bc1405 – Inteiros e suas propriedades aritméticas e de ordem

{{\mathbb Z}=\big\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\big\}} é o conjunto dos números inteiros, os quais satisfazem as seguintes propriedades provadas a partir da construção dos inteiros.

— Com relação a soma —

  • Associativa: {\forall a,b,c\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c

  • Comutativa: {\forall a,b\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle a+b=b+a

  • Elemento neutro: {\forall a\in {\mathbb Z}},

    \displaystyle a+0=a

    e {0} é o único inteiro que satisfaz essa sentença.

  • Elemento inverso: {\forall a\in {\mathbb Z},~\exists ! b\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle a+b=0

    {b} é denotado por {-a}.

    Exercicio 23 (Lei cancelativa){\forall a,b,c\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle a+ b= a+ c \Rightarrow b=c

    Exercicio 24 {\forall a,b\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle -(a+ b)= (-a)+(-b)=-a-b

    — Com relação ao produto —

  • Associativa: {\forall a,b,c\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle  a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

  • Comutativa: {\forall a,b\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle a\cdot b=b\cdot a

  • Distributiva: {\forall a,b,c\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c

  • Elemento neutro: {\forall a\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle a\cdot 1=a

    e {1} é o único inteiro que satisfaz essa sentença.

  • Anulamento: {\forall a,b\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle a\cdot b = 0 \Rightarrow a = 0 \text{ ou } b=0

    Exercicio 25 (Lei cancelativa) {\forall a,b,c\in {\mathbb Z}}

    \displaystyle a\neq 0 \text{ e }a\cdot b= a\cdot c \Rightarrow b=c

    Exercicio 26 Prove que a lei cancelativa e a propriedade do anulamento são equivalentes.

    Exercicio 27 Para {a,b,c\in {\mathbb Z}}

    1. {a\cdot 0=0}.
    2. {(-a)\cdot b= -(a\cdot b)=a\cdot (-b)}.
    3. {c(a-b)= ca - cb}.

    — Com relação a {\leq}

  • Comparabilidade {\forall a,b\in {\mathbb Z};\; a\leq b \textrm{ ou } b\leq a}.
  • {\leq} é reflexiva {\forall a\in {\mathbb Z};\; a\leq a}.
  • {\leq} é antissimétrica {\forall a,b\in {\mathbb Z};\; a\leq b \textrm{ e }b\leq a\Rightarrow a=b}.
  • {\leq} é transitiva {\forall a,b,c\in {\mathbb Z};\; a\leq b \textrm{ e }b\leq c \Rightarrow a\leq c}.

    Exercicio 28 Para quaisquer { a,b,c\in {\mathbb Z} } valem

    1. Compatibilidade de {\leq} com as operações aritméticas

      \displaystyle  a\leq b \Rightarrow a+c\leq b+c

      \displaystyle a\leq b \textrm{ e } 0\leq c \Rightarrow a\cdot c\leq b\cdot c

    2. Tricotomia {a\leq b \textrm{ ou }a=b\textrm{ ou }b\leq a}.

    Exercicio 29 Para quaisquer inteiros {a,b,c}

    1. {a\leq b \Leftrightarrow -a\geq -b}.
    2. {a < b \Leftrightarrow -a > -b}.
    3. Regras de sinal

      1. {a>0} e {b>0\Rightarrow ab>0}
      2. {a<0} e {b<0\Rightarrow ab>0}
      3. {a<0} e {b>0\Rightarrow ab<0}
    4. {a \leq b \text{ e } c \leq d \Rightarrow a+c \leq b+d}.
    5. {a \leq b \text{ e } c < d \Rightarrow a+c < b+d}.
    6. {a^2\geq 0}.
    7. {a<b} e {c>0 \Rightarrow ac<bc}
    8. {a<b} e {c<0 \Rightarrow ac>bc}
    9. {ac\leq bc} e {c<0 \Rightarrow a \geq b}

    — Valor absoluto —

    Definimos, para todo {a\in{\mathbb Z}}, o valor absoluto de {a}

    \displaystyle   |a|: = \begin{cases} a& \text{ se } a\geq 0,\\ -a& \text{ caso contr\'ario.} \end{cases} \ \ \ \ \ (33)

    Exercicio 30 O valor absoluto satisfaz, para quaisquer inteiros {a,b}

    1. {|a|\geq 0} e {|a|=0} se e só se {a=0}.
    2. {-|a|\leq a\leq |a|.}
    3. {|-a|= |a|.}
    4. {|ab|= |a||b|.}
    5. {|a|\leq b \Leftrightarrow -b\leq a\leq b}.
    6. {|a+b|\leq |a|+|b|.}
    7. {|a|-|b|\leq |a-b|\leq |a|+|b|}

    — Indução —

    {A\subset {\mathbb Z}} não-vazio é limitado inferiormente se existe {m\in{\mathbb Z}} (chamado cota inferior) tal que

    \displaystyle  \forall a\in A,~m\leq a

    e {m} é menor elemento ou mínimo de {A} se {m\in A}. Denotamos o mínimo de {A} por {\min (A)}.

    Princípio do menor inteiro: {A\subset {\mathbb Z}} não vazio e limitado inferiormente tem um único mínimo.

    Que o mínimo, caso exista, é único decorre da definição: se {m} e {m'} são mínios então {m\leq m'} e {m'\leq m}, portanto {m=m'}. Que o mínimo existe, segue do PBO: se {m} é uma cota inferior então

    \displaystyle  B:= \{ a-m\colon a\in A\} \subset{\mathbb N}

    então, para algum {b\in A} temos {b-m} é o menor elemento de {B}. Mostremos que {b} é uma cota inferior para {A}. Se {a \in A} então {a-m \in B}, logo {b-m \leq a-m}, portanto {b\leq a}.{\Box}

    {P(n)} é um predicado sobre os inteiros {n}, {n\geq a} para algum inteiro fixo {a}

    Princípio da Indução Finita. Se, para um inteiro {a},

    1. {P(a)} é verdadeiro, e
    2. para todo {k\geq a}, se {P(k)} é verdadeiro então {P(k+1)} é verdadeiro,

    então {P(n)} é verdadeiro para todo inteiro {n \geq a}.

    Princípio da Indução Finita, segunda forma. Se, para um inteiro {a},

    1. {P(a)} é verdadeiro, e
    2. para todo {n>a}, se {P(k)} verdadeiro para todo {k\in \{a,a+1,\dots,n\}} então {P(n+1)} é verdadeiro,

    então {P(n)} é verdadeiro para todo inteiro {n \geq a}.

    Demonstração: Se {S} é o conjunto dos inteiros {m\geq a} tais que {P(m)} é falso e assumimos que {S\neq \emptyset} então {a} é uma cota inferior e temos {m_0=\min S}.

    {m_0>a} por 1 e {P(a),\dots,P(m_0-1)} é verdadeiro pela minimalidade de {m_0}, logo {P(m_0)} é verdadeiro, por 2, o que é uma contradição. Assim, {S} deve ser vazio. \Box

    — Exercícios —

    1. Prove a partir das propriedades do módulo dadas acima que para {a,b\in{\mathbb Z}}

      1. {-(-a)=a}.
      2. {-(a-b)= b-a}.
      3. {a-b= 0 \Leftrightarrow a=b}.
      4. {(-a)\cdot (-b)= a\cdot b}.
      5. {(-1)\cdot a = -a }

      6. {ab = 1\Rightarrow a=b=1} ou {a=b=-1}
    2. Mostre que todo {S\subset {\mathbb Z}} limitado superiormente possui (único) máximo. Defina, nesse caso, os termos limitado superiormente, máximo e cota superior.
    3. Prove usando indução
      1. Seja {a\in{\mathbb Z}} e {P(n)} um predicado a respeito dos inteiros {n\leq a}. Suponha que {(i)} {P(a)} é verdadeiro; {(ii)} para todo {n\leq a}, se {P(n)} é verdadeiro então {P(n-1)} é verdadeiro. Prove que {P(n)} é verdadeiro para todo {n\leq a}.
      2. Seja {n\in{\mathbb Z}}, {n> 0}. {n=1+1+1+\cdots+1} ({n} parcelas)
      3. Seja {n\in{\mathbb Z}}, {n < 0}. {n=(-1)+(-1)+(-1)+\cdots+(-1)} ({-n} parcelas)
      4. {2^{n+1} \geq n+2} para todo {n\geq -1}.
      5. para {a\neq 0}, {(-a)^n=a^n} para todo {n} par.
      6. para {a\neq 0}, {(-a)^n=-a^n} para todo {n} ímpar.

    4. Sejam {a>0} e {b} inteiros. Mostre que existe um inteiro {k} tal que {b+ka >0}. (dica: boa-ordem)

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