bc0402 Primitivas e Técnicas de primitivação

Vimos (corolário 15) que num intervalo aberto {I}

se {f'(x) =g'(x)}, para todo {x\in I} então {f} e {g} diferem por uma constante

isto é,

\displaystyle  f(x) = g(x) + k, \textrm{ para algum } k, \textrm{ para todo }x \in I

Seja {f} uma função definida num intervalo {I}. Uma primitiva , ou antiderivada, de {f} em {I} é uma função {F} definida em {I} tal que

\displaystyle { F'(x) =f(x)}

para todo {x\in I}.

Exemplo 54 {F(x) = \frac 13 x^3} é uma primitiva de {f(x) = x^2} em {{\mathbb R}}.

Exemplo 55 {F(x) = 2 x +k} é uma primitiva de {f(x) = 2} em {{\mathbb R}}.

A primitiva de uma função, caso exista, não é única. Se {F} é uma primitiva de {f} em {I}, então {F(x)+k} também é uma primitiva de {f} em {I} para qualquer constante {k\in {\mathbb R}}, e essas são todas as primitivas de {f} em {I}.

Essa família de funções primitiva é denotada, abusando de notação, por

\displaystyle   \int f(x) \;\mathrm{d}x \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} F(x)+k. \ \ \ \ \ (26)

com {k} uma constante arbitrária. O componente {\mathrm{d}x} indica a variável de primitivação.

Em (26), sempre que não for explícito, supões-se que o domínio de {f} seja um intervalo.

Exemplo 56 {\displaystyle [\log(|x|)]' = \frac 1{|x|}}, portanto

\displaystyle \int \frac 1{x}\;\mathrm{d}x = \log(|x|) +k

tanto no intervalo {(-\infty,0)}, quanto no intervalo {(0,+\infty)}. Se o intervalo for mencionado explicitamente, por exemplo, {x>0}, então {\int \frac 1{x}\;\mathrm{d}x = \log(x) +k}.

Exemplo 57 Recapitulando algumas derivadas calculadas anteriormente, conhecemos

{\displaystyle\int 0\;\mathrm{d}x} {=} {k}
{\displaystyle\int c\;\mathrm{d}x} {=} {cx +k}
{\displaystyle\int x^r\;\mathrm{d}x} {=} {\frac{x^{r+1}}{r+1} +k}
{\displaystyle\int \frac 1x\;\mathrm{d}x} {=} {\log(|x|) +k}
{\displaystyle\int \mathrm{e}^x\;\mathrm{d}x} {=} { \mathrm{e}^x +k}
{\displaystyle\int a^x\;\mathrm{d}x} {=} { \frac{a^x}{\log(a)} +k~\quad (a>0,~ a\neq 1)}
{\displaystyle\int \sin(x)\;\mathrm{d}x} {=} { -\cos(x) +k}
{\displaystyle\int \cos(x)\;\mathrm{d}x} {=} {\sin(x) +k}
{\displaystyle\int \tan(x)\;\mathrm{d}x} {=} {-\log |\cos(x)| +k}
{\displaystyle\int \mathrm{cotan}(x)\;\mathrm{d}x} {=} {\log |\sin(x)| +k}
{\displaystyle\int \sec^2(x)\;\mathrm{d}x} {=} { \tan(x) +k}
{\displaystyle\int \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\;\mathrm{d}x} {=} { \arcsin(x) +k}
{\displaystyle\int \frac 1{1+x^2}\;\mathrm{d}x} {=} { \arctan(x) +k}

{\displaystyle\int \frac 1{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\;\mathrm{d}x}

{=} {\sqrt[n]{x} +k~\quad(n\in{\mathbb N})}

Exercício 83 Verifique {\displaystyle \int \tan(x)\;\mathrm{d}x = -\log(|\cos(x)|)+k}.

Seguem diretamente das propriedades da derivada (verifique)

  1. {\displaystyle \int (f(x)+g(x)) \;\mathrm{d}x = \int f(x) \;\mathrm{d}x + \int g(x) \;\mathrm{d}x};
  2. {\displaystyle \int cf(x) \;\mathrm{d}x = c\int f(x) \;\mathrm{d}x }.

Exercício 84 Calcule

  1. {\displaystyle \int x\sqrt{x}\;\mathrm{d}x};
  2. {\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} \;\mathrm{d}x};
  3. {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;\mathrm{d}x};
  4. {\displaystyle \int \tan^2(x) \;\mathrm{d}x};
  5. {\displaystyle \int \mathrm{e}^{\alpha x} \;\mathrm{d}x}; {\alpha\neq 0};
  6. {\displaystyle \int \cos (\alpha x) \;\mathrm{d}x}; {\alpha\neq 0}.

— Técnica para {\int f'(g(x))g'(x)\;\mathrm{d}x} — primitivação por substituição —

Se {F} é uma primitiva de {f} então {F(g(x))} é primitiva de {f(g(x))g(x)} pois {[F(g(x))]'=F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x)}, logo

\displaystyle   \int f(g(x))g'(x)\;\mathrm{d}x = F(g(x))+k \ \ \ \ \ (27)

Aqui é outro momento quando é útil olharmos para a notação de Leibiniz para derivada como um quociente. Fazendo {u=g(x)}, de modo que {\mathrm{d}u = g'(x)\,\mathrm{d}x} (essa expressão só tem sentido simbólico da troca de variáveis, sem nenhum significado real — leia aqui um significado que pode ser dado a tal expressão), em (27)

\displaystyle   \int f(u) \;\mathrm{d}u = F(u)+k \ \ \ \ \ (28)

Exemplo 58 {\displaystyle \int \tan(x) \;\mathrm{d}x = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\;\mathrm{d}x}.

Substituindo {u = \cos (x)}, temos {\mathrm{d}u = -\sin(x)\,\mathrm{d}x} e ficamos com

\displaystyle  \int \tan(x) \;\mathrm{d}x = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\;\mathrm{d}x = \int \frac {-1}u \;\mathrm{d}u = -\log(|u|) +k = -\log (|\cos(x)|)+k

Exemplo 59 {\displaystyle \int x\cos(x^2)\;\mathrm{d}x}. Fazendo {u=x^2}, temos {{\mathrm{d}u} =2x {\mathrm{d}x}}.

\displaystyle \int \cos(x^2) x\;\mathrm{d}x =\int \cos(u)\frac 12\;{\mathrm{d}u} = -\frac{\sin(u)}2+k = -\frac{\sin(x^2)}2+k

Exemplo 60 {\displaystyle \int \frac 1{a^2+x^2} \;\mathrm{d}x = \frac 1{a^2}\int \frac{1}{1+\left( \frac xa \right)^2}\;\mathrm{d}x}.

Fazendo {u =x/a} temos {\displaystyle \int \frac 1{x^2+a^2} \;\mathrm{d}x = \frac 1a \arctan \left(\frac xa\right)+k}.

Exemplo 61 {\displaystyle \int \frac 1{\sqrt{a^2 - x^2}} \;\mathrm{d}x = \frac 1{a}\int \frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac xa \right)^2}}\;\mathrm{d}x = \arcsin \left(\frac xa\right)+k}.

Exercício 85 Verifique {\displaystyle \int \frac 1{a^2-x^2} \;\mathrm{d}x = \frac 1{2a}\log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| +k}.

Exercício 86 Verifique {\displaystyle \int \frac 1{\sqrt{x^2 + a}} \;\mathrm{d}x = \log \left| x+\sqrt{x^2+a}\right| +k}.

Exercício 87 Calcule

  1. {\displaystyle \int x\cos(x)\;\mathrm{d}x};
  2. {\displaystyle \int \mathrm{e}^{3x}\;\mathrm{d}x};
  3. {\displaystyle \int (2x+1)^3\;\mathrm{d}x};
  4. {\displaystyle \int \frac{x}{1+x^2}\;\mathrm{d}x};
  5. {\displaystyle \int \sin^3(x)\cos(x)\;\mathrm{d}x};
  6. {\displaystyle \int \sec^2(x)\tan(x)\;\mathrm{d}x};
  7. {\displaystyle \int \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}\;\mathrm{d}x};
  8. {\displaystyle \int \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}\;\mathrm{d}x};
  9. {\displaystyle \int \frac{\sec^2(x)}{3+2\tan(x)}\;\mathrm{d}x};
  10. {\displaystyle \int \frac{x^2}{1+x^3}\;\mathrm{d}x};
  11. {\displaystyle \int \frac{x^2}{(1+x^3)^2}\;\mathrm{d}x};
  12. {\displaystyle \int \frac{5}{4+x^2}\;\mathrm{d}x};
  13. {\displaystyle \int x\sin(x^2)\;\mathrm{d}x};
  14. {\displaystyle \int x^2\mathrm{e}^{x^3}\;\mathrm{d}x};
  15. {\displaystyle \int x\mathrm{e}^{-x^2}\;\mathrm{d}x};
  16. {\displaystyle \int \mathrm{e}^x\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}\;\mathrm{d}x};
  17. {\displaystyle \int \frac 1x \cos \big( \log (x) \big) \;\mathrm{d}x}.

— Técnica para {\int (f'(x)g(x)+ f(x)g'(x))\;\mathrm{d}x} — primitivação por partes —

A primitivação por partes é uma técnica originada da regra para a derivada do produto de duas funções. Se {G} é primitiva de {g}

\displaystyle  \int \big( f(x)g(x) + f'(x)G(x) \big)\;\mathrm{d}x = f(x)\cdot G(x) +k

ou ainda,

\displaystyle  \boxed{ \int f(x)g(x)\;\mathrm{d}x = f(x)\cdot G(x) - \int f'(x)G(x) \;\mathrm{d}x } \ \ \ \ \ (29)

considerando que a constante genérica {k} está implícita na primitiva {\int f'(x)G(x) \;\mathrm{d}x}.

Essa fórmula é abreviada fazendo {u=f(x)} e {v=G(x)}, logo {\mathrm{d}u = f'(x)\mathrm{d}x} e {\mathrm{d}v = g(x)\mathrm{d}x} e ficamos com

\displaystyle  \boxed{ \int u \;\mathrm{d}v = u \cdot v - \int v \;\mathrm{d}u} \ \ \ \ \ (30)

Observemos que para calcular uma primitiva a transformamos numa expressão que envolve outra primitiva. A idéia é que a nova primitiva seja “mais fácil” do que a primeira, senão tal transformação não faz sentido.

Exemplo 62 {\displaystyle \int x\sin(x)\;\mathrm{d}x = x\cdot \sin(x) - \int (-\cos(x))\;\mathrm{d}x = -x\cos(x)+\sin(x)+k}. Nesse caso escolhemos {u = x} e {v = -\cos(x)} e aplicamos (30).

Exemplo 63 {\displaystyle \int x\log(x)\;\mathrm{d}x = \frac{x^2}2\cdot \log(x) - \int \frac{x^2}2\frac 1x\;\mathrm{d}x.} Nesse caso escolhemos {u = \log x} e {v = x^2/2} e aplicamos (30) e obtemos

\displaystyle \int x\log(x)\;\mathrm{d}x = \frac{x^2}2\cdot \log(x) - \frac{x^4}4+k.

Exemplo 64 {\displaystyle \int \arctan(x)\;\mathrm{d}x}. Fazendo {u=\arctan(x)} e {v=x}, temos {\mathrm{d}u = \frac 1{1+x^2}\,\mathrm{d}x} e {\mathrm{d}v=\mathrm{d}x.} Por (30)

\displaystyle \int \arctan(x)\;\mathrm{d}x = x\cdot \arctan(x) - \int \frac x{1+x^2}\;\mathrm{d}x.

para calcular essa última primitiva fazemos a substituição {w=1+x^2}, logo {\mathrm{d}w = 2x\,\mathrm{d}x}. Daí

\displaystyle  \int \frac x{1+x^2}\;\mathrm{d}x= \int \frac 1w\;\mathrm{d}w = \log |w|+k = \log(1+x^2) + k.

De volta ao caso inicial,

\displaystyle \int \arctan(x)\;\mathrm{d}x = x\cdot \arctan(x) -\log(1+x^2) + k.

Exercício 88 Calcule

  1. {\displaystyle \int \mathrm{e}^x\cos(x)\;\mathrm{d}x};
  2. {\displaystyle \int \cos^2(x)\;\mathrm{d}x};
  3. {\displaystyle \int \sec^3(x)\;\mathrm{d}x};
  4. {\displaystyle \int x^2\mathrm{e}^x\;\mathrm{d}x};
  5. {\displaystyle \int \log^2(x)\;\mathrm{d}x};
  6. {\displaystyle \int x^3\mathrm{e}^{x^2}\;\mathrm{d}x};
  7. {\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x}\cos(2x)\;\mathrm{d}x};
  8. {\displaystyle \int x\sin(x)\;\mathrm{d}x};
  9. {\displaystyle \int x\log(x)\;\mathrm{d}x};
  10. {\displaystyle \int x^2\log(x)\;\mathrm{d}x};
  11. {\displaystyle \int x\cos(x)\;\mathrm{d}x};
  12. {\displaystyle \int x^2\sin(x)\;\mathrm{d}x};
  13. {\displaystyle \int x\log^2(x)\;\mathrm{d}x};
  14. {\displaystyle \int \mathrm{e}^{-2x}\sin(x)\;\mathrm{d}x}.

— Primitivação por frações parciais —

Para de terminar a primitiva de funções racionais {\int \frac{p(x)}{q(x)}\;\mathrm{d}x}, no caso em que o grau do numerador {p(x)} é maior ou igual ao do denominador {q(x)}, usamos o algoritmo da divisão e obtemos {p(x) = t(x)q(x)+r(x)} e

\displaystyle  \int \frac{p(x)}{q(x)}\;\mathrm{d}x = \int \left(t(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\right)\;\mathrm{d}x = \int t(x)\;\mathrm{d}x+ \int \frac{r(x)}{q(x)}\;\mathrm{d}x

e o grau de {r} é menor que o grau de {q}.

Logo, basta considerar a fração racional {\frac{p(x)}{q(x)}} em que o grau do numerador é menor que o grau do denominador que, por sua vez, é {n}

  • se o denominador tem {n} raízes reais {q(x) = (x-b_1)^{r_1}(x - b_2)^{r_2}\cdots (x-b_n)^{r_n}}, então

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  \frac{p(x)}{q(x)} =&& \frac{A_{1,1}}{(x-b_1)}+ \frac{A_{1,2}}{(x-b_1)^2}+\cdots+ \frac{A_{1,r_1}}{(x-b_1)^{r_1}} +\\ && \frac{A_{2,1}}{(x-b_2)}+ \frac{A_{2,2}}{(x-b_2)^2}+\cdots+ \frac{A_{2,r_2}}{(x-b_2)^{r_2}}+\\&&\cdots +\\ && \frac{A_{n,1}}{(x-b_n)}+ \frac{A_{n,2}}{(x-b_n)^2}+\cdots+ \frac{A_{n,r_n}}{(x-b_n)^{r_n}} \end{array}

    com os {A_{i,j}}‘s determinados de maneira única; nesse caso, usamos que

    \displaystyle  \int \frac{A}{(ax+b)}\;\mathrm{d}x =\frac Aa\log|ax+b|+k~ \textrm{ e }~\int \frac{A}{(ax+b)^r}\;\mathrm{d}x =\frac {-A}{a(r-1)} \frac 1{(ax+b)^{r-1}}+k.

  • se, por outro lado, o polinômio no denominador apresenta algum polinômio irredutível do segundo grau em sua fatoração elevado a um expoente {r}, então na decomposição em frações parciais aparecerão {r} frações da forma

    \displaystyle  \frac{a_1x+b_1}{x^2-px+q} + \frac{a_2x+b_2}{(x^2-px+q)^2} + \cdots + \frac{a_rx+b_r}{(x^2-px+q)^r},

    por exemplo,

    \displaystyle  \frac{3x^2 -x}{(x-2)^3(x^2+x+4)(x^2+1)^2} = \frac{A_1}{(x-2)} + \frac{A_2}{(x-2)^2} + \frac{A_3}{(x-2)^3} + \frac{A_4x+A_5}{x^2+x+4} + \frac{A_6x+A_7}{(x^2+1)} + \frac{A_8x+A_{9}}{(x^2+1)^2}

Exercício 89 Estude a primitiva

\displaystyle  \int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+x}\;\mathrm{d}x.

Exemplo 65 {\displaystyle \int \frac{x^2-3}{(x^2-4)(2x+1)}\;\mathrm{d}x}. Começamos com

\displaystyle  \frac{x^2-3}{(x^2-4)(2x+1)} = \frac{A_0}{x-2} + \frac{A_1}{x+2} + \frac{A_2}{2x+1}

somando o lado direito

\displaystyle  \frac{x^2-3}{(x^2-4)(2x+1)} = \frac{A_0(x+2)(2x+1) + A_1(x-2)(2x+1) + A_2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)(2x+1)}

Fazendo {x=-2} temos {A_1(-2-2)(-4+1)=1}, logo {A_1 =1/12}.

Fazendo {x=2} obtemos {A_0=1/20}.

Fazendo {x=-1/2} obtemos {A_2=11/15}. (escolhemos as raízes do denominador)

Portanto,

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \displaystyle \int \frac{x^2-3}{(x^2-4)(2x+1)}\;\mathrm{d}x &=& \int \frac{1/40}{x-2}\;\mathrm{d}x + \int \frac {1/12}{x+2}\mathrm{d}x + \int \frac{11/15}{2x+1}\;\mathrm{d}x \\ &=& \frac 1{40}\log|x-2| +\frac 1{12}\log|x+2| + \frac{11}{30}\log|2x+1|+k. \end{array}

Exemplo 66 {\displaystyle \int \frac{x^2}{(x+1)^3(2x-1)}\;\mathrm{d}x}. Começamos com

\displaystyle  \frac{x^2}{(x+1)^3(2x-1)} = \frac{A_0}{(x+1)} + \frac{A_1}{(x+1)^2} + \frac{A_2}{(x+1)^3} +\frac{A_4}{2x-1}

somando o lado direito

\displaystyle  \frac{x^2}{(x+1)^3(2x-1)} = \frac{A_4(x+1)^3 + A_2(2x-1)(2x+1) + A_1(2x-1)(x+1) + A_0(2x-1)(x+1)^2}{(x+1)^3(2x-1)}

Fazendo {x=-1} temos {A_2=-4/3}.

Fazendo {x=1/2} obtemos {A_4=2/27}.

Fazendo {x= 0} obtemos {A_4-A_2-A_1-A_0 =0.} Fazendo {x=1} obtemos {8A_4+A_2+2A_1+4A_0 =1.} Logo

\displaystyle  \begin{cases} A_1+A_0 = 38/27 \\ 2A_1+4A_0 = 52/27 \end{cases}

portanto {A_1 = 31/27} e {A_0=7/27}. Assim

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \displaystyle \int \frac{x^2}{(x+1)^3(2x-1)}\;\mathrm{d}x &=& \int \frac{-4/3}{(x+1)^3}\;\mathrm{d}x + \int \frac{31/27}{(x+1)^2}\;\mathrm{d}x + \int \frac{7/27}{(x+1)}\;\mathrm{d}x + \int \frac{2/27}{2x-1}\;\mathrm{d}x \\ &=& \frac 2{3(x+1)^2} - \frac{31}{27(x+1)} + \frac 7{27} \log|x+1| +\frac 1{27}\log|2x-1| + k. \end{array}

Exemplo 67 {\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+2}\;\mathrm{d}x}.

Completando os quadrados no denominador {{x^2+x+2 = (x+ \frac 12)^2 + \frac 74}}, portanto

\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+2}\;\mathrm{d}x = \int \frac{1}{(x+ \frac 12)^2 + \frac 74}\;\mathrm{d}x = \frac 47 \int \frac{1}{\frac 47(x+ \frac 12)^2 + 1}\;\mathrm{d}x

Fazendo { u =\sqrt{ \frac 47}(x+ \frac 12) }, com {\mathrm{d}u = \sqrt{\frac 47}\,\mathrm{d}x} obtemos

\displaystyle \frac 47 \int \frac{1}{\frac 47(x+ \frac 12)^2 + 1}\;\mathrm{d}x = \frac 47\int \frac 1{1+u^2}\;\mathrm{d}u = \frac 2{\sqrt 7}\arctan(u)+k =\frac 2{\sqrt 7}\arctan\left(\frac 2{\sqrt 7}\left(x+ \frac 12\right) \right)+k

Exemplo 68 {\displaystyle \int \frac{x^3-2x+1}{x^2+x+2}\;\mathrm{d}x}.

Nesse caso, o numerador tem grau maior que o denominador, e { x^3-2x+1 =\left( x-1\right) \,\left( {x}^{2}+x+2\right) +(-3x+3)}, portanto

\displaystyle  \int \frac{x^3-2x+1}{x^2+x+2}\;\mathrm{d}x = \int (x-1)\;\mathrm{d}x -3 \int \frac{x-1}{x^2+x+2}\;\mathrm{d}x

Agora,

\displaystyle  \frac{2x-2}{x^2+x+2} = \frac{2x+1-3}{x^2+x+2} = \frac{2x+1}{x^2+x+2} - \frac{-3}{x^2+x+2}

portanto

\displaystyle  \frac 32 \int \frac{2x-2}{x^2+x+2}\;\mathrm{d}x = \int \frac{2x+1}{x^2+x+2}\;\mathrm{d}x - 3 \int \frac{1}{x^2+x+2}\;\mathrm{d}x

a primeira primitiva é resolvida com a substituição {u=x^2+x+1} e a segunda foi feita no exemplo anterior.

Juntado os resultados

\displaystyle \int \frac{x^3-2x+1}{x^2+x+2}\;\mathrm{d}x =\frac{{x}^{2}-2\,x}{2} -\frac{3\,\mathrm{log}\left| {x}^{2}+x+2\right| }{2}+\frac{9\,\arctan\left( \frac{2\,x+1}{\sqrt{7}}\right) }{\sqrt{7}}

Observamos que o polinômio do denominador sempre pode ser decomposto num produto de fatores de primeiro e segundo graus. Os fatores de primeiro grau aparecem quando existem raízes reais; as raízes complexas são responsáveis pelos fatores de segundo grau.

Exercício 90 Calcule

  1. {\displaystyle \int \frac{x+3}{x^2-3x+2}\;\mathrm{d}x};
  2. {\displaystyle \int \frac{x^2+2}{x^2-3x+2}\;\mathrm{d}x};
  3. {\displaystyle \int \frac{x^3+2}{(x-1)^2}\;\mathrm{d}x};
  4. {\displaystyle \int \frac{1}{x^2-4}\;\mathrm{d}x};
  5. {\displaystyle \int \frac{x}{x^2-4}\;\mathrm{d}x};
  6. {\displaystyle \int \frac{x}{x^2-5x+6}\;\mathrm{d}x};
  7. {\displaystyle \int \frac{x+1}{x^2+9}\;\mathrm{d}x};
  8. {\displaystyle \int \frac{x^3+x+1}{x^2-4x+3}\;\mathrm{d}x};
  9. {\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^2+2x+2}\;\mathrm{d}x}.

— Outras técnicas —

Primitivação envolvendo {\sqrt{a^2-x^2}}, {\sqrt{a^2+x^2}}, {\sqrt{x^2-a^2}} podem ser simplificadas usando substituições trigonométricas.

Por exemplo, {\sqrt{a^2-x^2}} é o cateto de um triângulo retângulo de cateto {x} e hipotenusa {a}, logo se {\theta} é o ângulo formado pela hipotenusa tal cateto então {x=a\sin(\theta)} e {\mathrm{d}x = a \cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta}, e {\frac{\sqrt{a^2-x^2}}a = \cos (\theta)}, portanto

\displaystyle  \int \sqrt{a^2-x^2}\;\mathrm{d}x = \int a^2 \cos^2 (\theta)\;\mathrm{d}\theta

Usando que

\displaystyle \cos^2(\theta) = \frac 12 \left( 1+ \cos (2\theta)\right)

temos

\displaystyle  \int a^2\cos^2(\theta)\;\mathrm{d}\theta = \frac{a^2}2 \int \left( \frac 12+ \frac 12\cos (2\theta)\right)\;\mathrm{d}\theta = \frac{a^2\theta}2 + \frac{a^2}4\sin(2\theta) + k

Por exemplo {\sqrt{a^2+x^2}} é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos {a} e {x}, logo se {\theta} é o ângulo formado pela hipotenusa com o cateto de lado {a} então {x=a\tan(\theta)} e {\mathrm{d}x = a \sec^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta}, e {\frac{\sqrt{a^2+x^2}}a = \sec(\theta)}, portanto

\displaystyle  \int \sqrt{a^2+x^2}\;\mathrm{d}x =\int a^2\sec^3(\theta) \;\mathrm{d}\theta

\displaystyle  \int \sec^3(\theta) \;\mathrm{d}\theta = \int \sec(\theta) \cdot \sec^2(\theta) \;\mathrm{d}\theta

tomando {u=\sec(x)} e {\mathrm{d}v = \sec^2(\theta) \,\mathrm{d}\theta} e usando primitivação por partes

\displaystyle  \int \sec^3(\theta) \;\mathrm{d}\theta = \sec(x)\tan(x) - \int \tan(x)\sec(x)\tan(x)\;\mathrm{d}x

usando que {\tan^2(x)=\sec^2(x) -1}

\displaystyle  \int \sec^3(\theta) \;\mathrm{d}\theta = \sec(x)\tan(x) - \int \big(\sec^3(x)-\sec(x)\big)\;\mathrm{d}x

portanto

\displaystyle  2\int \sec^3(\theta) \;\mathrm{d}\theta = \sec(x)\tan(x) + \int \sec(x)\;\mathrm{d}x

logo

\displaystyle  \int \sec^3(\theta) \;\mathrm{d}\theta = \frac 12\sec(x)\tan(x) + \frac 12\log |\sec(x)+\tan(x)| +k.

Exercício 91 Mostre que para {n\geq 2}

  1. {\displaystyle \int \sec^n(x)\;\textrm{d}x = \frac{\tan(x)\sec^{n-2}(x)}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}(x)\;\textrm{d}x}.

  2. {\displaystyle \int \cos^n(x)\;\textrm{d}x = \frac{\sin(x)\cos^{n-1}(x)}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)\;\textrm{d}x}.

Primitivação evolvendo potências de funções trigonométricas do tipo

\displaystyle \int \sin^m(x)\cos^n(x)\;\mathrm{d}x

admitem a seguinte estratégia

  • se {n} é ímpar, digamos {n=2k+1} então

    \displaystyle \int \sin^m(x) \cos^n(x)\; \mathrm{d}x =\int \sin^m(x)(\cos^2(x))^k\cos(x)\;\mathrm{d}x

    e usamos a identidade {\cos^2(x)=1-\sin^2(x)}, em seguida a substituição {u=\sin(x)}

    \displaystyle  \int \sin^m(x)(\cos^2(x))^k\cos(x)\;\mathrm{d}x= \int \sin^m(x)(1-\sin^2(x))^k\cos(x)\;\mathrm{d}x= \int u^m(1-u^2)^k\;\mathrm{d}u

    e notemos que {u^m(1-u^2)^k} é um polinômio;

  • se {m} é ímpar, digamos {m=2k+1} então

    \displaystyle \int \sin^m(x) \cos^n(x)\; \mathrm{d}x =\int (\sin^2(x))^k\cos^n(x)\sin(x)\;\mathrm{d}x

    e usamos a identidade {\sin^2(x)=1-\cos^2(x)}, em seguida a substituição {u=\cos(x)}

    \displaystyle  \int \cos^n(x)(\sin^2(x))^k\sin(x)\;\mathrm{d}x= \int \cos^n(x)(1-\cos^2(x))^k\sin(x)\;\mathrm{d}x= \int u^n(u^2-1)^k\;\mathrm{d}u

    e notemos que {u^m(u^2-1)^k} é um polinômio;

  • quando as potências são pares, usualmente as seguintes identidades são úteis

    1. {\sin^2(x) = \frac 12(1-\cos(2x))};
    2. {\cos^2(x) = \frac 12(1-\sin(2x))};
    3. {\sin(x)\cos(x) = \frac 12\sin(2x)}.

Exercício 92 Verifique que para todo natural {n\geq 2}

\displaystyle \int \sin^n(x) = \frac{\sin^{n-1}(x)\cos(x)}{n} +\frac{n-1}n\int \sin^{n-2}(x)\;\mathrm{d}x.

Exercício 93 Verifique que para todo natural {n\geq 2}

\displaystyle \int \cos^n(x) = \frac{\cos^{n-1}(x)\sin(x)}{n} +\frac{n-1}n\int \cos^{n-2}(x)\;\mathrm{d}x.

Exercício 94 Calcule

  1. {\displaystyle \int cos^3(x)\;\mathrm{d}x};
  2. {\displaystyle \int \sin^3(3x)\;\mathrm{d}x};
  3. {\displaystyle \int \sin^3(3x)\cos^3(3x)\;\mathrm{d}x};
  4. {\displaystyle \int \sin(x)\cos^2(7x)\;\mathrm{d}x}.

Exemplo 69 Num movimento retilíneo com posição inicial {s(0) = 9\;\mathrm{m}}, velocidade inicial {v(0)=-6\;\mathrm{m}/\mathrm{s}} e aceleração dada por {\alpha(t) = 6t+4\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2} a velocidade no instante {t} é uma primitiva {3t^2+ 4t+k} de {\alpha (t)} e como conhecemos {v(0)} temos que {3\cdot 0^2+ 4\cdot 0+k = -6} portanto {v(t) = 3t^2+ 4t-6} e o deslocamento é uma primitiva {t^3 + 2t^2 - 6t + k} de {v(t)}; sabemos que {s(0)=0} logo {s(t) = t^3 + 2t^2 - 6t + 9}.

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