bc0402 Integral

Seja {f} uma função definida no intervalo {[a,b]}, façamos {x_0=a, ~x_n=b} e consideremos o intervalo {[a,b]} dividido pelos pontos {x_1 <  x_2 < \cdots < x_{n-1}} em {n} partes não necessariamente de mesmo comprimento. Em cada subintervalo escolhemos um ponto arbitrário {\xi_i \in [x_{i-1},x_{i}]} ({0<i\leq n}) e consideremos os retângulos de altura {f(\xi_i)} e base {\Delta x_i = x_{i}-x_{i-1}}.

A soma

\displaystyle  S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i \ \ \ \ \ (31)

é chamada Soma de Riemann relativa aos pontos {x_i} e {\xi_i}, {0< i < n}. Geometricamente, essa soma corresponde a diferença entre a soma das áreas dos retângulos de altura {f(\xi_i)\Delta x_i} que estão acima do eixo {x} e a soma das áreas dos retângulos abaixo do eixo {x}.

Queremos saber se quando o número de subintervalos aumenta indefinidamente e ao mesmo tempo o tamanho dos intervalos tende a zero, então o limite da sequência {\lim_{n\rightarrow\infty}S_n} existe e de forma independente das escolhas dos pontos {x_i} e {\xi_i}. Para sermos mais precisos, escrevemos

\displaystyle  \lim_{\substack{n\to\infty\\\max\Delta x_i \rightarrow 0}} \left(\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\right) = S

se para todo {\varepsilon >0} existir {\delta >0} tal que {|S_n -S|< \varepsilon} sempre que {\Delta x_i<\delta} para todo {i}, independentemente da escolha dos {x_i} e dos {\xi_i}.

A integral definida da função {f} no intervalo {[a,b]} é

\displaystyle  \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} \lim_{\substack{n\to\infty\\\max\Delta x_i \rightarrow 0}} \left(\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\right)

e quando tal integral existe dizemos que {f} é Riemann-integrável, ou simplesmente integrável em {[a,b]}.

Na verdade, saber quando o limite {S} existe, ou seja, determinar quais funções são integráveis, é um problema além dos objetivos dessa disciplina. Nós assumiremos o seguinte resultado sem demonstração.

Teorema 18 Se {f} é contínua em {[a,b]} então {f} é integrável em {[a,b]}. Se {f} não é contínua em apenas um número finitos de pontos de {[a,b]} mas é limitada em {[a,b]} então {f} é integrável em {[a,b]}. {\Box}

Como consequência desse teorema, se {f} for contínua então basta uma escolha conveniente de {x_i} e {\xi_i} e determinar o limite da soma de Riemann.

Exemplo 70 A integral definida de {f(x) = k}, {k} uma constante qualquer, no intervalo {[a,b]} é dada, já que a função é contínua, pelo processo limite quando escolhemos {x_0=a} e para {1\leq i \leq n-1} tomamos {x_i= x_{i-1}+ \frac {b-a}n} e {x_n=b}, e em cada intervalo {[x_{i-1},x_i]} tomamos {\xi_i = x_i} e assim para cada {n}

\displaystyle  \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i = \sum_{i=1}^n k \frac {b-a}n = k(b-a)

portanto, {\int_a^b k\,\mathrm{d}x = (b-a)k}.

Exemplo 71 A integral definida de {f(x) = x} no intervalo {[a,b]} é dada, já que a função é contínua, pelo processo limite quando escolhemos {x_0=a} e para {1\leq i \leq n-1} tomamos {x_i= x_{i-1}+ \frac {b-a}n} e {x_n=b}, e em cada intervalo {[x_{i-1},x_i]} tomamos {\xi_i = x_i} e assim para cada {n}

\displaystyle  \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(x_i) \frac {b-a}n = \sum_{i=1}^n x_i \frac {b-a}n .

Não é difícil constatar que {x_i = a+ i \frac{b-a}n}, logo

\displaystyle  \sum_{i=1}^n x_i = an + \frac{b-a}n \sum_{i=1}^n i = an + \frac{b-a}n \times \frac{n(n+1)}2

portanto,

\displaystyle  \sum_{i=1}^n x_i \frac {b-a}n =(b-a)\left( a + \frac{b-a}n \times \frac{(n+1)}2 \right)

cujo limite quando {n\rightarrow \infty} é

\displaystyle \int_a^b k\,\mathrm{d}x = \frac 12(b^2-a^2).

Exemplo 72 Para {f\colon [0,b] \rightarrow {\mathbb R}} dada por {f(x)=x^2} dividimos o intervalo {[0,b]} em {n} subintervalos {I_1=[0,h]}, {I_2=[h,2h]},\dots, {I_n=[(n-1)h,b]}, para {h=b/n}. Em cada subintervalo {I_j} fazemos {\xi_j = jh} e temos

\displaystyle  S_n= \sum_{j=1}^n j^2h^2 = h^3 \sum_{j=1}^n j^2 = h^3\frac{n(n+1)(2n+1)}6

pois {\sum_j j = n(n+1)/2} e {\sum_j j^2 = n(n+1)(2n+1)/6}, e como {h=b/n} temos que

\displaystyle  S_n = \frac{b^3}{6} \frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}

e

\displaystyle \int_0^b x^2\,\mathrm{d}x = \lim_{n\rightarrow+\infty} S_n=\frac{b^3}3.

Exemplo 73 Seja {f} definida em {{\mathbb R}} por {f(x)=0} se {x\neq 1,3,5} e {f(1)=f(3)=f(5)=1}. Essa função é limitada e descontínua em três pontos do domínio.

Para determinar {\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x} usamos qualquer escolha de {x_i} e {\xi_i}. Quando calculamos {\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i} os termos são {0} exceto se ocorrer {\xi_j=1} para algum {j}, onde a soma vale {\Delta x_j}, logo no limite {\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 0}.

Para determinar {\int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x} usamos qualquer escolha de {x_i} e {\xi_i}. Quando calculamos {\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i} os termos são {0} exceto se ocorrer {\xi_j=1} para algum {j}, onde a soma vale {\Delta x_j}, ou se ocorrer {\xi_j=3} para algum {j} onde a soma vale {\Delta x_j}, ocorrer {\xi_{j_1}=1} e {x_{j_2}= 1} para algum {j_1} e algum {j_2}, onde a soma vale {\Delta x_{j_1} + \Delta x_{j_2}}. Em todos os casos {\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 0}.

Para determinar {\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x} usamos qualquer escolha de {x_i} e {\xi_i} e podem ocorrer

\displaystyle \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta = \begin{cases} 0 & \textrm{ se } \xi_i \neq 1,3,5\\ \Delta x_{j_1} + \Delta x_{j_2} & \textrm{ se } \xi_{j_1}=1,~\xi_{j_2}=3\\ \Delta x_{j_1} + \Delta x_{j_3} & \textrm{ se } \xi_{j_1}=1,~\xi_{j_3}=5\\ \Delta x_{j_2} + \Delta x_{j_3} & \textrm{ se } \xi_{j_2}=3,~\xi_{j_3}=5\\ \Delta x_{j_2} + \Delta x_{j_3} + \Delta x_{j_3} & \textrm{ se } \xi_{j_1}=1,~\xi_{j_2}=3,~\xi_{j_3}=5 \end{cases}

em qualquer caso, no limite quando {\max\Delta x_i\rightarrow 0} os termos tendem a {0} e no limite {\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x = 0}.

O caso acima exemplifica um fenômeno mais geral: a valor de {\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x} não muda se alterarmos o valor da função {f} num conjunto finito de pontos do intervalo. Além desse fato, vimos um exemplo de que uma função pode não ser contínua e ainda sim ser integrável.

Observação 4 { \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}, { \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t}, e { \int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u} têm o mesmo significado, ou seja, o símbolo que usamos para a variável independente é indiferente.

A integral definida satisfaz as seguintes propriedades, dado que as integrais existem. Para {a<c<b} e para qualquer {k\in{\mathbb R}}

\displaystyle  \int_a^a f(x)\;\mathrm{d}x = 0

\displaystyle \int_b^a f(x)\;\mathrm{d}x = - \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x

\displaystyle  \int_a^b kf(x)\;\mathrm{d}x = k\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x

\displaystyle \int_a^b \big(f(x)+g(x)\big)\;\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x+\int_a^b g(x)\;\mathrm{d}x

\displaystyle  f(x) \leq g(x) \Rightarrow \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\;\mathrm{d}x

\displaystyle  \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\;\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\;\mathrm{d}x

\displaystyle  \left| \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x\right| \leq \int_a^b \left| f(x) \right|\;\mathrm{d}x

Funções não limitadas não possuem integral definida (reflita sobre isso). Notemos que ambas hipóteses do teorema 18 pedem função limitada, isso por que se {f} é contínua em {[a,b]} então existem {m} e {M} em {[a,b]} tais que

\displaystyle f(m) \leq f(x) \leq f(M)

para todo {x\in [a,b]}, pelo Teorema do valor extremo de Weierstrass. Ademais,

\displaystyle \int_a^bf(m)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^bf(M)\,\mathrm{d}x

que pelo exemplo 70 resulta em

\displaystyle (b-a) f(m) \leq \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x \leq (b-a)f(M)

e como {f} é contínua, para cada {y\in [f(m),f(M)]} deve haver {c\in [a,b]} tal que {f(c)=y}, o que nos permite enunciar o seguinte teorema, tomando y=\frac 1{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

Teorema 19 (TVM do cálculo integral) Seja {f} contínua em {[a,b]}. Existe {c\in [a,b]} tal que

\displaystyle  \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = f(c)(b-a).

Vale o seguinte resultado mais geral.

Exercício 95 (TVM do cálculo integral — forma geral) Sejam {f} e {g} contínuas em {[a,b]} e {g} positiva. Mostre que existe {\xi\in [a,b]} tal que

\displaystyle  \int_a^bf(x)g(x)\;\mathrm{d}x =f(c)\int_a^b g(x)\;\mathrm{d}x.

— Teoremas Fundamentais do Cálculo —

Dada uma função {f} contínua no intervalo fechado {I} e fixada uma constante {a\in I} temos que

\displaystyle \Phi_a(x) =\int_a^x f(u)\;\mathrm{d}u

é uma função definida para todo {x\in I}. A taxa de variação dessa função é

\displaystyle  \frac{\Phi_a(x+h)-\Phi_a(x)}h = \frac 1h \int_a^{x+h}f(u)\;\mathrm{d}u- \frac 1h \int_a^{x}f(u)\;\mathrm{d}u = \frac 1h \int_x^{x+h}f(u)\;\mathrm{d}u

e do teorema 19 existe {c\in [x,x+h]} tal que

\displaystyle  f(c) = \frac 1h \int_x^{x+h}f(u)\;\mathrm{d}u

e fazendo {h\rightarrow 0} obtemos {f(c)\rightarrow f(x)}, isto é

\displaystyle  \Phi_a'(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac {\Phi_a(x+h)-\Phi_a(x)}h = f(x)

espetacularmente, a derivada de {\Phi_a} é {f}, ou seja {\Phi_a} é uma primitiva de {f}.

Seguindo alguns autores, chamamos {\int_a^x f(u)\;\mathrm{d}u} uma integral indefinida de {f} e o fato deduzido acima de Teorema Fundamental do Cálculo.

Teorema 20 (Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)) Sejam {f} contínua em {I} e {a\in I} fixo, então {\Phi_a\colon I\rightarrow {\mathbb R}} dada por

\displaystyle \Phi_a(x) = \int_a^x f(u)\;\mathrm{d}u

é derivável em {(a,b)\subset I} e {\Phi'(x) = f(x)} para todo {x\in (a,b)}.{\Box}

Observemos que se se mudamos o limitante inferior temos outra função primitiva cuja diferença para \Phi_a é uma constante, como era de se esperar

\displaystyle  \Phi_c(x) -\Phi_a(x) =\int_c^x f(u)\;\mathrm{d}u - \int_a^x f(u)\;\mathrm{d}u= \int_a^c f(u)\;\mathrm{d}u

{c\neq a}.

Exercício 96 Verifique que se definimos {\Phi(x) = \int_x^b f(u)\,\mathrm{d}u} então {\Phi ' (x) = -f(x)}.

Exercício 97 Seja {F} uma primitiva de {f} em {I}. Mostre que {F(x) = \Phi_a(x) + F(a)}.

Observação 5 No caso em que {f(x)=0} temos {\Phi_a(x) = 0} para qualquer {a}, enquanto que {k} (fixo) são as primitivas. No caso em que {f(x)=\sqrt{x}} temos {\Phi_a(x) = (2/3)x^{3/2} - (2/3)a^{3/2}} enquanto que {(2/3)x^{3/2}+1} é uma primitiva que não é {\Phi_a} para algum {a}. Em resumo, se {F} é uma primitiva de {f} então {F(x) = c + \Phi_a(x)} para {a} e {c} constantes e, reciprocamente, fixadas as constantes tal expressão define uma primitiva de {f}.

Daqui em diante não faremos distinção entre integral indefinida e uma primitiva e também chamamos

\displaystyle  \int f(x)\;\mathrm{d}x = \int_a^xf(u)\,\mathrm{d}u + k

de integral indefinida.

Como consequência disso tudo temos que se {f} é contínua num intervalo então nesse intervalo ela tem primitiva. Ademais, suponha que {F} seja uma primitiva e que desejamos saber {\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}. Sabemos que {F(x) = \int_a^x f(u)\,\mathrm{d}u + F(a)}, portanto, fazendo {x=b}

\displaystyle  \int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u = F(b)-F(a).

Essa igualdade é tão útil que mereceria o nome de teorema fundamental do cálculo, mas como ele vale de uma forma mais geral da afirmação o segundo teorema fundamental é enunciado a seguir.

Teorema 21 (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)) Se {f} é integrável em {[a,b]} e {F} é uma primitiva de {f} em {(a,b)}, então

\displaystyle \boxed{\int_a^b f(u)\;\mathrm{d}u = F(b) -F(a)}.

Demonstração: Se {f} é integrável então existe o limite

\displaystyle  \lim_{\max\Delta x_i \rightarrow 0} \left(\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\right)

para quaisquer escolhas de {x_i} e {\xi_i} ({1\leq i\leq n}), em particular, pelo TVM existe {\xi_i \in (x_{i-1},x_i)} tal que

\displaystyle  F(x_i)-F(x_{i-1}) = F'(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) = f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})

portanto

\displaystyle \sum_{i=1}^n [ F(x_i)-F(x_{i-1})] =\sum_{i=1}^n [ f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) ]

que é equivalente a

\displaystyle  F(b)-F(a) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i,

em particular,

\displaystyle  F(b)-F(a) = \lim_{\Delta x_i \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i,

portanto {\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)}. \Box

A seguinte notação é muito usada

\displaystyle  \boxed{F(x) \Big|_a^b \stackrel{{\textrm{\tiny def}}}{=} F(b) -F(a)}.

Observacao 6 Esse resultado não é a definição de integral definida, há funções integráveis que não são derivadas de qualquer função (por exemplo {f(x)=0} se {x\neq 1} e {f(1)=1}).

Exemplo 74 Fixados reais {a<b}, sabemos que {F(x) =x^3/3} é uma primitiva de {f(x)=x^2}, portanto,

\displaystyle  \int_a^b x^2\;\mathrm{d}x = F(b) -F(a) = \frac{b^3}3 - \frac{a^3}3.

Notemos que o resultado é o mesmo se usamos {F(x) = x^3/3 + k} para qualquer constante {k}.

Exercício 98 (Desigualdade de Cauchy—Schwarz) Sejam {f} e {g} contínuas em {[a,b]}. Então

\displaystyle  \int_a^b|f(x)|^2\;\mathrm{d}x \int_a^b|g(x)|^2\;\mathrm{d}x \leq \left( \int_a^b f(x) g(x)\;\mathrm{d}x\right)^2.

Exercício 99 Seja {f} uma função ímpar e contínua em {[-a,a]} ({a>0}). Mostre que {\int_{-a}^af(x)\,\mathrm{d}x =0}.

Exercício 100 (Mudança de variável) Sejam {f} uma função contínua no intervalo {I} e {a,b\in I}. Suponha {x=\varphi(t)} com {\varphi} derivável em {J}, {\varphi(J)\subset I} e {\varphi'} contínua em {J}. Sejam {\alpha,\beta\in J} tais que {a=\varphi(\alpha)} e {\beta=\varphi(b)}. Mostre que

\displaystyle  \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\;\mathrm{d}t

— Integrais impróprias —

Até agora integramos funções limitadas com número finito de descontinuidades num intervalo fechado. Agora, estendemos a definição para intervalos infinitos e funções com descontinuidades infinitas no intervalo, por exemplo,

\displaystyle  \int_{-\infty}^{+\infty} \frac 1{1+x^2}\,\mathrm{d}x, ~\int_1^2 \frac 1{x-1}\,\mathrm{d}x, ~ \int_0^{+\infty} \frac 1{\sqrt x}\,\mathrm{d}x.

A integral imprópria de {f} no intervalo {[a,+\infty)} é

\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{b\rightarrow +\infty}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x

quando o limite existe, caso contrário dizemos que a integral imprópria diverge.

Por exemplo,

\displaystyle  \int_1^{+\infty}\frac 1{x^3} \,\mathrm{d}x = \lim_{b\rightarrow +\infty} \left( \frac 12 - \frac 1{2b^2}\right) = \frac 12

entretanto

\displaystyle  \int_1^{+\infty}\frac 1{x} \,\mathrm{d}x = \lim_{b\rightarrow +\infty} \log (b) = +\infty

portanto é uma integral imprópria divergente.

Analogamente, a integral imprópria de {f} no intervalo {(-\infty,b]} é

\displaystyle \int_{-\infty}^bf(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{a\rightarrow -\infty}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x

quando o limite existe, caso contrário dizemos que a integral imprópria diverge, e a integral imprópria de {f} no intervalo {(-\infty,+\infty)} é

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^cf(x)\,\mathrm{d}x+ \int_c^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x

quando o limite existe, caso contrário dizemos que a integral imprópria diverge.

Por exemplo, para calcular {\int_{-\infty}^{+\infty} \frac 1{1+x^2}\,\mathrm{d}x} tomamos {c=0} na definição acima e

\displaystyle  \int_{-\infty}^{0} \frac 1{1+x^2}\,\mathrm{d}x= \lim_{a\rightarrow-\infty} \int_{a}^{0} \frac 1{1+x^2}\,\mathrm{d}x= \lim_{a\rightarrow-\infty} \mathrm{arctan}(x)\Big|_{a}^{0} = \lim_{a\rightarrow-\infty} -\mathrm{arctan}(a)= \frac{\pi}2

\displaystyle  \int_0^{+\infty} \frac 1{1+x^2}\,\mathrm{d}x= \lim_{b\rightarrow+\infty} \int_{0}^{b} \frac 1{1+x^2}\,\mathrm{d}x= \lim_{b\rightarrow+\infty} \mathrm{arctan}(x)\Big|_{0}^{b} = \lim_{b\rightarrow+\infty} \mathrm{arctan}(b)= \frac{\pi}2

logo

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac 1{1+x^2}\,\mathrm{d}x =\pi.

Se {f} é contínua em {[a,b]} exceto por uma descontinuidade infinita em {b} então a integral imprópria de {f} em {[a,b]} nesse caso é

\displaystyle  \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{t\rightarrow b^-} \int_a^t f(x)\,\mathrm{d}x

e caso haja uma descontinuidade infinita em {a} então a integral imprópria de {f} em {[a,b]} nesse caso é

\displaystyle  \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{t\rightarrow a^+} \int_t^b f(x)\,\mathrm{d}x.

Caso o limite não exista então dizemos que a integral imprópria diverge. Finalmente, se a descontinuidade infinita for em {c\in [a,b]} então

\displaystyle  \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+ \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x

e dizemos que a integral diverge caso alguma das parcelas divirja.

Por exemplo,

\displaystyle  \int_1^2 \frac 1{1-x} = \lim_{t\rightarrow 1^+} \int_t^2 \frac 1{1-x}\,\mathrm{d}x= \lim_{t\rightarrow 1^+} \left(-\log |1-x| \Big|_t^2 \right)= -\infty

portanto essa integral diverge.

Por exemplo

\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac 1{\sqrt{x}(x+1)}\,\mathrm{d}x = \int_0^1\frac 1{\sqrt{x}(x+1)}\,\mathrm{d}x + \int_1^{+\infty} \frac 1{\sqrt{x}(x+1)}\,\mathrm{d}x.

Uma primitiva da função é {2 \mathrm{arctan}\sqrt x +k} que pode ser determinada por substituição {x=u^2}. Assim,

\displaystyle  \int_0^1\frac 1{\sqrt{x}(x+1)}\,\mathrm{d}x = \lim_{t\rightarrow 0^+}\left( 2\mathrm{arctan}\sqrt x\Big|_t^1 \right)= \frac \pi 2

\displaystyle  \int_1^{+\infty}\frac 1{\sqrt{x}(x+1)}\,\mathrm{d}x = \lim_{t\rightarrow +\infty} \left(2\mathrm{arctan}\sqrt x\Big|^t_1\right) = \frac \pi 2.

— Exemplo: Movimento retilíneo —

Sabemos que um corpo que se move em linha reta tem sua posição, velocidade e aceleração dados por {s(t)}, {v(t)} e {a(t)}, respectivamente, de modo que

\displaystyle  v(t) = s'(t) \textrm{ e } a(t) = v'(t).

Ademais, vimos no exemplo 69 que {v} é uma primitiva de {a}

\displaystyle  v(t) = \int a(t)\,\mathrm{d}t

e que {v(t)} fica completamente determinada se conhecemos, por exemplo, {v(0)}; também, a partir daí, obtemos

\displaystyle  s(t) = \int v(t)\,\mathrm{d}t

e que {s(t)} fica completamente determinada se conhecemos, por exemplo, {s(0)}.

O deslocamento de um corpo ao longo de intervalo de tempo {[t_0,t_1]} é {s(t_1)-s(t_0)}, ou seja, é dado por

\displaystyle  \int_{t_0}^{t_1} v(t) \, \mathrm{d}t \ \ \ \ \ (34)

no entanto a distância percorrida ao longo desse intervalo é dada por

\displaystyle  \int_{t_0}^{t_1} |v(t)| \, \mathrm{d}t

pois desconsideramos o sentido do deslocamento.

Notemos que se o movimento é uniformemente acelerado, isto é {a(t)=a} constante, então

\displaystyle  v(t) = \int a(t)\,\mathrm{d}t = at + k

e se {v(0) = v_0} então {k = v_0} e

\displaystyle  v(t) = at + v_0

e a posição é

\displaystyle  s(t) = \int v(t)\,\mathrm{d}t = \int \big( at + v_0 \big)\,\mathrm{d}t= \frac {at}2 + v_0 t +k

e se {s(0)=s_0} então {k=s_0} e

\displaystyle  s(t) =\frac {at}2 + v_0 t + s_0

como é conhecido de todo estudante do ensino médio.

Ideia da prova do Teorema 18 Se {f} é contínua então em cada subintervalo {[x_{i},x_{i+1}]} a função é contínua, portanto, admite ponto de máximo {M_i} e ponto de mínimo {m_i}, pelo teorema de Weierstrass. Assim,

\displaystyle \underbrace{\sum_{i=1}^n f(m_i)\Delta x_i}_{\underline{S_n}}\leq \underbrace{\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i}_{S_n}\leq \underbrace{\sum_{i=1}^n f(M_i)\Delta x_i}_{\overline{S_n}},

para quaisquer escolhas de {x_i} e {\xi_i}.

A diferença entre os limitantes inferior e superior é

\displaystyle  0\leq \sum_{i=1}^n f(M_i)\Delta x_i - \sum_{i=1}^n f(m_i)\Delta x_i = \sum_{i=1}^n [f(M_i)-f(m_i)]\Delta x_i

e da continuidade podemos garantir {f(M_i)-f(m_i) < \varepsilon} se os {\Delta x_i}‘s forem suficientemente pequenos, portanto

\displaystyle  0\leq \overline{S_n} - \underline{S_n} \leq \varepsilon(b-a) \ \ \ \ \ (32)

consequentemente, no limite, a diferença {\overline{S_n} - \underline{S_n} } é zero. Com isso, basta mostrar quer {\overline{S_n}} converge pois {\lim \overline{S_n} = \lim S_n = \lim \underline{S_n}.}

Dadas as somas {\overline{S_n}} e {\overline{S_m}} consideremos uma soma {\overline{S_\ell}} definida pelas escolhas dos {x_i} das somas anteriores tomados conjuntamente. Então

\displaystyle  \underline{S_n} \leq \overline{S_\ell} \leq \overline{S_n} \quad \textrm{ e }\quad \underline{S_m}\leq \overline{S_\ell} \leq \overline{S_m} \ \ \ \ \ (33)

Vamos justificar a primeira desigualdade, a segunda tem justificativa análoga. O {i}-ésimo intervalo da soma {{S_n}} abrange um ou mais subintervalos da soma {{S_\ell}}, os termos dessa soma correspondentes a tais subintervalos tem {(1)} variação menor que o {\Delta x_i} do {i}-ésimo intervalo da soma {{S_n}} com soma dessas variações sendo {\Delta x_i}, e {(2)} valor da função entre {f(m_i)} e {f(M_i)}. Portanto, essa parcela de termos da soma {\overline{S_\ell}} tem valor entre {f(m_i)\Delta x_i} e {f(M_i)\Delta x_i}.

De (33)

\displaystyle  0 \leq \overline{S_\ell} - \underline{S_n} \leq \overline{S_n} -\underline{S_n}\quad \textrm{ e }\quad 0\leq \overline{S_\ell} -\underline{S_m}\leq \overline{S_m}-\underline{S_m}

e de (32)

\displaystyle  \overline{S_n} -\underline{S_n} < \varepsilon(b-a) \quad \textrm{ e }\quad \overline{S_m}-\underline{S_m}< \varepsilon(b-a)

se os subintervalos são suficientemente pequenos. Com isso

\displaystyle  | \overline{S_n} - \overline{S_m}| = | \overline{S_n} - \overline{S_\ell} - \overline{S_m} + \overline{S_\ell}| \leq | \overline{S_n} - \overline{S_\ell}|+ | \overline{S_\ell} - \overline{S_\ell}| < 2\varepsilon (b-a).

Como {\varepsilon >0} pode ser feito arbitrariamente pequeno, pelo critério de convergência de Cauchy a sequência {\overline{S_n}} converge. {\Box}

 

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