bc1414 – Função geradora de probabilidade e soma de variáveis independentes

Se {a_0,a_1,a_2,\dots} é uma sequência de números reais e

\displaystyle A(s) = \sum_{i\geq 0} a_is^i

converge em algum intervalo então {A(s)} é uma função geradora da sequência {(a_i)_i}. Por exemplo,

\displaystyle \frac 1{1-s} = 1+s+s^2+s^3+\cdots

é função geradora da sequência {1,1,1,\dots}

\displaystyle \mathrm{e}^s = 1+ \frac s1 +\frac {s^2}{2!} + \frac {s^3}{3!}+\cdots

é função geradora da sequência {1/j!} e

\displaystyle \frac 1{\sqrt{1-4s}} = \sum_{k\geq 0}\binom{2k}ks^k

é função geradora da sequência {\binom{2k}k}.

Exemplo 1 Se {X} é o resultado do lançamento de um dado, então a função geradora para a função de probabilidade de {X} é

\displaystyle  D(s) = \frac 16( s+s^2+s^3+s^4+s^5+s^6)

e notemos que a função de probabilidade para a soma do lançamento de dois dados

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  D(s)D(s) &=& \frac 1{36}( s+s^2+s^3+s^4+s^5+s^6)( s+s^2+s^3+s^4+s^5+s^6) \\&=& \frac 1{36}( s^2+ 2s^3+3s^4+4s^5+5s^6+5s^7+5s^8+5s^9+3s^{10}+2s^{11}+s^{12} ) \end{array}

Se {X} assume valores naturais, a função geradora de probabilidade de {X} é a função geradora da função de massa de probabilidade de {X}

\displaystyle  P_X(s) := \mathop{\mathbb E}(s^X) = \sum_{i\geq 0}\mathop{\mathbb P}(X=i)s^i.

Como P(1)=1 a série converge absolutamente para, pelo menos, todo {s\in(-1,1)}. Derivando {P} com relação a {s}

\displaystyle P'(s) = \sum_{i\geq 1} i \mathop{\mathbb P}(X=i) s^{i-1}

portanto

{P'(1) = \mathop{\mathbb E}(X).}

Exercício 9 Mostre que

{\mathrm{Var}(X) = P''(1)+P'(1)- P'(1)^2.}

Se {X} e {Y} são v.a. independentes então {s^X} e {s^Y} são independentes, portanto, {\mathop{\mathbb E}(s^{X+Y})=\mathop{\mathbb E}(s^Xs^Y) = \mathop{\mathbb E}(s^X)\mathop{\mathbb E}(s^Y)} ou seja,

\displaystyle P_{X+Y}(s) = P_X(s)P_Y(s)

e, usando indução

\displaystyle P_{X_1+\cdots+X_n}(s) = P_{X_1}(s)\cdots P_{X_n}(s)

agora

Teorema 1 Se {X_1,X_2,\dots} é uma sequência de v.a. independentes e de mesma distribuição e com função geradora {P_X} e se {N} é uma v.a. independente das demais v.a. e tem função geradora {P_N}, então a soma {X_1+\cdots+X_N} tem função geradora

{P_{X_1+\cdots+X_N}(s) = P_N(P_X(s)).}

De fato,

\displaystyle P_{X_1+\cdots+X_N}(s) = \mathop{\mathbb E}(s^{X_1+\cdots+X_N}) = \mathop{\mathbb E}\big( \mathop{\mathbb E}(s^{X_1+\cdots+X_N}~|~N) \big)

e o lado direito vale

\displaystyle  \sum_ n \mathop{\mathbb E}(s^{X_1+\cdots+X_N}~|~N=n) \mathop{\mathbb P}(N=n)= \sum_ n \mathop{\mathbb E}(s^{X_1+\cdots+X_n}) \mathop{\mathbb P}(N=n)

e pela independência ficamos com

\displaystyle  \sum_n \mathop{\mathbb E}(s^{X_1})\cdots \mathop{\mathbb E}(s^{X_n}) \mathop{\mathbb P}(N=n)= \sum_n P_X(s)^n \mathop{\mathbb P}(N=n) = P_N ( P_X(s)).

— Sobre convergência —

Acima, não nos preocupamos com a convergência das séries mas podemos diferenciar, ou integrar, como fizemos acima para {\mathop{\mathbb E}(X)=P_X'(S)}? Embora não seja óbvio, é sempre seguro assumir convergência de {P_X(s)} quando {|s|<1}.

A função geradora de probabilidade de uma v.a. que assume valores nos naturais

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(s^X) = \sum_{i\>0}f_X(i)s^i

converge (absolutamente) para todo {s,~|s| <R} e

\displaystyle R= \frac 1{\displaystyle\limsup_{i\rightarrow\infty}|f_X(i)|^{1/i}}

e diverge se {|s|>R}. O número {R} sempre existe, no nosso caso {R\geq 1}, e é chamado de raio de convergência. {P_X(s)} pode ser derivada e integrada, qualquer número de vezes, dentro do raio de convergência.

Um teorema devido a Abel garante que {\lim_{s\uparrow 1}P_X(s)= P_X(1) = \sum_{i\geq 0}f_X(i)}, ou seja a função geradora é contínua a esquerda em {s=1}. Assim, escrevemos {P_X(1)} como abreviação de {\lim_{s\uparrow 1}P_X(s)}.

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