bc0402 3 Teoremas sobre funções contínuas

Seja {f\colon [a,b]\rightarrow{\mathbb R}} uma função contínua no seu domínio e de modo que {f(a)<0} e {f(b)>0}. Intuitivamente, como {f(a)} está abaixo do eixo {x}, e {f(b)} está acima do eixo {x} e a função não dá saltos, então deve haver {c\in[a,b]} onde o gráfico de {f} encontra o eixo {x}. No final destas notas provaremos que vale o seguinte resultado.

Teorema 7 (Teorema de Bolzano ou Teorema do Anulamento) Seja {f} uma função contínua no intervalo {[a,b]} de modo que {f(a)} e {f(b)} tenham sinais opostos. Então existe {c\in(a,b)} tal que {f(c)=0}.

Na descrição anterior ao teorema acima não há nada de especial no fato do gráfico encontrar o eixo {x}, a não ser pelo fato do sinal de {f(a)} e {f(b)} serem opostos. Se para algum real {c} temos {f(a)< c} e {f(b)>c} então a reta {y=c}, paralela ao eixo {x} no plano, encontra o gráfico de {f}. Esse resultado é conhecido como Teorema do Valor Intermediário, que abreviaremos TVI.

Teorema 8 (Teorema do Valor Intermediário — TVI) Seja {f} uma função contínua no intervalo {[a,b]} e {d} qualquer ponto entre {f(a)} e {f(b)}. Então existe {c\in[a,b]} tal que {f(c)=d}.

Demonstração: Defina a função {g(x) = f(x) - d} e use o teorema de Bolzano. \Box

A hipótese da função ser contínua é essencial, nos casos dos exemplos dados nos dois gráficos abaixo, por exemplo, para {d=4 \in [3,6]} não existe {c} cuja imagem seja 4, embora para outros valores de {d\in [3,6]} possa existir tal {c}

Exemplo 27 A equação {x^3-4x+8=0} admite pelo menos uma raiz real. De fato, para a função polinomial {f(x) = x^3-4x+8} vale que {f(0)=8} e {f(-3)=-7} e {f(x) = x^3-4x+8} é contínua em {[-3,0]}, portanto, pelo teorema de Bolzano há {x\in[-3,0]} tal que {f(x)=0}.

Exemplo 28 Para {p(x)=x^3+3x^2-1} temos {p(0)=-1} e {p(2)=19}, portanto há uma raiz no intervalo {(0,2)}.

Exemplo 29 Decorre do TVI que para todo {k} existe a raiz {n}-ésima de {k}. Consideremos a função {f(x) = x^n -k}. Como {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=+\infty} temos, por definição, que existe {M> 0} tal que {f(x)>0} para todo {x>M}. Como {f(0)=-k} pelo TVI, existe {c\in[0,M]} tal que {f(c)=0}, isto é, tal que {c=\sqrt[n]k}.

Exercício 57 Sejam {f} e {g} contínuas em {[a,b]} tais que {f(a) < g(a)} e {f(b)>g(b)}. Prove que {f(x)=g(x)} para algum {x\in[a,b]}.

Finalmente, o último grande resultado sobre funções contínuas é o seguinte, que diz que função contínua num intervalo fechado admite um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo.

Teorema 9 (Teorema de Weierstrass ou Teorema do Valor Extremo, de Weierstrass) Seja {f} uma função contínua no intervalo {[a,b]}. Então {\mathrm{Im} f} é limitado e existem {y,z\in [a,b]} tais que {f(z) \leq f(x) \leq f(y)}, para todo {x\in[a,b]}.

Exercício 58 O teorema de Weierstrass é válido se a imagem não for um intervalo fechado?

Exemplo 30 O conjunto

\displaystyle A=\left\{ x^2 +\frac 1x ~\colon~ \frac 12 \leq x \leq 2 \right\}

admite um valor máximo e um valor mínimo no intervalo {[1/2,2]}. Notemos que o teorema não diz como achamos esses valores.

Demonstração do teorema 7 Seja {f} uma função contínua em {[a,b]} e de modo que {f(a)<0} e {f(b)>0}, o outro caso tem prova análoga. Tomamos {a_0=a}, {b_0=b} e {c_0= \frac{a_0+b_0}2} e definimos

\displaystyle  \begin{cases} a_1=a_0 \textrm{ e } b_1=c_0 &\textrm{ caso } f(c_0) >0\\ a_1=c_0 \textrm{ e } b_1=b_0 &\textrm{ caso }f(c_0) <0. \end{cases}

Notemos que se {f(c_0)=0} não há mais o que fazer, caso contrário, fazemos {c_1= \frac{a_1+b_1}2} e repetimos o processo. Para {n\geq 1} inteiro, {c_n= \frac{a_n+b_n}2} e

\displaystyle  \begin{cases} a_{n+1}=a_n \textrm{ e } b_{n+1}=c_n &\textrm{ caso } f(c_n) >0\\ a_1=c_n \textrm{ e } b_{n+1}=b_n &\textrm{ caso }f(c_n) <0. \end{cases}

Notemos que

  1. para todo {n\in{\mathbb N}}, temos {b\geq b_n \geq c_n \geq a_n \geq a};
  2. {|b_n - a_n|} tende a {0}, conforme {n} tende a {+\infty};
  3. as sequências {(b_n)} e {(a_n)} são monótonas e limitadas, portanto, existem os limites {\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}a_n} e {\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}b_n} (veja a prova nas notas de aula de Bases Matemáticas, aproximadamente na página 194), e pelo item 1 acima esses limites estão no intervalo {[a,b]}.

Dos itens 2 e 3 temos

\displaystyle  \lim_{n\rightarrow+\infty}a_n = \lim_{n\rightarrow+\infty}b_n = c

e pelo item 1 e Teorema do Confronto para sequências {\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}c_n = c}.

De {f} contínua temos

\displaystyle  \lim_{n\rightarrow+\infty}f(c_n) = f(c)

Agora, pela construção das sequências temos {f(a_n)<0<f(b_n)} portanto

\displaystyle 0 < - f(a_n) < f(b_n)-f(a_n)

pela continuidade {\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}f(a_n) = \lim_{n\rightarrow+\infty}f(b_n) =f(c)}, portanto, pelo Teorema do Confronto { \displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} - f(a_n) = 0} logo

\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} f(a_n) = 0

e como o limite é único {0=f(c)}. {\Box}

Demonstração do teorema 9 Seja {f} uma função contínua no intervalo {[a,b]}.

Se {\mathrm{Im} f} não é limitado então para cada {M>0} existe {x=x(M)=x_M } no intervalo {[a,b]} tal que {|f(x_M)| > M}. A sequência {(x_M)_M} é limitada.

É possível escolher uma subsequência {(x_{M_n})_n} monótona, que também é limitada por ser subsequência (pare e pense até ficar convencido disso), portanto, convergente.

Assim, quando {n} cresce indefinidamente {x_{M_n}} tende a {\ell\in [a,b]} enquanto que {|f(x_{M_n})|} tende a {+\infty}, contrariando o fato de {f} ser contínua.

Logo, {\mathrm{Im} f} é limitado, portanto existem {\sup (\mathrm{Im} f)} e {\inf (\mathrm{Im} f)}, de modo que

\displaystyle  \inf ( \mathrm{Im} f ) \leq f(x) \leq \sup ( \mathrm{Im} f )

para todo {x\in [a,b]}. Resta mostra que existem {y,z\in [a,b]} tais que {f(z)=\inf ( \mathrm{Im} f )} e {f(y) = \sup (\mathrm{Im} f) }. Mostraremos um caso, o outro é análogo e fica como exercício.

Suponha que {f(x)< K = \sup (\mathrm{Im} f)} para todo {x\in [a,b]}. Então a função

\displaystyle g(x) = \frac 1{K-f(x)}

é contínua para todo {x\in[a,b]}, porque é razão de funções contínuas e é limitada porque {f} é limitada.

Mas, se {g} é limitada, então para algum {k}

\displaystyle  0< \frac 1{M-f(x)} < k

portanto, {f(x) < K - 1/k} para todo {x\in [a,b]}, contrariando o fato de {K} ser supremo de {\mathrm{Im} f}. Portanto, deve haver {y\in[a,b]} tal que {f(y) = K}.{\Box}

Outra demonstração do teorema 7 Daremos uma prova alternativa do teorema 0. Usaremos o seguinte resultado diz que se uma função é contínua em {a} então em torno de {a} a função tem o mesmo sinal de {f(a)}, i.e., não há mudança brusca de sinal. Esse resultado é útil em várias outras situações.

Lema 8 Se {f} é contínua (respec., contínua a direita, respec., contínua a esquerda) em {a} e {f(a)>0} então existe {\delta > 0} tal que {f(x)>0} para todo {x\in (a-\delta,a+\delta)} (respec., {x\in [a,a+\delta)}, respec, {x\in (a-\delta,a]}). Analogamente, se {f(a)<0} então existe {\delta > 0} tal que {f(x)<0} para todo {x\in (a-\delta,a+\delta)} e valem as respectivas versões laterais.

Demonstração: Vamos provar o caso {f} contínua em {a} e {f(a)>0}. Como {f(a)>0} para {\varepsilon=f(a)}, existe {\delta} tal que para todo {x},

\displaystyle |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)|< f(a)

o que resulta em {f(x)>0} para todo tal {x}. O caso {f(a)< 0} é provado fazendo {\varepsilon= - f(a)} e as provas das outras versões ficam como exercício. \Box

Demonstração do teorema 7: Seja {f\colon [a,b]\rightarrow{\mathbb R}} uma função contínua no seu domínio e de modo que {f(a)<0} e {f(b)>0}, o outro caso tem prova análoga.

Denotemos por {A} o conjunto de pontos {x\in [a,b]} tais que {f(y)<0} para todo {y\in[a,x]}. Pelo lema anterior, {f(x)} é negativa nos pontos próximos de {a} e positiva nos pontos próximos de {b} logo esse conjunto é não-vazio e limitado superiormente, portanto admite supremo, digamos que {\sup A = c}, com {a< c <b}.

Agora, se {f(c)>0} então pelo lema 8 há uma vizinhança de {c} onde {f} é positiva em todos os pontos, inclusive todos os pontos da vizinhança a esquerda de {c}, portanto estes pontos não estariam em {A}, e nesse caso {\sup A <c}, uma contradição. Por outro lado, se {f(c)<0} então pelo lema 8 há uma vizinhança de {c} onde {f} é negativa em todos os pontos, inclusive todos os pontos da vizinhança a direita de {c} contrariando a definição de sup que diz que {c} é um limitante superior para {A}. Portanto, só resta a possibilidade de {f(c)=0}. \Box

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