bc0402 Teorema do Valor Médio (TVM), crescimento e concavidade

Seja {f:[a,b]\rightarrow {\mathbb R}} uma função contínua, derivável em todo ponto do intervalo {(a,b)} e tal que {f(a)=f(b) =0}. Assumamos que {f} não seja constante. Pelo teorema de Weierstrass, teorema 0, existem {y,z\in [a,b]} tais que {f(z) \leq f(x) \leq f(y)}, para todo {x\in[a,b]}. Como a função não é constante, ou {z\neq a,b} ou {y\neq a,b} (ou seja {0} não é o maior valor nem o menor valor que a função assume no intervalo). Vamos assumir que {y\neq a,b}.

Para todo {h} tal que {y+h\in (a,b)} vale {f(y+h) \leq f(h)} de modo que

  • se {h>0} então {\frac{f(y+h)-f(y)}h \leq 0};
  • se {h<0} então {\frac{f(y+h)-f(y)}h \geq 0};

portanto, se {h\rightarrow 0^+} então {f'(y) \leq 0} e se {h\rightarrow 0^-} então {f'(y) \geq 0}, logo, {f'(y)=0}.

No caso {z\neq a,b}, para {h} de modo que {z+h\in (a,b)} temos que

  • se {h>0} então {\frac{f(z+h)-f(z)}h \geq 0};
  • se {h<0} então {\frac{f(z+h)-f(z)}h \leq 0};

e se {h\rightarrow 0^+} então {f'(z) \geq 0} e se {h\rightarrow 0^-} então {f'(y) \leq 0}, portanto, {f'(z)=0}.

Em ambos os casos garantimos a existência de um ponto {c\in (a,b)} tal que {f'(c) = 0}. Lembremos que, por hipótese, {f} não é constante; o caso de função constante essa afirmação vale trivialmente.

Teorema 12 (Teorema de Rolle) Seja {f:[a,b]\rightarrow {\mathbb R}} uma função contínua, derivável em todo ponto do intervalo {(a,b)} e tal que {f(a)=f(b) =0}. Então existe {c\in (a,b)} tal que {f'(c)=0}. {\Box}

Exercício 70 Por que o teorema de Rolle não se aplica a {f(x)=|x|-1} no intervalo {[-1,1]}, isto é, não existe {c} nesse intervalo tal que {f'(c)=0}?

Exercício 71 Por que o teorema de Rolle não se aplica a {f\colon [1,2]\rightarrow {\mathbb R}} dada por {f(x)= \begin{cases} -x^2+4, & 1 < x \leq 2 \\ 0, & x=1 \end{cases}} no intervalo {[-1,1]}?

Agora, seja {f:[a,b]\rightarrow {\mathbb R}} uma função derivável em todo ponto do intervalo {(a,b)}. Tomando

\displaystyle  g(x) = f(x) - \left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) + f(a) \right)

temos {g(a)=g(b)=0} e aplicando o teorema de Rolle, encontramos {c\in(a,b)} tal que {g'(c) = 0}, isto é,

\displaystyle  f'(c) - \frac{1}{b-a}(f(b)-f(a)) = 0 \Leftrightarrow f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

ou seja, com essas hipóteses existe um instante {c\in(a,b)} em que a taxa de variação instantânea é igual a taxa de variação média da função no intervalo.

Teorema 13 (Teorema do Valor Médio (TVM), de Lagrange) Seja {f:[a,b]\rightarrow {\mathbb R}} uma função contínua, derivável em todo ponto do intervalo {(a,b)}. Então existe {c\in (a,b)} tal que {f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}. {\Box}

Notemos que se a derivada é positiva num intervalo {I} do domínio então a função {f} é crescente nesse intervalo pois, se {\alpha,\beta \in I}, com {\alpha < \beta}, então {f} é contínua em {[\alpha,\beta]} e derivável em {(\alpha,\beta)}, logo podemos concluir que existe {c \in ( \alpha, \beta )} tal que {f(\beta) - f (\alpha) = f '(c) (\beta-\alpha)}. Como {\beta-\alpha>0} se {f'(c) >0} temos {f(\beta)-f (\alpha) >0}, ou seja, nessas condições

\displaystyle \alpha < \beta \Longrightarrow f(\alpha) < f (\beta)\textrm{ para quaisquer }\alpha,\beta\in I

o que estabelece que a função é crescente. Analogamente, se a derivada é negativa num intervalo então a função é decrescente nesse intervalo.

Dizemos que {c} no domínio de {f} é um ponto crítico de {f} se {f'(c)=0}.

Corolário 12 Seja {f} como enunciado acima e {I\subset [a,b]} intervalo aberto. Se para todo {x\in I}

  1. {f'(x) > 0}, então {f} é crescente em {I};
  2. {f'(x) < 0}, então {f} é decrescente em {I};
  3. {f'(x) = 0}, então {f} é constante em {I}.

Exemplo 38 Existe uma única função {g\colon {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}} derivável em toda reta tal que {g'(x) = \sin(x^2+4)} e {g(0)=1}. De fato, se houver uma função {h} com as mesma propriedades, então formamos a função {f(x)= g(x)-h(x)} e temos que {f'(x)=0} para todo {x}. Pelo corolário 12 acima a função {f} é constante, ou seja {g(x) - h(x) = c.} Como {g(0)=h(0)=1}, temos {c=0}, ou seja, {g=h}.

De um modo geral, se duas funções têm a mesma derivada, então elas diferem por uma constante.

Corolário 13 Sejam {f} e {g} funções que satisfazem as hipóteses do TVM acima. Se {f'(x) = g'(x)} para todo {x\in [a,b]} então {f(x) = g(x)+k}, para alguma constante {k}.

Exercício 72 Suponha que {f''(x)=0} para todo {x\in{\mathbb R}}. Sabendo que {f'(-3)=0} e {f(5)=\pi}, aplique o TVM duas vezes para concluir que {f(x)=\pi}, para todo {x}.

Exercício 73 Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Prove que em algum instante da corrida eles têm a mesma velocidade.

Exercício 74 (Teorema do Valor Médio, de Cauchy) Sejam {f,g:[a,b]\rightarrow {\mathbb R}} contínuas, deriváveis em todo ponto do intervalo {(a,b)}. Mostre que existe {c\in (a,b)} tal que {f'(c)(g(b)-g(a))= g'(c)(f(b)-f(a))}.

Lembremos que a derivada num ponto é a inclinação da reta tangente ao gráfico naquele ponto e se a função derivada é crescente em todo ponto {p\in I} então o gráfico de {f} fica acima da reta tangente em {p}, exceto no ponto {p}; o gráfico da função é “curvado para cima”

Uma função derivável no intervalo aberto {I} é côncava para cima em {I} se

\displaystyle  f(x) > f'(p)(x-p)+f(p) \ \ \ \ \ (22)

para todo {x\neq p} ({y= f'(p)(x-p)+f(p)} é a reta tangente ao gráfico de {f} no ponto {(p,f(p))}).

Analogamente, se a função derivada é decrescente num intervalo o gráfico da função é “curvado para baixo”.

Uma função derivável no intervalo aberto {I} é côncava pra baixo em um intervalo {I} se

\displaystyle  f(x) < f'(p)(x-p)+f(p) \ \ \ \ \ (23)

para todo {x\neq p}, ou seja, a função é convexa em {I} então em todo ponto {p\in I} o gráfico de {f} fica abaixo da reta tangente em {p}, exceto no ponto {p}.

Teorema 14 (teste de concavidade) Seja {f} uma função duas vezes derivável num intervalo aberto {I},

  • se {f''(x) > 0} em {I} então {f} é côncava para cima em {I};
  • se {f''(x) < 0} em {I} então {f} é côncava para baixo em {I}.

Demonstração: Suponha que {f''(x) > 0} em {I} (portanto {f'} é crescente nesse intervalo); definimos {g(x) = f(x) - t_p(x)} para qualquer {p\in I} e todo {x\in I} e vamos mostrar que {g(x) >0}, o que resulta em (22). A derivada é {g'(x) = f'(x) - f'(p)} e como {f'} é crescente em {I}

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  g'(x) >0 &\textrm{ se }& x>p \\ g'(x) <0 &\textrm{ se }& x<p \end{array}

ou seja, {g} é decrescente em {I} e a esquerda de {p} e crescente em {I} e a direita de {p}, e {g(p)=0} portanto {g(x) > 0 } para todo {x\in I}, {x\neq p}. O caso côncavo é análogo. \Box

Um ponto em {I} onde a função e contínua e as concavidades a esquerda e a direita são contrárias é chamado ponto de inflexão . Notemos que das interpretações geométricas de (22) e (23), num ponto de inflexão a tangente (se existe) cruza o gráfico.

Se {f} é derivável até 2ª ordem no intervalo aberto {I} e {f''} é contínua no ponto de inflexão {p\in I} então {f''(p)=0}. A recíproca não vale, como mostra {f(x)=x^4} no ponto {0}.

Exercício 74 Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e concavidade-para-cima/concavidade-para-baixo e os pontos críticos e de inflexão das seguintes funções

  1. {\displaystyle f(x) = x^3-3x^2+1};
  2. {\displaystyle f(x) = 3x^4+4x^3_12x^2+2};
  3. {\displaystyle f(x) = x\mathrm{e}^{-x}};
  4. {\displaystyle f(t) = \frac{L}{1+A\mathrm{e}^{-kt}}}, em que {L,A,k >0} são constantes;
  5. {f(x) = \log \sqrt{X^2+4}};
  6. {f(x) = \arcsin x^{2/3}};
  7. {f(x) = \arctan (x^2-1)}.

Exercício 75 (difícil) De uma maneira geral {f} é

  • côncava para cima em {I} se para quaisquer {a,b\in I} o segmento de reta de extremidades em {(a,f(a))} e {(b,f(b))} está acima do gráfico de {f} (restrito ao intervalo).

  • côncava para baixo em {I} se para quaisquer {a,b\in I} o segmento de reta de extremidades em {(a,f(a))} e {(b,f(b))} está abaixo do gráfico de {f} (restrito ao intervalo).

Mostre que se {f} é côncava para cima no intervalo {I} então para quaisquer {a,x,b\in I} tais que {a<x<b} vale

\displaystyle  \frac{f(x)-f(a)}{x-a} < \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Enuncie e prove o enunciado equivalente ao parágrafo anterior para funções côncavas para baixo.

Prove as equivalências entre as definições dadas aqui e as de funções deriváveis dadas em (22) e (23), respectivamente.

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