Variáveis aleatórias, Função de distribuição acumulada


Se uma moeda é lançada 3 vezes, supondo os resultados independentes, qual é o número de caras ocorridas? Qual é a probabilidade de termos 2 caras?

resultado 1 resultado 2 resultado 3 Nº de caras
Ca Ca Ca 3
Ca Ca Co 2
Ca Co Ca 2
Ca Co Co 1
Co Ca Ca 2
Co Ca Co 1
Co Co Ca 1
Co Co Co 0

A probabilidade de ocorrerem 2 caras é {\frac 38}.

Muitas vezes estamos mais interessados numa característica numérica de um evento, mais do que no evento propriamente dito.

Exemplo 34 Vejamos os seguintes exemplos de experimentos e o característico numérico de interesse.

  • Considera-se o número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo.
  • Escolher um ponto no círculo unitário e determinar a distância até a origem.
  • Mede-se a altura de um cidadão escolhido ao acaso. 
  • Retira-se uma lâmpada da linha de produção, acende-a e observa-se a mesma até que se queime.

Uma variável aleatória (v.a.) é uma função que associa a cada elemento de {\Omega} um número real

\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow {\mathbb R}.

Exemplo 35 Se {X} é o número de caras em 3 lançamentos de uma moeda então

{X\big((\mathrm{Ca,Ca,Ca}) \big) = 3}

{X\big((\mathrm{Ca,Ca,Co}) \big) = 2}

{X\big((\mathrm{Ca,Co,Ca}) \big) = 2}

{X\big((\mathrm{Ca,Co,Co}) \big) = 1}

{X\big((\mathrm{Co,Ca,Ca}) \big) = 2}

{X\big((\mathrm{Co,Ca,Co}) \big) = 1}

{X\big((\mathrm{Co,Co,Ca}) \big) = 1}

{X\big((\mathrm{Co,Co,Co}) \big) = 0}

Para uma v.a. {X\colon \Omega \rightarrow {\mathbb R}} usaremos as seguintes notações

{[X=a]} denota o evento {\{\omega\in \Omega \colon X(\omega) = a\}} ({\forall a\in\mathbb R})

{[X\leq a]} denota o evento {\{\omega\in \Omega \colon X(\omega) \leq a\}} ({\forall a\in\mathbb R})

e com essa notação usamos, por exemplo

  • {\mathop{\mathbb P}\big([X=3]\big)}, ou {\mathop{\mathbb P}(X=3)}, com o significado de {\mathop{\mathbb P}(\{\omega\in \Omega \colon X(\omega) = 3\})}
  • {[X\leq 3]\cap [X\geq 3] = \big\{\omega\in \Omega \colon X(\omega) \leq 3\big\} \cap \big\{\omega\in \Omega \colon X(\omega) \geq 3\big\} = [X=3]}
  • {[X < 3]\cap [X > 3] = \emptyset}

e valem todas as definições e operações com evento, por exemplo, se {X,Y\colon \Omega \rightarrow {\mathbb R}} são duas v.a.

  • podemos dizer {[X < a]} e {[Y > b]} são independentes;
  • usando a Lei de Probabilidade Total podemos escrever

    \displaystyle \mathop{\mathbb P}(X=3) = \mathop{\mathbb P}(X=3~|~Y<1)\mathop{\mathbb P}(Y<1)+ \mathop{\mathbb P}(X=3~|~Y\geq 1)\mathop{\mathbb P}(Y\geq 1).

Exemplo 36 Se {X} é o número de caras em 3 lançamentos de uma moeda então

\displaystyle [X=2] = \big\{(\mathrm{Ca,Ca,Co}),(\mathrm{Ca,Co,Ca}), (\mathrm{Co,Ca,Ca}) \big\}

\displaystyle [X\geq 2] = \big\{(\mathrm{Ca,Ca,Co}),(\mathrm{Ca,Co,Ca}), (\mathrm{Co,Ca,Ca}), (\mathrm{Ca,Ca,Ca}) \big\}

e {\mathop{\mathbb P}([X=2] ) = 3/8} e {\mathop{\mathbb P}([X\geq 2] )= 1/2}.

O evento complementar a {[X\geq 2]} é o evento

\displaystyle \overline{[X\geq 2]} = [ X< 2] = \big\{ (\mathrm{Ca,Co,Co}), (\mathrm{Co,Ca,Co}), (\mathrm{Co,Co,Ca}), (\mathrm{Co,Co,Co}) \big\}

que ocorre com probabilidade {\mathop{\mathbb P} ( \,\overline{X\geq 2}\, ) = 1- \mathop{\mathbb P} ( X \geq 2 ) = \frac 12}.

Se {A} é o evento “o primeiro lançamento foi {\mathrm{Ca}}” então

\displaystyle \begin{array}{rcl} \mathop{\mathbb P}(X=2~|~A) &=& \frac{\mathop{\mathbb P}\big([X=2]\cap A \big)}{\mathop{\mathbb P}(A)} \\ &=& \frac{\mathop{\mathbb P}\big( \{(\mathrm{Ca,Ca,Co}), (\mathrm{Ca,Co,Ca})\}\big)} {\mathop{\mathbb P}\big(\{ (\mathrm{Ca,Ca,Ca}), (\mathrm{Ca,Ca,Co}), (\mathrm{Ca,Co,Ca}), (\mathrm{Ca,Co,Co}) \} \big)} \\&=& \frac 12. \end{array}

\displaystyle \begin{array}{rcl} \mathop{\mathbb P}(X=2~|~X\geq 2) &=& \frac{\mathop{\mathbb P}\big([X=2]\cap [X\geq 2] \big)}{\mathop{\mathbb P}(X\geq 2)} \\ &=& \frac{\mathop{\mathbb P}\big( \{(\mathrm{Ca,Ca,Co}), (\mathrm{Ca,Co,Ca}), (\mathrm{Co,Ca,Ca})\}\big)} {\mathop{\mathbb P}\big(\{ (\mathrm{Ca,Ca,Ca}), (\mathrm{Ca,Ca,Co}), (\mathrm{Ca,Co,Ca}), (\mathrm{Co,Ca,Ca}) \} \big)} \\&=& \frac 34. \end{array}

Observação 2 A rigor, {X} é uma variável aleatória só se {[X\leq a]} é um evento mensurável para todo {a\in{\mathbb R}} mas, como antes, não nos preocuparemos com essa questão pois para nós as funções encontradas na prática satisfazem esse requisito.

— Função de distribuição de uma v.a. —

A função de distribuição (acumulada/cumulativa) da v.a. {X} é a função {F_X\colon{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}} dada por

\boxed{ F_X(x) = \mathop{\mathbb P}(X\leq x)}

Observemos que {F(x)=F_X(x)} está definida para todo real {x} e valem:

  • {\displaystyle 0\leq F(x) \leq 1 ;\quad \lim_{x\rightarrow +\infty} F(x) = 1; \quad \lim_{x\rightarrow -\infty} F(x) = 0};
  • {F} é não decrescente: {x<y \Longrightarrow F(x)\leq F(y)};
  • {F} é contínua à direta: {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+} F(x) = F(a)}, para todo {a\in{\mathbb R}}.

A prova do item 2 é fácil, se {x< y} então {[X\leq x] \subset [X\leq y]}, portanto, {\mathop{\mathbb P}( X\leq x ) \leq \mathop{\mathbb P}(X\leq y)} por (P2). As outras propriedades precisam do exercício 25. As 3 propriedades acima caracterizam uma função de distribuição. Além delas, pode-se provar que

  • {1 - F(a) = \mathop{\mathbb P} ( X >a)}, para todo {a\in{\mathbb R}};
  • para quaisquer {a<b} temos {F(b) - F(a) = \mathop{\mathbb P} ( a < X \leq b)};
  • {\mathop{\mathbb P}(X=x) = F(x) - F(x-)}, em que {F (x-) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \lim_{y\rightarrow x^-} F (y)}.

Exercício 38 Prove que {1 - F(a) = \mathop{\mathbb P} ( X >a)}, para todo {a\in{\mathbb R}}.

Exercício 39 Prove que {F(b) - F(a) = \mathop{\mathbb P} ( a < X \leq b)} para quaisquer {a<b}.

Exemplo 37 No caso dos 3 lançamentos de uma moeda

\displaystyle F_X(t) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } t <0\\ 1/8, & \textrm{ se } 0\leq t < 1\\ 1/2, & \textrm{ se } 1\leq t < 2\\ 7/8, & \textrm{ se } 2\leq t < 3\\ 1, & \textrm{ se } t \geq 3 \end{cases}

Usando as propriedades de uma função de distribuição temos, por exemplo

  • {\mathop{\mathbb P}(X > 2) = 1- F(2) = 1-7/8=3/8};
  • {\mathop{\mathbb P}(X>3) = 1-F(3) =0};
  • {\mathop{\mathbb P}( 0,5 < X \leq 2,5) = F(2,5) - F(0,5) = 7/8 - 1/8 = 3/4};
  • {\mathop{\mathbb P}(X=1) = F(1) - F(1-) = 1/2-1/8 = 3/8};
  • {\mathop{\mathbb P}(X=1,8) = F(2) - F(2-) = 7/8-1/2 = 3/8};
  • {\mathop{\mathbb P}(X=-1) = F(-1)-F(-1-) = 0-0=0};
  • {\mathop{\mathbb P}(X=7) = F(7)-F(7-) = 1-1=0}.

As descontinuidades das funções de distribuição são do tipo salto. Se {F} é descontínua então o salto em {a} é de {\mathop{\mathbb P}(X=a) = F(x) - F(x-)}. No exemplo acima, o salto em {x=1,8} é {7/8-1/2=3/8=\mathop{\mathbb P}(X=1,8)}. Notemos que a soma dos saltos de tamanho {\geq 1/n} não deve ser maior que {1}, portanto, a no máximo {n} desses saltos; desse fato podemos concluir que há um número enumerável de pontos de descontinuidade.

Exemplo 38 Um caso bem simples de v.a. é {Y(\omega)=c} para algum {c\in{\mathbb R}} e todo {\omega\in\Omega}.

\displaystyle F_Y(x) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } x < c\\ 1, & \textrm{ se } x \geq c \end{cases}

Exemplo 39 Consideremos uma moeda com probabilidade {p} de sair {\mathrm{Ca}}. Seja {Z\colon \Omega\rightarrow{\mathbb R}} dada por

\displaystyle Z(\mathrm{Ca})=1,\;Z(\mathrm{Co})=0

\displaystyle F_Z(x) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } x <0\\ 1-p & \textrm{ se } 0\leq x < 1\\ 1, & \textrm{ se } x \geq 1 \end{cases}

Estudaremos dois tipos de variáveis aleatórias:

  • variável aleatória discreta Uma v.a. {X} é discreta se assume valores em um subconjunto enumerável de {{\mathbb R}}; a função de massa de probabilidade para {X} é uma função {f\colon {\mathbb R} \rightarrow [0,1]} que atribui a cada valor da v.a. sua probabilidade, {f(a) = \mathop{\mathbb P}(X=a)}; se {X} assume valores reais {x_1,x_2,x_3,\dots,x_n,\dots} então {f(x_i)= \mathop{\mathbb P}(X=x_i)} e {f(x)=0} se {x\neq x_i}, para todo {i}.
  • variável aleatória continua Uma v.a. {X} é contínua se

    \displaystyle F_X(a) = \int_{-\infty}^a f(u)\,\mathrm{d}u\qquad (\forall a\in{\mathbb R})

    para alguma função integrável {f\colon {\mathbb R}\rightarrow [0,+\infty)} chamada função de densidade de probabilidadede {X}.

Para nós, sempre valerá que {X} tem uma função de densidade se a distribuição {F_X} é contínua e é derivável em em todo ponto da reta, exceto por um número finito deles ou exceto pelos inteiros. Uma função integrável {f\colon {\mathbb R}\rightarrow [0,+\infty)} é densidade de alguma v.a.~se, e somente se, {\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1}, pois neste caso {F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(u)\,\mathrm{d}u} satisfaz as três propriedades citadas acima que caracterizam uma função de distribuição.

Exemplo 40 Se {Z\colon \Omega\rightarrow{\mathbb R}} tem função de distribuição dada por

\displaystyle F_Z(x) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } x < a\\ \frac{x-a}{b-a}, & \textrm{ se } a\leq x < b\\ 1, & \textrm{ se } x \geq b \end{cases}

então {F_Z} é contínua e tem derivada em todo ponto, exceto {a} e {b}, a função de densidade é a derivada, i.e.

{\displaystyle f(x) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } x < a \textrm{ ou } x> b\\ \frac{1}{b-a}, & \textrm{ se } a\leq x \leq b \end{cases} }

Notemos que {f(a)} e {f(b)} é arbitrário, pois quaisquer que sejam esses valores, a integral {\int_{-\infty}^xf(u)\,\mathrm{d}u} ainda vale {F_Z(x)} (veja o exemplo 57 nesse resumo).

Exemplo 41 Defina a v.a. {Y} por

\displaystyle Y(\omega)= \min\{Z(\omega),(b-a)/2\}

em que {Z} é a v.a. do exemplo anterior. Pela definição de {Y}, {\mathop{\mathbb P}(Y\leq (b-a)/2)=1}; para {x<(b-a)/2}, {Y(\omega)\leq x} se e só se {Z(\omega)\leq x}, logo {F_Y(x)=F_Z(x)}.

Nesse caso

\displaystyle \mathop{\mathbb P}\left(Y=\frac{b-a}2\right) =F_Y\left(\frac{b-a}2\right) - F_Y\left(\frac{b-a}2-\right)= \frac {b-a}2 - \frac{b-3a}{2(b-a)}.

Se {Y} fosse uma v.a. contínua esse valor deveria ser {0} (por quê?) Se {Y} fosse discreta sua imagem deveria ser enumerável. Essa v.a. não é discreta nem contínua.

Notemos que se {X} é v.a. contínua com distribuição {F} e densidade {f} então

\displaystyle P(a\leq X \leq b) = F(b) - F(a) = \int_{-\infty}^b f(u)\,\mathrm{d}u - \int_{-\infty}^a f(u)\,\mathrm{d}u = \int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u

e {\mathop{\mathbb P}(X=a) = 0} para qualquer {a}.

Exercício 40 Seja {X} uma v.a. e {a,b\in{\mathbb R}}. Defina a v.a. {Y} por {Y(\omega)= aX(\omega)+b}, para todo {\omega\in\Omega}. Se {F} é função de distribuição de {X}, determine a função de distribuição de {Y}.

Exercício 41 Seja {g\colon {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}} uma função contínua e crescente (estritamente). A função {Y=g(X)} é uma variável aleatória?

Exercício 42 Prove que se {X} é v.a. discreta com função de massa de probabilidade {f} então {\mathop{\mathbb P}(X\leq a) = \sum_{x\leq a} f(x)}.

Exercício 43 Prove que se {a<b} e {Y} é v.a. contínua com função de densidade de probabilidade {f} então {\displaystyle \mathop{\mathbb P}(a< X < b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}.

Notemos que do exercício acima deduzimos que para {\varepsilon >0} pequeno temos

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}\left( a -\frac \varepsilon 2 < X < a+ \frac{\varepsilon }2 \right) = \int_{a -\frac \varepsilon 2}^{a+\frac{\varepsilon}2} f(x)\,\mathrm{d}x \approx \varepsilon f(a)

ou seja, {X} assume valor na vizinhança de {a} com probabilidade proporcional a {f(a)}.

Exemplo 42

Num jogo de dardos o alvo é composto de 3 círculos concêntricos de raios 1,2 e 3. Consideremos o centro desses círculos no ponto {(0,0)} do plano cartesiano

Assuma que o dardo acerte qualquer ponto dentro do círculo vermelho, i.e.,

\displaystyle \Omega = \left\{ (x,y)\colon \sqrt{x^2+y^2}<9 \right\}

e que a probabilidade de atingir qualquer ponto de uma região {A} é proporcional a área de {A},

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}(A) = \frac{\textrm{\'Area}(A)}{9\pi^2}. \ \ \ \ \ (12)

Para cada {k=1,2,3}, considere as regiões

\displaystyle A_k = \left\{(x,y)\colon k-1\leq \sqrt{x^2+y^2} <k \right\}.

Se num lançamento o jogador acerta a região {A_k} então ele marca {k} pontos. Se {X(\omega) = k} quando {\omega \in A_k} então {\mathop{\mathbb P}(X=k)=\mathop{\mathbb P}(A_k)=(2k-1)/9} e {X} tem distribuição acumulada

\displaystyle F_X(d) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } d < 1\\ \frac{\lfloor d \rfloor^2}{9}, & \textrm{ se } 1\leq d < 3\\ 1, & \textrm{ se } d \geq 3 \end{cases}

onde {\lfloor d \rfloor} é o maior inteiro menor ou igual a {d}.

Se {\omega =(x,y)\in\Omega} e {Y(\omega)= \sqrt{x^2+y^2}} é a distância do ponto atingido ao centro. Denotemos por {C_r} o disco

\displaystyle C_r = \{(x,y)\colon x^2+y^2 \leq r\}.

A função de distribuição acumulada de {Y} é {F_Y(r) = \mathop{\mathbb P}(C_r) = r^2/9} se {0\leq r \leq 3}

Agora, suponha que o jogador erre o alvo com probabilidade {p}, para algum {p>0} fixo, caso acerte então vale a equação (12). A pontuação, caso acerte, é a distância ao centro e, caso erre o alvo, é {4}. Seja {Z} a v.a. da pontuação de um lance. Então

\displaystyle  F_Z(r) = \mathop{\mathbb P}(Z\leq r ~|~\text{acertou})\mathop{\mathbb P}(\text{acertou}) + \mathop{\mathbb P}(Z\leq r ~|~\text{errou})\mathop{\mathbb P}(\text{errou})

\displaystyle F_Z(r) = \begin{cases} 0 & \text{ se } r<0,\\ (1-p)F_Y(r) & \text{ se } 0 \leq r < 4,\\ 1 & \text{ se } r \geq 4.\\ \end{cases}

Problema Num jogo de apostas, se o ganho é {x} e a perda é {y} em cada rodada, então o ganho médio é

\displaystyle x\cdot \mathop{\mathbb P}(\text{ocorrencias favoraveis}) + y\cdot\mathop{\mathbb P}(\text{ocorrencias desfavoraveis}).

Uma v.a. {U} não-negativa em função de distribuição acumulada {F} e densidade {f = F'}. Um jogo lhe é oferecido da seguinte forma: você pode escolher um número não negativo {c}, se {U> c} então você ganha a quantidade {c}, caso contrário, você não ganha nada. Como exemplo, suponha que {U} é a altura (medida em cm) da próxima pessoa entrando em uma estação ferroviária pública específica. Se você escolher {c = 100}, então você quase certamente ganha essa quantia. Um valor de {c = 200} dobraria a quantia se você ganhar, mas reduz drasticamente a sua probabilidade de ganhar.

Encontrar uma equação para caracterizar o valor de {c} que maximiza o ganho médio.

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s