bc1405 – Uma construção para os inteiros

Intuitivamente, digamos que queremos construir um conjunto de números onde {n-k} faça sentido quaisquer que sejam os naturais {n,k}, por exemplo {4-11}. Façamos {-7:=4-11}. Mas então há várias representações {-7:=4-11 = 3-10=5-12=\cdots}. Notemos que se {a-b = n-m} então {a+m=b+n} e s e fizermos todas essas representações do {-7} equivalentes temos um velho conhecido, a relação de equivalência do exercício 3.

Formalmente, considere a relação {\mathbf{Z} \subset {\mathbb N}\times {\mathbb N}} definida por {(a,b)\mathbf{Z}(n,m) \text{ se, e s\'o se }a+m=b+n }
{\mathbf{Z}} é uma relação de equivalência (exercício 3).

Para cada {(a,b)}, a classe de equivalência de {(a,b)} é o conjunto

\displaystyle   [(a,b)] := \big\{ (n,m)\in{\mathbb N}\times{\mathbb N}\colon (a,b)\mathbf{Z}(n,m) \big\}. \ \ \ \ \ (30)

Por exemplo,

\displaystyle [(1,2)] = \big\{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),\dots\big\}

\displaystyle [(5,2)] = \big\{(3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\dots\big\}

Notemos que {[(1,2)] = [(2,3)] = [(0,1)] \neq [(5,2)] = [(4,1)]}.

Quando denotamos a classe de equivalência para {\big\{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),\dots\big\}} por {[(2,3)]} dizemos que o par {(2,3)} é o representante da classe.

{{\mathbb Z}} é o conjunto dessas classes de equivalência e seus elementos são chamados números inteiros.

Denotamos

\displaystyle  0:= [(0,0)] = \{(n,n)\colon n\in{\mathbb N}\}

\displaystyle  1:= [(1,0)] = \{(n+1,n)\colon n\in{\mathbb N}\}

\displaystyle  -1:= [(0,1)] = \{(n,n+1)\colon n\in{\mathbb N}\}

\displaystyle  -a:= [(0,a)] = \{(n,n+a)\colon n\in{\mathbb N}\}

Denotamos por {{\mathbb Z}^+:=\{1,2,3,4,\dots\}} o conjunto dos números inteiros positivos, i.e., inteiros maiores que {0}. O conjunto {{\mathbb Z}\setminus {\mathbb Z}^+}, dos inteiros menores ou iguais a {0} são ditos não-positivos. Analogamente, definimos os inteiros negativos {{\mathbb Z}^-:=\{-1,-2,-3,-4,\dots\}} e os inteiros não-negativos. Assumimos a identificação

\displaystyle {\mathbb Z}\setminus {\mathbb Z}^- = {\mathbb N}

Denotemos por {p} a classe {[(a,b)]} e por {q} a classe {[(n,m)]}. Definimos {p+q} como a classe de equivalência

\displaystyle   p+q := [(a+n,b+m)] \ \ \ \ \ (31)

Notemos que {[(1,2)]+[(5,2)] = [(0,1)]+[(3,0)]}. Definimos {p\cdot q} como a classe de equivalência

\displaystyle   p\cdot q := [(a\cdot n + b\cdot m, a\cdot m + b\cdot n)] \ \ \ \ \ (32)

Definimos

\displaystyle p-q :=p+(-q)

e definimos

\displaystyle p\leq q \Leftrightarrow q-p\in{\mathbb N}

para quaisquer inteiros {p} e {q}.

— Exercícios —

  1. Prove que a soma de conjuntos definida acima é compatível com a relação de equivalência, isto é, a soma não depende dos representantes de cada classe de equivalência envolvida.

  2. Prove que a multiplicação de conjuntos definida acima é compatível com a relação de equivalência, isto é, não depende dos representantes de cada classe de equivalência envolvida.
  3. Para classes de equivalência {p,q,r} e as operações definidas acima valem
    1. { p+(q+r) = (p+q)+r}
    2. { p+q = q+p}
    3. { p+0 = p}
    4. { p+(-p) = 0}

    5. { p\cdot (q\cdot r) = (p\cdot q)\cdot r}
    6. { p\cdot q = q\cdot p}
    7. { p\cdot 1 = p}
    8. { p\cdot (q+r) = p\cdot q+ p\cdot r }
    9. {p\cdot q =0 \Rightarrow p=0} ou {q=0}
  4. A relação {\leq } é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Além, disso para quaisquer dois inteiros {p} e {q} vale: {p\leq q} ou {q\leq p}.
  5. Prove que
    1. { p\leq 0 \Rightarrow -p \geq 0}
    2. { (-p)\cdot q = -(p\cdot q)}

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