(a)} então {f\circ g} é contínua em {a}.

Essas propriedades não ajudam, por exemplo, no caso {\arcsin (x)}. Nesse caso, usamos o seguinte teorema.

Teorema 6 Sejam {I} um intervalo e {f\colon I\rightarrow{\mathbb R}} uma função monótona (estritamente) e contínua em {I}. Então {f} tem inversa {g\colon f((I) \rightarrow I} monótona (estritamente) e contínua em todo ponto do domínio.

Demonstração: Seja {f} crescente em {I} e {a\in I} um ponto no interior de {I}. Vamos mostrar que {g} é contínua. Os casos {g} existe e é crescente, {f} e {g} decrescentes e {a} extremo de {I} são deixados como exercício.

Dado {\varepsilon >0} escolhamos {\delta >0} tal que

\displaystyle  \big( f(a)-\delta,f(a)+\delta \big) \subset \big(f(a-\varepsilon),f(a+\varepsilon)\big)


isso pode ser feito já que {f} é crescente, pois disso {f(a)\in \big(f(a-\varepsilon),f(a+\varepsilon)\big)} e { |f(a-\varepsilon) -f(a+\varepsilon)| > 0}, logo podemos tomar a menor das distâncias

\displaystyle  \delta = \inf \{ |f(a) - f(a-\varepsilon)|, |f(a) - f(a+\varepsilon)|\}.


Seja {b=f(a)}. Assi, se {y\in \big( b-\delta,b+\delta \big)} então {y\in \big(f(a-\varepsilon),f(a+\varepsilon)\big)} e como {g} é crescente

\displaystyle g\big(f(a-\varepsilon)\big) < g(y) < g \big(f(a+\varepsilon)\big) \Leftrightarrow a-\varepsilon < g(y) < a+\varepsilon

\displaystyle \Leftrightarrow g(b)-\varepsilon < g(y) < g(b))+\varepsilon

portanto

\displaystyle \lim_{y\rightarrow b} g(y) = g(b)

e {g} é contínua em {b}. \Box

Exemplo 25 (Continuidade de {\arcsin}, {\arccos} e {\arctan}) O teorema acima é usado para estabelecer a continuidade das funções trigonométricas inversas, cujas definições damos a seguir. Fica como exercício verificar que cada uma delas satisfaz as condições do teorema, portanto são funções contínuas em todos os pontos de seus domínios.

  • A função seno no intervalo {I=[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]} é crescente e sua imagem é {\sin(I) = [-1,1]}. A função inversa está definda para todo ponto em {[-1,1]} e é a função {\arcsin \colon [-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]}.

  • Analogamente, cosseno no intervalo {[0,\pi]} é crescente e sua inversa é a função {\arccos \colon [-1,1]\rightarrow [0,\pi]}.

  • A função tangente no intervalo {(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)} é crescente e sua imagem é {{\mathbb R}}. A função inversa está definda para todo ponto em {{\mathbb R}} e é a função {\arctan \colon {\mathbb R} \rightarrow (-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)}.

Exercício 52 Seja {f\colon \mathbb R\rightarrow\mathbb R} tal que {|f(x)|\leq |x|} para todo {x\in{\mathbb R}}. Mostre que {f} é contínua no {0}.

Exercício 53 Verifique que {f(x) = \begin{cases} x & \textrm{ se } x\in {\mathbb Q}\\ 0 & \textrm{ caso contrario } \end{cases}} é contínua apenas no {0}.

Exercício 54 Esse exercício estabelece uma técnica para mostrar continuidade que simplifica as contas a serem feitas. Prove o item 1 e use-o para provar o item 2.

  1. Prove que se para todo {\varepsilon >0} existir um intervalo aberto {I} com {a\in I} tal que para todo {x}

    \displaystyle x\in I \Rightarrow |f(x)-f(a)|< \varepsilon

    então {f} será contínua em {a}.

  2. Prove que, fixado um real positivo {r}, se para todo {0<\varepsilon <r} existir um intervalo aberto {I} com {a\in I} tal que para todo {x}

    \displaystyle x\in I \Rightarrow |f(x)-f(a)|< \varepsilon

    então {f} será contínua em {a}.

Exemplo 26 Com o exercício acima fica fácil mostrar que {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}x^2=a^2}: para {0<\varepsilon < a^2} dado temos

\displaystyle  a^2 -\varepsilon \leq f(x) \leq a^2 + \varepsilon \Leftrightarrow \sqrt{a^2 -\varepsilon} < |x| < \sqrt{a^2 + \varepsilon}

assim,

  • se {a>0} escolhemos {I= (\sqrt{a^2 -\varepsilon},\sqrt{a^2 + \varepsilon})},
  • se {a<0} escolhemos {I= (-\sqrt{a^2 +\varepsilon},-\sqrt{a^2 - \varepsilon})}.

Para mostrar que {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}x^3=1} basta notar que para {\varepsilon} dado

\displaystyle  1-\varepsilon < x^3 < 1+ \varepsilon \Leftrightarrow \sqrt[3]{1-\varepsilon} < x< \sqrt[3]{1+\varepsilon}

logo é suficiente tomar {I= (\sqrt[3]{1-\varepsilon},\sqrt[3]{1+\varepsilon})}.

Exercício 55 Mostre que se {a_n \rightarrow a} e {f} é uma função definida nos pontos da sequência e contínua em {a} então

\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}f(a_n)=f(a)

Exercício 56 Mostre que se existe o limite {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x)} e {f} é contínua nele então

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(\lim_{x\rightarrow a} g(x)).

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