AFF-1 Caracteres de grupos abelianos finitos

Usaremos as notações {+} e {\cdot} para denotar operações em um grupo (aditivo e multiplicativo, respectivamente) e denotamos os elementos neutros dessas operações nesses grupos por {0} e {1}, os inversos de {a} por {-a} e {a^{-1}}, respectivamente. Usaremos, preferencialmente, a notação aditiva nos casos abstratos. Sejam {G} um grupo abeliano finito e {\mathbb{T} := \{z\in{\mathbb C}\colon |z|=1\}} (que é um grupo — circle group — abeliano com a operação {\cdot} dos complexos) e consideremos as funções {f\colon G \rightarrow \mathbb{T}} tais que

\displaystyle  f(a+b) = f(a)\cdot f(b)

e f(0)=1 i.e., os homomorfismos de {G} em {\mathbb{T}}. Notemos que para todo {a\in G} vale

\displaystyle  f(Na) = f(a+\cdots+a) = f(a) \cdot \cdots \cdot f(a) = {f(a)}^N

ademais {Na=0} (consequência do Teorema de Lagrange) e {f(0)=1}, logo, {f(a)^N=1}.

Raízes da unidade. Um número complexo {z} é uma {N}-ésima raiz da unidade se {z^N=1}. Se escrevemos na forma polar {z=r\mathrm{e}^{i\theta}} então de {z^N=1} temos {r^N\mathrm{e}^{i\theta N}=1} e tomando módulo concluímos que {r=1}, portanto {\mathrm{e}^{i\theta N}=1}, logo {\theta N = 2\pi k} para {k\in {\mathbb Z}}. Fazendo {\omega_N:= \mathrm{e}^{2\pi i/N}} temos que {\omega_N^k} são todas as raízes; ademais se {N} divide {n-m} então {\omega_N^{n-m} =1} portanto {\omega_N^{n}=\omega_N^{m}}. A recíproca também vale, ou seja

\displaystyle  \omega_N^{n}=\omega_N^{m} \text{ se e somente se } n \equiv m \pmod N.

O conjunto das {N}-ésimas raízes é

\displaystyle  \Big\{ 1, \mathrm{e}^{2\pi i/N}, \mathrm{e}^{2\pi i 2/N}, \dots, \mathrm{e} ^{2\pi i(N-1)/N}\Big\}

que munido do produto de números complexos define um grupo abeliano, isomorfo ao {{\mathbb Z}_N}, grupo das classes de restos dos inteiros módulo {N}, identificado com {\{0,1,\dots,N-1\}}. raiz_unidade

O conjunto de todos os homomorfismos de {G} em {\mathbb{T}} com o produto

\displaystyle  f\cdot g(a) := f(a)\cdot g(a) \ \ \ \ \ (1)

é um grupo abeliano com a identidade

\displaystyle  \mathbf{1}(a) = 1 \qquad (\forall a\in G)

e inverso de {f} dada por

\displaystyle  { f }^{-1}(a):= {f(-a)}.

Esse grupo é denotado por {\widehat{G}}, chamado grupo dos caracteres de {G}.

Caracteres de um grupo. Um caracter de um grupo abeliano {G} é um homomorfismo {\chi} de {G} no grupo multiplicativo dos complexos. O caracter {\chi_0 (a)=1} ({\forall a\in G}) é chamado de principal. O conjunto do caracteres com a multiplicação definida acima, em (1), forma um grupo abeliano, denotado {\widehat{G}}, chamado grupo dos caracteres ou grupo dual (ou ainda, dual de Pontryagin).

Teorema 1 Se {G} e {H} são ismomorfos, então {\widehat{G}} e {\widehat{H}} também o são.

Demonstracao: Somente um esboço: se {h\colon G\rightarrow H} é um isomorfismo então para todo caracter {\chi_H} de {H} a composição { \tilde h :=\chi_H \circ h} é um caracter de {G}. Reciprocamente, {\chi_G \circ g} é um caracter de {H} se {g} é o homomorfismo inverso de {h}. Logo {\tilde{h} \colon \widehat{H} \rightarrow \widehat{G}} é sobrejetiva e é homomorfismo: {\tilde{h}(\chi_H\cdot \xi_H) = (\chi_H\cdot \xi_H)\circ h= (\chi_H\circ h)\cdot (\xi_H\circ h)= \tilde{h}(\chi_H)\cdot \tilde{h}(\xi_H)}. Ainda, se {\tilde{h}(\chi_H) = {\chi_0}_G} então {\chi_H\circ h = \mathbf{1}}, logo o kernel é {\{{\chi_0}_H\}}. \Box

Agora, definimos o produto tensorial dos caracteres {\chi_G} de {G} e {\chi_H} de {H} por

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \chi_G\otimes\chi_H \colon G\times H &\rightarrow& \mathbb{T} \\ (g,h) &\mapsto& \chi_G(g)\chi_H(h) . \end{array}

Teorema 2 Todo caracter do produto direto {G\times H} é da forma {\chi_G\otimes \chi_H }.

Demonstração: Por definição {\chi_G\otimes \chi_H } é um caracter de {G\times H}. Precisamos mostrar que se {\chi} é um caracter de {G\times H} então {\chi = \chi_G\otimes \chi_H } para algum {\chi_G} e algum {\chi_H }, caracteres de {G} e {H} respectivamente. Tomemos

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \iota_G \colon G &\rightarrow& G\times H \\ g &\mapsto& (g,1) \end{array}

de modo que {\chi_G :=\chi \circ \iota_G} é um caracter de {G}. Analogamente, {\iota_H(h):= (1,h)} e {\chi_H :=\chi \circ \iota_H} é um caracter de {H}. Ainda,

\displaystyle  \chi_G \otimes \chi_H (g,h) =  \chi_G(g) \cdot \chi_H (h) =  \chi\circ\iota_G(g) \cdot \chi\circ\iota_H (h) =  \chi(g,1) \cdot \chi(1,h) =  \chi(g,h). \Box

Além disso, caso esteja definido para {G}

\displaystyle  N:= \mathrm{min}\{ k \colon g^k =1 \text{ para todo }g\in G\}

então qualquer caracter tem imagem nas {N}-ésimas raízes da unidade e

\displaystyle  \overline{\chi(g)} = \frac 1{\chi(g)}= \chi^{-1}(g) = \chi(-g).

em que {\overline z} denota o conjugado complexo, é o inverso de {\chi} no grupo dos caracteres.

Exemplo 1 (Caracteres do {{\mathbb Z}_N}) Se {\chi\colon {\mathbb Z}_N \rightarrow \mathbb{T}} é um caracter, então {\chi(1)} é uma raiz da unidade {\omega_N^j} para algum {j\in \{0, \dots, n-1\}}. Logo

\displaystyle  \chi(a)= \chi(1+1+\cdots+1)= \omega_N^{j}\cdot \omega_N^{j}\cdots \omega_N^{j} = \omega_N^{ja}

portanto

\displaystyle  \widehat{{\mathbb Z}_N} = \big\{ \chi_j(a) := \omega_N^{ja} \;\colon\;  j \in\{0,1,\dots,N-1\}\big\} \cong {\mathbb Z}_N. \ \ \ \ \ (2)


Usualmente, escrevemos {e_j(a)} para os caracters do {{\mathbb Z}_N},

\displaystyle  e_j(a) := \chi_j(a) = \exp \left(\frac{2\pi ija}{N}\right). \ \ \ \ \ (3)

No caso de grupos abelianos finitos o exemplo acima é fundamental no seguinte sentido. Como corolário do teorema 2

\displaystyle  \widehat{G\times H} \cong \widehat{G}\times \widehat{H}

Teorema fundamental dos grupos abelianos finitos
Se {G} é um grupo abeliano finito então {G} é isomorfo a um produto direto de um número finito de grupos cíclicos, isto é, existem inteiros positivos {n_1,n_2,\dots ,n_k} tais que {G\cong {\mathbb Z}_{n_1}\times{\mathbb Z}_{n_2}\times \cdots \times{\mathbb Z}_{n_k}.}

Corolário 3 Se {G} é um grupo abeliano finito então {G\cong \widehat{G}} e { \widehat{G} \cong \widehat{\mathbb Z}_{n_1}\times\widehat{\mathbb Z}_{n_2}\times \cdots \times\widehat{\mathbb Z}_{n_k}.}

Exemplo 2 (Caracteres de {{\mathbb Z}_{n_1}\times {\mathbb Z}_{n_2} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{n_k}}) Sejam {G:= {\mathbb Z}_{n_1}\times{\mathbb Z}_{n_2}\times \cdots \times{\mathbb Z}_{n_k}} e {\chi} um caracter de {G}. Então

\displaystyle  \chi = \chi_{m_1}\otimes \chi_{m_2} \otimes \cdots \otimes \chi_{m_k}

para {\chi_{m_i}\in \widehat{\mathbb Z}_{n_i}}. Tomemos {m=(m_1,m_2,\dots,m_k)\in {\mathbb Z}_{n_1}\times{\mathbb Z}_{n_2}\times \cdots \times{\mathbb Z}_{n_k}} e se {a=(a_1,\dots,a_k)} então os caracteres são {\chi_m}, {m\in G},

\displaystyle  \chi_m(a) := \chi(a) = \chi_{m_1}\otimes \chi_{m_2} \otimes \cdots \otimes \chi_{m_k}(a) = \chi_{m_1}(a_1) \chi_{m_2}(a_2) \cdots \chi_{m_k}(a_k)= \mathrm{exp}\left(2i\pi \left(\frac{x_1a_1}{m_1}+\frac{x_2a_2}{m_2}+\cdots+\frac{x_ka_k}{m_k}\right)\right)

para todo {a\in G} e vale que

\displaystyle  \chi_m(a) = \chi_a(m) \quad \text{ e } \quad \overline{\chi_m(a)} = \chi_m(-a) = \chi_{-a}(m) .

Exemplo 3 (Caracteres de {{\mathbb Z}_{N}^k}) É imediato do exemplo anterior que os caracteres {\chi_j} de {{\mathbb Z}_N^k} são, para cada {j=(j_1,\dots,j_k)\in {\mathbb Z}_N^k}, dados por

\displaystyle  \chi_j(a) := \prod_{i=1}^N \mathrm{e}^{ \frac{2\pi i}N a_ij_i }\text{ para todo } a\in {\mathbb Z}_N^k

Exercício 1 Seja {G} um grupo cíclico de ordem {n}. Fixe um gerador {g} de {G}. Mostre que os caracteres de {G} são

\displaystyle  \widehat{G}=\big\{ \chi_j(g^k):=\mathrm{e}^{ 2\pi i jk/n} \colon k\in {\mathbb Z},  ~j\in \{0,1,\dots,n-1\}\big\}

portanto, {\widehat{G}} também é cíclico de ordem {n}.

— Subgrupos — Exercícios —

Exercício 2 Seja {H} um subgrupo próprio de {G} e seja {\phi} um caracter de {H}. Mostre que {\phi} pode ser estendido para um caracter de {G}. (Sugestão: tome um elemento {a\not\in H} de {G} e mostre que existe um (menor) inteiro positivo {m} tal que {ma\in H}. Conclua que todo elemento do subgrupo {H'} gerado por {H\cup\{a\}} é escrito da forma {ja+H} de modo único, para {0\leq  j < m}. Defina {\phi'(ja+h)=z^j\phi(h)} onde {z\in {\mathbb C}} é tal que {z^m=\phi(ma)}, e mostre que essa função é um caracter de {H'}.)

Exercício 3 Seja {H} um subgrupo de {G} e defina o subgrupo (verifique) de {\widehat{G}}

\displaystyle  H^\perp := \{\chi \in \widehat{G} \colon \chi(h)=1, \;\forall h\in H\}  \ \ \ \ \ (3)

(a) Mostre que { H^\perp = \widehat{G}\cap \left\{ f\in {\mathbb C}^G\:f(x+h)=f(x), \;\forall x\in G,\; \forall h\in H \right\}. } (b) Mostre que {H^\perp \cong \widehat{G/H}.} (c) Mostre que {\widehat H \cong \widehat{G}/\widehat{H^\perp}.} (d) Mostre que {\widehat G \cong \widehat{H} \otimes \widehat{H^\perp}.}

Exercício 4 Use os exercícios acima para mostrar que dados {g_1,g_2 \in G}, existe um caracter {\chi} de {G} tal que {\chi(g_1)\neq \chi(g_2)}.

— Bases de {{\mathbb C}^G}

O conjunto das funções {{\mathbb C}^G} é um espaço vetorial sobre {{\mathbb C}} de dimensão {N=|G|}. Fixada alguma enumeração {g\colon G \rightarrow [N]} dos elementos de {G} podemos escrever um isomorfismo entre {{\mathbb C}^G} e o espaço vetorial {{\mathbb C}^N}

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  I\colon {\mathbb C}^G &\rightarrow{\mathbb C}^N \\ f &\mapsto&\big(f(g_0),f(g_1),\dots,f(g_{N-1})\big). \end{array}

Uma base, que chamaremos de canônica, para {{\mathbb C}^G} é {\{\delta_g \colon g\in G\}} onde {\delta_g \in {\mathbb C}^G} é definida por

\displaystyle  \delta_g(a) :=  \begin{cases} 1, & \mathrm{\;se\;}a=g\\ 0, & \mathrm{\;caso\;contr\acute{a}rio} \end{cases} \ \ \ \ \ (5)

para todo {a\in G}. Toda {f\in {\mathbb C}^G} pode ser expressa da forma

\displaystyle  f(x)= \sum_{a\in G} f(a) \delta_a(x) \ \ \ \ \ (6)

Lema 4 Sejam {\chi}, {\xi}, {\varphi} caracteres de {G} com {\chi\neq\chi_0}. Sejam {a}, {b}, {c} elementos de {G} com {a\neq 0}. Então

  1. {\displaystyle \sum_{g\in G}\chi(g)=0.}
  2. {\displaystyle \sum_{g\in G}\xi(g)\overline{\varphi(g)}= \begin{cases} 0, &\text{ se } \xi\neq\varphi\\ N, &\mathrm{\;caso\;contr\acute{a}rio.} \end{cases} }
  3. {\displaystyle \sum_{\xi \in \widehat{G}}\xi (a)=0.}
  4. {\displaystyle \sum_{\xi \in \widehat{G}} \xi(b) \overline{\xi(c)} = \begin{cases} 0, &\text{ se } b\neq c\\ N, &\mathrm{\;caso\;contr\acute{a}rio.}  \end{cases} }

Demonstração: Para o item (1), seja {b\in G} tal que {\chi(b)\neq 1}. Então

\displaystyle \chi(b) \sum_{g\in G}\chi(g)= \sum_{g\in G}\chi(b+g)=\sum_{g\in G}\chi(g)

donde segue o resultado. Para o item (2) basta tomar {\chi=\xi \cdot \overline{\varphi}} no item anterior. Para os outros itens, notemos que existe um isomorfismo canônico {G \cong \widehat{\widehat{G}}}, dado por {a\in G \mapsto \tilde{a}\in \widehat{\widehat{G}}} definido por {\tilde{a}(\chi)=\chi(a)}. Assim, os itens (3) e (4) seguem dos itens (1) e (2) formulados para o grupo {\widehat{G}}. \Box

Com isso, {{\mathbb C}^G} munido com o produto interno

\displaystyle   \langle f, g \rangle_{G} := \frac 1N \sum_{a\in G} f(a) \overline{g(a)} \ \ \ \ \ (7)

implica em que o conjunto dos caracteres de {G} é um conjunto ortonormal; ademais do item {(4)} no lema acima

\displaystyle  \delta_a(x) = \frac 1N \sum_{\xi \in \hat G}\overline{\xi(a)}{\xi(x)}

portanto, substituindo em (6)

\begin{array}{rcl}  f(x)&=& \displaystyle \sum_{a\in G} \sum_{\xi \in \hat G}  \frac 1N f(a) \overline{\xi(a)}{\xi(x)} \\ &=& \displaystyle\sum_{\xi \in \hat G} \frac 1N \sum_{a\in G}  f(a) \overline{\xi(a)}{\xi(x)} \\&=& \displaystyle\sum_{\xi \in \hat G}  \langle f ,\xi \rangle_G {\xi(x)}  \end{array}

portanto o conjunto de caracteres gera {{\mathbb C}^G}. De fato, é uma base ortonormal de {{\mathbb C}^G}. Uma propriedade dessa base é que ela diagonaliza os operadores “translação”: para todo {a\in G}, considere a transformação linear {T_a\colon{\mathbb C}^G \rightarrow {\mathbb C}^G} com {T_a\,f} definido por

\displaystyle   T_a\,f(x):=f(x-a). \ \ \ \ \ (8)

Notemos que {T_a\circ T_b = T_{a+b}} e que {{T_a}^{-1} = T_{-a}}. Se {\chi} é um caracter de {G} e {a\in G}, então para todo {x}

\displaystyle  T_a\,\chi (x) = \chi(x-a) = \chi(x)\chi(-a) = \overline{\chi(a)} \chi(x)

portanto {\chi} é um autovetor de {T_a} associado ao autovalor {\overline{\chi(a)}}.

Exercício 8 Agora, suponha que {f\in {\mathbb C}^G} não identicamente nula é tal que {T_a\,f = \lambda(a)f} para todo {a\in G}. Prove que {\lambda(a) } é um caracter de {G} e {f} é um múltiplo de {\overline \lambda}.

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