bc1414 Distribuições Conjunta e Condicionada

Sobre notação: daqui em diante

escrevemos {P(X\leq k_1,~X\leq k_2,\dots,~X\leq k_j)} para denotar {P\big([X\leq k_1]\cap[X\leq k_2]\cap \cdots\cap [X\leq k_j]\big)}.

Se {X,~Y} são v.a. sobre o mesmo espaço amostral, a função de distribuição acumulada conjunta é a função que associa as reais {a,~b} o valor

\displaystyle F(a,b) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \mathop{\mathbb P}\big( X\leq a,~Y\leq b \big).

A distribuição de {X} pode ser obtida a partir de {F} do seguinte modo:

\displaystyle  F_X(a) = \mathop{\mathbb P}(X\leq a) = \mathop{\mathbb P}\big(X\leq a , ~ Y<\infty \big).

Agora, se {b_1 < b_2} então {[Y\leq b_1] \subset [Y\leq b_2]}, portanto

\displaystyle [X\leq a] \cap [Y\leq b_1] \subset [X\leq a] \cap [Y\leq b_2]

e fazendo {E_n = [X\leq a] \cap [Y\leq n]} temos uma sequência crescente de eventos logo (veja exercício 25)

\displaystyle  \lim_{n\rightarrow \infty}\mathop{\mathbb P}(E_n) = \mathop{\mathbb P}\left(\bigcup_{n\geq 0}E_n\right)

ou seja

\displaystyle  \lim_{n\rightarrow \infty} F(a,n) = \mathop{\mathbb P}\big( X\leq a , Y<\infty \big).

Em resumo,

  • {\displaystyle F_X(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} F(a,b)},
  • {\displaystyle F_Y(b) = \lim_{a\rightarrow\infty} F(a,b)},

são as distribuições marginais de {X} e {Y}, respectivamente.

Exercício 72 Mostre que

\displaystyle \mathop{\mathbb P}\big( X>a, ~ Y>b\big) = 1-F_X(a) -F_Y(b)+F(a,b).

Se {X} e {Y} são v.a. discretas então

\displaystyle  f(a,b) = \mathop{\mathbb P}\big( X=a, ~Y=b \big)

é a função de massa de probabilidade conjunta, e para tal

  • {f(a,b)\geq 0};

  • {\displaystyle \sum_a\sum_b f(a,b)=1};
  • {\displaystyle \mathop{\mathbb P}\big( (X,Y)\in A \big) = \sum_{(a,b)\in A}f(a,b)}, para qualquer conjunto enumerável {A} de pares de valores reais;

as funções de probabilidade marginais de {X} e de {Y} são, respectivamente

\displaystyle f_X(a) =\sum_b f(a,b) \quad \textrm{ e } \quad f_Y(b) =\sum_a f(a,b).

Dizemos que {X} e {Y} são v.a. conjuntamente contínuas se existe uma função de densidade de probabilidade conjunta {f} tal que

\displaystyle  F(a,b) = \int_{-\infty}^b \int_{-\infty}^a f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

e para tal {f}

  • {f(x,y)\geq 0};
  • {\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=1};
  • {\displaystyle \mathop{\mathbb P}\big( (X,Y)\in A \big) = \iint\limits_{A}f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}, para qualquer região {A} do plano;

as distribuições marginais de {X} e de {Y} são, respectivamente

  • {\displaystyle F_X(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} F(a,b) = \int_{-\infty}^a \left( \int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x},
  • {\displaystyle F_Y(b) = \lim_{a\rightarrow\infty} F(a,b) = \int_{-\infty}^b \left(\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\mathrm{d}x\right)\,\mathrm{d}y},

e as densidades marginais

\displaystyle f_X(x) =\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,\mathrm{d}y \quad \textrm{ e } \quad f_Y(y) =\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,\mathrm{d}x.

Exercício 73 Mostre que

\displaystyle f(x,y) = \frac{\partial ^2 }{\partial x\partial y}F(x,y)

quando as derivadas parciais existem.

Exemplo 93 Dois refis de caneta são selecionados ao acaso dentre 3 azuis, 2 vermelhos e 3 verdes. Sejam {X} o número de refis azuis e {Y} o número de refis vermelhos selecionados. A função de probabilidade conjunta é, para {x,y\in\{0,1,2\}} sujeito a condição {x+y\leq 2},

\displaystyle f(x,y) = \frac{\binom 3x \binom 2y \binom 3{2-x-y}} {\binom 82}

cujos valores está descrito na tabela abaixo

{x\backslash y} {0} {1} {2}
{0} {3/28} {3/14} {1/28}
{1} {9/28} {3/14} {0}
{2} {3/28} {0} {0}

A probabilidade {\mathop{\mathbb P}\big( (X,Y) \in \{ (x,y) ~|~ x+y\leq 1\} \big)} é {f(0,0)+f(0,1)+f(1,0) = 9/14}.

A probabilidade marginal de {X} é dada pela soma da linha da tabela, por exemplo,

\displaystyle f_X(0) = 3/28 + 3/14 + 1/28.

Analogamente, a probabiliadade marginal de {Y} é dada pela soma da coluna, por exemplo

\displaystyle  f_Y(1) = 3/14 +3/14 +0.

Exemplo 94 Um banco resolveu apostar num serviço de drive-thru, além do atendimento convencional. Em um dia {X} é a proporção de tempo que o drive-thru está em uso e {Y} a proporção de tempo que o caixa convencional está em uso, assim {(X,Y) \in \{(x,y) ~|~ 0\leq x\leq 1,~0\leq y \leq 1\}}. Estudos indicam que a função de densidade conjunta é

\displaystyle f(x,y) = \begin{cases} \frac 65 (x+y^2) & \textrm{ se } 0\leq x\leq 1,~0\leq y \leq 1\\ 0 & \textrm{ caso contr\'ario.} \end{cases}

A probabilidade de nenhuma das alternativas estar ocupada em mais de um quarto do tempo é { \mathop{\mathbb P} \left( 0\leq X\leq \frac 14 , ~ 0 \leq Y \leq \frac 14 \right) }

\displaystyle  = \int_0^{1/4} \int_0^{1/4} \frac 65 (x+y^2) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^{1/4} \int_0^{1/4} \frac 65 x \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + \int_0^{1/4} \int_0^{1/4} \frac 65 y^2 \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac 7{640}.

Ademais

\displaystyle f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac 65(x+y)^2\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac 65(x+y)^2\,\mathrm{d}y = \frac 65x+\frac 25

é a função de densidade de probabilidade do tempo que o drive-thru está ocupado para {x\in[0,1]}, e {f_X(x)=0} para os outros valores de {x}. Também,

\displaystyle f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac 65(x+y)^2\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \frac 65(x+y)^2\,\mathrm{d}x = \frac 65y^2+\frac 35

é a função de densidade de probabilidade do tempo que o caixa convencional está ocupado para {y\in[0,1]} e {f_Y(y)=0} para os outros valores de {y}.

Exemplo 95 Sejam {X} e {Y} as coordenadas de um ponto escolhido no círculo de raio {1} e centro na origem de um sistema de coordenadas com densidade conjunta

\displaystyle  f(x,y) = \begin{cases} \frac 1{\pi} &\text{ se } x^2+y^2\leq 1\\ 0 &\text{ se } x^2+y^2> 1\\ \end{cases}

A densidade marginal de {X} é

\displaystyle  f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\, \mathrm{d}y = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{+\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi}\, \mathrm{d}y = \frac 2{\pi} \sqrt{1-x^2} \qquad (\forall x, ~x^2 \leq 1),

e {f_X(x)=0} nos outros casos. Analogamente,

\displaystyle f_Y(y)= \frac 2{\pi}\sqrt{1-y^2} \qquad (\forall y, ~ y^2 \leq 1)

e {f_Y(y)=0} nos outros casos.

A distância do ponto escolhido para a origem é a v.a. {D=\sqrt{X^2+Y^2}} cuja distribuição é, para {a\in [0,1]}, dada por {F_D(a) = \mathop{\mathbb P}\big( \sqrt{X^2+Y^2} \leq a \big)= }

\displaystyle = \iint\limits_Af(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint\limits_A\frac 1\pi\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac 1\pi \iint\limits_A\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac 1\pi \pi a^2 = a^2, \qquad A = \{(x,y)\colon x^2+y^2 \leq a^2\}.

A função de densidade de {D} é {f_D(a)= \frac 2a} para {a\in [0,1]}, portanto

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(D) = \int_{-\infty}^{+\infty} af_D(a)\,\mathrm{d}a = \int_{0}^{1} 2a^2\,\mathrm{d}a = \frac 23.

Variáveis aleatórias independentes Dizemos que as v.a. {X} e {Y} são independentes se para quaisquer conjuntos {A} e {B} de números reais vale

\displaystyle   \mathop{\mathbb P} \big( [X\in A] \cap [Y\in B] \big) = \mathop{\mathbb P} \big( X\in A \big) \mathop{\mathbb P}\big(Y\in B \big). \ \ \ \ \ (39)

Isso equivale a dizer que para quaisquer {a,b\in{\mathbb R}}

\displaystyle   \mathop{\mathbb P} \big( [X\leq a] \cap [Y\leq b] \big) = \mathop{\mathbb P} \big( X\leq a \big) \mathop{\mathbb P}\big(Y\leq b \big). \ \ \ \ \ (40)

como estabelece o seguinte exercício.

Exercício 74 (Independência de v.a. conjuntamente distribuídas) Prove que {X} e {Y} são v.a. independentes, com distribuição conjunta {F(x,y)} se e só se

\displaystyle   F(x,y) = F_X(x) F_Y(y). \ \ \ \ \ (41)

Decorre daí que {X} e {Y} independentes é suficiente

\displaystyle f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

para quaisquer reais {x} e {y}.

Exemplo 96 Se

\displaystyle f(x,y)= \begin{cases} 24xy, & \text{ se }x\in[0,1],~y\in [0,1],~x+y\leq 1\\ 0, & \text{ caso contr\'ario.} \end{cases}

é a distribuição conjunta de {X} e {Y} então {f_X(3/4) = f_Y(3/4) = 9/{16}} e {f(3/4,3/4)=0} portanto

\displaystyle  f_X(x)f_Y(y) \neq f(x,y)

ou seja, embora {f(x,y) = g(x)h(y)} as funções {g} e {h} não podem ser feitas distribuições marginais.

Exercício 75 Prove que se {f(x,y) = g(x)h(y)} para todo {x\in {\mathbb R}} e todo {y\in R} (no exemplo acima isso não vale pois as variáveis são relacionadas na região onde {f} é não-nula) então {X} e {Y} são independentes.

Exemplo 97 (O problema da agulha de Buffon) Suponha que temos um piso feito de tábuas paralelas de madeira, cada uma da mesma largura {t\,\mathrm{cm}}, e nós deixamos cair uma agulha de comprimento {\ell \,\mathrm{cm}} no chão, {\ell < t}. Qual é a probabilidade de que a agulha irá cruzar a divisória onde duas tábuas se encontram?

Seja {\theta\in [0,\pi/2]} o ângulo (agudo) com que a agulha cai em relação à vertical que passa pela centro da agulha. Seja {r\in [0,t/2]} a distância do centro da agulha até a divisória entre tábuas mais próxima. Assumimos que {r} e {\theta} são variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas.

Se {r < \frac {\ell}2 \sin(\theta)} então a agulha cruzou uma das divisórias e a probabilidade desse evento é

\displaystyle  \mathop{\mathbb P} \left(r < \frac {\ell}2 \sin(\theta) \right) = \iint\limits_{\big\{(x,y)\colon x< \frac {\ell}2 \sin (y)\big\}} f_r(x)f_\theta(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=

\displaystyle  = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\frac {\ell}2 \sin (y)} \frac 2\pi \frac 2t \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac 4{\pi t} \int_{0}^{\pi/2} \frac {\ell}2 \sin (y)\,\mathrm{d}y = \frac 4{\pi t} \frac {\ell}2 \int_{0}^{\pi/2} \frac {\ell}2 \sin (y)\,\mathrm{d}y =\frac{2{\ell}}{\pi t}.

Veja aqui uma simulação usada para determinar o valor aproximado de {\pi}.

Usando R:

podemos estimar $\pi$ com a função

estPi<- function(n, l=1, t=2) {
 m <- 0
 for (i in 1:n) {
 x <- runif(1)
 theta <- runif(1, min=0, max=pi/2)
 if (x < l/2 * sin(theta)) {
 m <- m +1
 }
 }
 return(2*l*n/(t*m))
}

e vizualizar uma simulação com

L=0.35 #meia agulha
D=20   #tamanho do quadro
N=10^3 #numero de lancamentos


#N pontos (R,T) 
R=runif(N,min=L,max=D-L)   #posicao vertical centro
C=cbind(runif(N,0,D),R)	   #coordenadas (x,y) do centro no plano
T=runif(N,min=0,max=pi)    #angulo anti-horario

#extremos das agulhas
A=C+L*cbind(cos(T),sin(T)) 
B=C-L*cbind(cos(T),sin(T)) 

#numero de cruzamentos
numbhits=function(A,B){
 sum(abs(trunc(A[,2])-trunc(B[,2]))>0)}

plot(C,type="n",axes=F,xlim=c(0,D),ylim=c(0,D))

#linhas do piso
for (i in 1:(D-1))
 abline(h=i,lty=2,col="sienna")

#desenho das agulhas
for (t in 1:N)
 lines(c(A[t,1],B[t,1]),c(A[t,2],B[t,2]),col="steelblue")

title(main=paste(numbhits(A,B),"cruzamentos",sep=" "))

Observação 5 Esses conceitos desenvolvidos até aqui podem ser estendidos, de modo natural, ao caso de 3 ou mais v.a..

Exemplo 98 Sejam {X, ~Y,~Z} v.a. independentes e uniformemente distribuídas sobre {[0,1]}. Então

\displaystyle \mathop{\mathbb P}( X \geq YZ) = \iiint\limits_{\big\{(x,y,z)\colon x\geq yz\big\}} f_{X,Y,Z}(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

\displaystyle = \int_0^1 \int_0^1 \int_{yz}^1 \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\int_0^1 \int_0^1 (1-yz) \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \int_0^1 \left(1-\frac z2\right)\,\mathrm{d}z = \frac 34.

Exercício 76 Mostre que se {X} e {Y} são v.a. independentes então

\displaystyle F_{X+Y}(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} F_X(a-y)f_Y(y)dy \quad\;\textrm{ e }\quad\; f_{X+Y}(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(a-y)f_Y(y)dy .

Se {X} e {Y} têm distribuição conjunta {f(x,y)} e {h} é uma função a duas variáveis reais, então o valor médio de {h(X,Y)} é

\displaystyle  \mathop{\mathbb E}(h(X,Y)) = \begin{cases} \displaystyle \sum_x\sum_y h(x,y)f(x,y) \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} h(x,y)f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{cases}

nos casos discreto e contínuo, respectivamente.

Exercício 77 O que é {\mathop{\mathbb E}(h(X,Y))} no caso {h(X,Y)=X}?

Notemos que se {X} e {Y} são independentes então {\mathop{\mathbb E}\big(g(X)h(Y)\big) = \mathop{\mathbb E}\big(g(X)\big)\mathop{\mathbb E}\big(h(Y)\big)}, pra quaisquer funções {g,~h}. De fato

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathop{\mathbb E}\big(g(X)h(Y)\big) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)h(y)f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)h(y)f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f_X(x)\,\mathrm{d}x \int_{-\infty}^{+\infty} h(y)f_Y(y)\,\mathrm{d}y \\ &=&\mathop{\mathbb E}\big(g(X)\big)\mathop{\mathbb E}\big(h(Y)\big). \end{array}

Dedução análoga vale para distribuição conjunta discreta. Em particular, se {X} e {Y} são independentes então

\displaystyle   \mathop{\mathbb E}(XY)=\mathop{\mathbb E}(X)\mathop{\mathbb E}(Y). \ \ \ \ \ (42)

Exercício 78 Ache exemplos de v.a. que satisfazem (42) mas que não são independentes.

— Covariância —

A covariância entre as variáveis {X}, {Y} é definida por

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathrm{Cov}(X,Y) &\stackrel{\text{\tiny def}}{=}& \mathop{\mathbb E}\big( (X-\mathop{\mathbb E}(X))(Y-\mathop{\mathbb E}(Y))\big)\\ &=& \mathop{\mathbb E}(XY)-\mathop{\mathbb E}(X)\mathop{\mathbb E}(Y). \end{array}

a segunda igualdade segue por linearidade da esperança.

Quando {X} e {Y} são independentes, por (42), temos {\mathrm{Cov}(X,Y) = 0}. A recíproca não é verdadeira, se {\mathrm{Cov}(X,Y) = 0} não necessariamente as v.a. são independentes, pode significar que as v.a. são de alguma forma relacionadas.

Exemplo 99 Se {X} assume cada um dos valores {-1}, {0} e {1} com probabilidade {1/3} e {Y} é a variável indicadora do evento {X=0}, então {\mathrm{Cov}(X,Y)=0} (verifique), entretanto não são variáveis independentes (verifique).

Exemplo 100 Sejam {I_A} e {I_B} v.a. indicadoras de ocorrência dos eventos {A} e {B}, respectivamente

\displaystyle \mathrm{Cov}(I_A,I_B) = \mathop{\mathbb P}\big( I_A\cap I_B \big) - \mathop{\mathbb P}\big(I_A\big)\mathop{\mathbb P}\big(I_B\big) = \mathop{\mathbb P}\big( A\cap B \big) - \mathop{\mathbb P}\big(A\big)\mathop{\mathbb P}\big(B\big) = \mathop{\mathbb P}(B)\big( \mathop{\mathbb P}\big(A~|~B ) - \mathop{\mathbb P}\big(A\big)\big)

portanto, {\mathrm{Cov}(I_A,I_B) >0} se e só se {\mathop{\mathbb P}\big( A~|~B \big) > \mathop{\mathbb P}(A)}, ou seja, o evento {B} faz ser mais provável {A} (e vice-versa).

A covariância satisfaz as seguintes propriedades, cuja verificação fica como exercício.

  1. {\mathrm{Cov}(X,X) = \mathrm{Var}(X)};
  2. {\mathrm{Cov}(X,Y) = \mathrm{Cov}(Y,X)};
  3. {\mathrm{Cov}(cX,Y) = c\mathrm{Cov}(X,Y)} para qualquer constante {c};
  4. {\displaystyle \mathrm{Cov}(\sum_{i=1}^nX_i,\sum_{j=1}^m Y_j)= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)}.

Exercício 79 Prove as propriedades.

Exercício 80 Prove que {\mathrm{Cov}(X,Y) = \pm \mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)} se e só se {Y=aX+b} para {a\neq 0} e {b} reais.

Das propriedades acima, conseguimos deduzir que

\displaystyle \mathrm{Var} \left( \sum_{i=1}^nX_i \right) = \mathrm{Cov}\left(\sum_{i=1}^nX_i , \sum_{i=j}^nX_j \right) = \sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i) +\sum_{i=1}^n\sum_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n \mathrm{Cov}(X_i,X_j).

Por conseguinte, se a soma é de v.a. independentes então

\displaystyle \mathrm{Var} \left( \sum_{i=1}^nX_i \right) = \sum_{i=1}^n \mathrm{Var} \left( X_i \right).

Exercício 81 Use a identidade acima para obter a variância de {X\sim \mathrm{Binomial}(n,p)}.

— Distribuição e esperança condicionais —

Se {X} e {Y} são v.a. discretas e {x\in{\mathbb R}} é tal que e {f_X(x) > 0} então a distribuição condicional de {Y} dado {X=x} é a função em {y\in{\mathbb R}} dada por

\displaystyle   F(y~|x) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \mathop{\mathbb P}(Y\leq y ~|~X=x) \ \ \ \ \ (43)

a função (de massa/de densidade) de probabilidade condicional de {Y} dado que {X=x} é

\displaystyle  f(y~|x) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \frac{f(x,y)}{f_X(x)}.

Notemos que no caso discreto

\displaystyle \mathop{\mathbb P} \big( Y=y ~|~ X=x \big) = \frac{\mathop{\mathbb P} \big( Y=y, ~X=x \big)}{\mathop{\mathbb P}(X=x)} = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}

para qualquer valor real {y}. A última fração é uma função de {y}, com {x} fixo e satisfaz as condições de função de massa de probabilidade.

Notemos também que, caso as v.a. sejam independentes vale {f(y~|x) = f_Y(y)} e vice-versa, i.e., a igualdade implica independência.

Considerações análogas levam à definição de {f(x~|y)}. Naturalmente,

\displaystyle  \mathop{\mathbb E} \big( Y~|~X=x \big) = \begin{cases} \displaystyle\sum_y y f(y~|x) & \textrm{ no caso discreto}\\ \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} y f(y~|x)\,\mathrm{d} y & \textrm{ no caso cont\'inuo.} \end{cases} \ \ \ \ \ (44)

Notemos que quando as v.a. são independentes {\mathop{\mathbb E} \big( Y~|~X=x \big) = \mathop{\mathbb E}(Y)} (verifique).

Se {\mu(x) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \mathop{\mathbb E} \big( Y~|~X=x \big)} então {\mu(X)} é a esperança condicional de {Y} dado {X}, denotada

\displaystyle \mathop{\mathbb E} \big( Y~|~X \big)

que embora sugira uma média é, de fato, uma variável aleatória, a qual tem a seguinte propriedade

Exercício 82 {\displaystyle \mathop{\mathbb E} \Big( \mathop{\mathbb E} \big( Y~|~X\big) \Big) = \mathop{\mathbb E}(Y).}

Logo

\displaystyle  \mathop{\mathbb E} \big( Y \big) = \begin{cases} \displaystyle\sum_x \mathop{\mathbb E}(Y~|~X=x)\mathop{\mathbb P}(X=x) & \textrm{ no caso discreto}\\ \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathop{\mathbb E}(Y~|~X=x) f_X(x)\,\mathrm{d} x & \textrm{ no caso cont\'inuo.} \end{cases} \ \ \ \ \ (45)

Exemplo 101 De volta ao exemplo 94, a distribuição de {Y} condicionada a {X=8} é

\displaystyle  f(y~|~0,8) = \frac{f(0,8,y)}{f_X(0,8)} = \frac{1,2(0,8+y^2)}{1,2\cdot 0,8 +0,4}, \quad \forall y\in (0,1)

A probabilidade do caixa convencional estar ocupado metade do tempo, dado que {X=8}, é

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}(Y\leq 0,5~|~X=8) = \int_{-\infty}^{0,5} f(y~|~0,8)\,\mathrm{d}y = 0,39.

Usando a distribuição marginal temos que {\mathop{\mathbb P}(Y\leq 0,5)=0,35}. Ademais {\mathop{\mathbb E}(Y)= 6} e

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(Y~|~X=8) = \int_{-\infty}^{+\infty} y f(y~|~0,8)\,\mathrm{d}y = 0,574.

Exemplo 102 Sejam {X,~Y\sim\mathrm{Binomial}(n,p)} independentes. Então

\displaystyle \mathop{\mathbb P} (X+Y = m) = \sum_{i=0}^n \mathop{\mathbb P}(X=i,~Y=m-i) = \sum_{i=0}^n \mathop{\mathbb P}(X=i)\mathop{\mathbb P}(Y=m-i)

\displaystyle = \sum_{i=0}^n \binom ni \binom n{m-i} p^m(1-p)^{n-m+n} = \binom {2n}m p^m(1-p)^{2n-m}

pois {\binom {a+b}k = \sum_{i=0}^n \binom ai \binom b{k-i}}. Desse fato temos

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathop{\mathbb P}(X=k~|~X+Y=m) &=& \frac{\mathop{\mathbb P}(X=k \,,\, X+Y=m)}{ \mathop{\mathbb P}(X+Y=m)}\\ \displaystyle&=& \frac{\mathop{\mathbb P}(X=k \,,\, Y=m-k)}{ \mathop{\mathbb P}(X+Y=m)}\\ \displaystyle&=& \frac{\mathop{\mathbb P}(X=k)\mathop{\mathbb P}(Y=m-k)}{ \mathop{\mathbb P}(X+Y=m)}\\ \displaystyle&=& \frac{\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\binom n{m-k}p^{m-k}(1-p)^{n-m+k}} {\binom{2n}m p^m(1-p)^{2n-m}} \\ &=& \frac{\binom nk\binom n{m-k}}{\binom{2n}m} \end{array}

ou seja, {X} condicionada a {X+Y=m} tem distribuição hipergeométrica com parâmetros {2n,n,m}, logo

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X ~|~X+Y=m) = \frac m2.

Exemplo 103 (Esperança de v.a. geométrica) Seja {X} o número de lançamentos de uma moeda até sair cara, o que ocorre com probabilidade {p}, seja {Y} a v.a. indicadora de “cara no primeiro lançamento”. Assim,

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X) = \mathop{\mathbb E}(\mathop{\mathbb E}(X|Y)) = \mathop{\mathbb E}(X~|~Y=0)(1-p) +\mathop{\mathbb E}(X~|~Y=1)p

mas {\mathop{\mathbb E}(X~|~Y=1) =1} e~{\mathop{\mathbb E}(X~|~Y=0) = \mathop{\mathbb E}(X+1)}, portanto

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X) = \mathop{\mathbb E}(X)(1-p) + (1-p) + p

que resolvendo para {\mathop{\mathbb E}(X)} resulta em {\mathop{\mathbb E}(X)=1/p}, como já sabíamos. Do mesmo modo, temos

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X^2) = \mathop{\mathbb E}(X^2~|~Y=0)(1-p) +\mathop{\mathbb E}(X^2~|~Y=1)p = \mathop{\mathbb E}(X+1)^2(1-p) +p

que resolvendo para {\mathop{\mathbb E}(X^2) } resulta em

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X^2) = \frac{2-p}p^2

e com isso

\displaystyle \mathrm{Var}(X) = \mathop{\mathbb E}(X^2) -\mathop{\mathbb E}(X)^2= \frac{2-p}p^2 - \frac 1p^2 = \frac{1-p}p^2.

Exemplo 104 (Soma de v.a. com número aleatório de termos) Num determinado dia do cotidiano de uma loja {N} pessoas entram na loja, com {\mathop{\mathbb E}(N)=50}, e o gasto dessa pessoas são dados pelas v.a. independentes {X_1,X_2,\dots,X_N} com {\mathop{\mathbb E}(X_i)=\mu =80} reais, para todo {i}, e independentes de {N}.

A quantia gasta num determinado dia é {X = \sum_{i=1}^N X_i} cuja média é

\displaystyle  \mathop{\mathbb E} \left( X \right) = \mathop{\mathbb E} \big( \mathop{\mathbb E}(X~|~N) \big) =\mathop{\mathbb E} \left( \mathop{\mathbb E}\left( \sum_{i=1}^N X_i~\Bigg|~N\right) \right)

Agora,

\displaystyle  \mathop{\mathbb E}\left( \sum_{i=1}^n X_i~\Bigg|~N=n \right) = \mathop{\mathbb E}\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) =n\mu

por causa da independência, por fim

\displaystyle \mathop{\mathbb E}\left( \mathop{\mathbb E}\left( \sum_{i=1}^N X_i ~\Bigg|~N \right) \right) = \mathop{\mathbb E}\big( N\mu \big) = \mathop{\mathbb E}(N)\mu = 4.000

reais.

Exercício 83 Considere o espaço amostral das sequências definidas pelas permutações de {\{1,2,3\}}

\displaystyle  \Omega = \{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)\}.

Seja {X_i(\omega)} a {i}-ésima coordenada de {\omega}, para {i=1,2,3}. Defina {N} a variável aleatória igual a {X_2}. Prove que

  • para todo {i,j\in\{1,2,3\}}, vale {\mathop{\mathbb P} (X_i=j)=1/3};
  • as variáveis {X_i} não são independentes;
  • {\displaystyle\sum_{i=1}^{\mathop{\mathbb E} N}\mathop{\mathbb E} X_i = 4} e conclua que

    \displaystyle  \mathop{\mathbb E} \left(\sum_{i=1}^{ N} X_i \right) \neq \sum_{i=1}^{\mathop{\mathbb E} N}\mathop{\mathbb E} X_i.

Exemplo 105 Sejam {U_1,U_2,\dots} v.a. com distribuição {\mathrm{Uniforme}((0,1))} independentes e {m(x)} o valor esperado para {N(x)} que é o menor {n} para o qual {U_1+\cdots +U_n >x}. Certamente,

\displaystyle \mathop{\mathbb E}\big( N(x)~|~U_1=y\big) = \begin{cases} 1, &\textrm{ se } y>x\\ 1+ m(x-y), &\textrm{ se } y\leq x. \end{cases}

Portanto,

\displaystyle m(x) = \int_0^1 \mathop{\mathbb E}(N(x)~|~U_1=y)\,\mathrm{d}y = 1+ \int_0^x m(x-y)\,\mathrm{d}y = 1 + \int_0^x m(u)\,\mathrm{d}u.

Derivando os extremos dessa cadeia de igualdades obtemos {m'(x) = m(x)}, ou seja, {m(x) = a\mathrm{e}^x} para alguma constante real {a} e como {m(0)=1} temos

\displaystyle m(x) = \mathrm{e}^x

é o número esperado de termos para que a soma de v.a. uniformes em {(0,1)} ultrapasse o valor {x}.

Exercício 84 Mostre que para constantes {a,b\in{\mathbb R}}

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(aX+bY~|~Z) = a\mathop{\mathbb E}(X~|~Z)+ b\mathop{\mathbb E}(Y~|~Z).

Exercício 85 Mostre que {\mu(X) = \mathop{\mathbb E}(Y~|~X)} satisfaz

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(\mu(X)g(X)) = \mathop{\mathbb E}(Yg(X))

para qualquer função {g} pra qual as esperanças acima existam.

Exercício 86 Uma galinha bota {N} ovos, em que {N\sim \mathrm{Poisson}(\lambda)}. Cada ovo vinga com probabilidade {p} e independente dos outros ovos. Calcule {\mathop{\mathbb E}(N~|~K)}, {\mathop{\mathbb E}(K)} e {\mathop{\mathbb E}(K~|~N)}, em que {K} é o número de pintinhos.

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