bc0406 – Generalidades sobre conjuntos

{A, B, C, \dots } denotam conjuntos quaisquer.

{\mathbb N}, {\mathbb Z}, {\mathbb Q} e {\mathbb R} denotam, respectivamente, os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais.

Pertinência {x\in A} denota a proposição {x} é elemento de {A}.
{x\not\in A} denota a proposição {x} não é elemento de {A}.

Vazio {\emptyset} denota o conjunto vazio.

Inclusão { A\subset B \textrm{ significa } \forall a(a\in A \Rightarrow a\in B).}
{ A = B \textrm{ equivale a } A\subset B \textrm{ e } B\subset A.}

União { x\in A \cup B \textrm{ significa } (x\in A) \textrm{ ou } (x\in B).}

Interseção { x\in A \cap B \textrm{ significa } (x\in A) \textrm{ e } (x\in B).}
{A} e {B} são disjuntos se {A\cap B=\emptyset}.

Propriedades da união e da interseção são comutativas,
associativas e valem a distributiva {(A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup(B\cap C)} e a idempotência {A\cup A = A\cap A = A}.

Diferença { x\in A \setminus B \textrm{ significa } (x\in A) \textrm{ e } (x\not\in B).}

Diferença simétrica { x\in A \triangle B \textrm{ significa } (x\in A\cup B) \textrm{ e } (x\not\in A\cap B).}

\displaystyle  A \triangle B = (A \cup B) \setminus ( A \cap B)

— Complemento —

Consideremos os conjuntos {A\subset U} e {B\subset U}.

{\overline A^U} denota complemento de com relação a {U}, i.e.,

\displaystyle \overline A^U = U \setminus A.

se não há perigo de confusão (ambiguidade) usamos simplesmente {\overline{A}}.

Algumas referências usam a notação {A^{\mathtt{C}}} para o complemento de A.

Leis de De Morgan

  1. {\displaystyle\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}}.
  2. {\displaystyle\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}}.

— Cardinalidade —

{|A|} denota a cardinalidade de {A}.

{|A|=0} se, e somente se, {A=\emptyset}.
{|A|=n}, para algum {n>0} natural, se existe uma bijeção {f\colon \{1,2,\dots,n\} \rightarrow A}. Nesses casos, dizemos que {A} é finito. Se {|A|} não é finito, então {A} é infinito.

Os conjuntos {A} e {B} têm a mesma cardinalidade, isto é {|A|=|B|}, se existe uma bijeção {f\colon A\rightarrow B}.

{A} é enumerável se é finito ou se tem a mesma cardinalidade de {{\mathbb N}}, isto é {|A|=|{\mathbb N}|}. Em outras palavras, {A} é enumerável se existe uma função injetiva {f\colon A \rightarrow {\mathbb N}}.

{{\mathbb N}}, {{\mathbb Z}} e {{\mathbb Q}} são enumeráveis. {{\mathbb R}} não é enumerável.

união e interseção enumerável
Sejam {A_0,A_1,A_2,\dots } conjuntos

  1. {\displaystyle x\in \bigcup_{i=0}^n A_i \textrm{ significa } x\in A_i} para algum {i\in\{0{,}1,\dots,n\}};
  2. {\displaystyle x\in \bigcup_{i\geq 0} A_i \textrm{ significa } x\in A_i} para algum {i\in{\mathbb N}};
  3. {\displaystyle x\in \bigcap_{i=0}^n A_i \textrm{ significa } x\in A_i} para todo {i\in\{0{,}1,\dots,n\}};
  4. {\displaystyle x\in \bigcap_{i\geq 0} A_i \textrm{ significa } x\in A_i} para todo {i\in{\mathbb N}.}

— Produto cartesiano —

{A\times B} denota o conjunto {\big\{(a,b)\colon a\in A ~ e~b\in B\big\}}. De um modo geral, se {A_1,A_2,\dots,A_n} são conjuntos

\displaystyle  \prod_{i=1}^n A_i = A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n= \big\{ (a_1,a_2,\dots,a_n)\colon a_i\in A_i (\forall i)\big\}. \ \ \ \ \ (1)

Teorema 1 Para conjuntos finitos {\displaystyle \bigg| \prod_{i=1}^n A_i \bigg| = |A_1|\cdot|A_2|\cdots|A_n|}.

No caso em que os conjuntos {A_1,A_2,\dots,A_n} são iguais a {A} denotamos por { \mathbf{A^n}} o produto cartesiano {\prod_{i=1}^n A_i .}

— Partição —

{\{A_1,A_2,\dots,A_n\}} é uma partição (finita) de {A} se

  1. as partes são subconjutos de {A}, isto é, {\displaystyle A_i\subset A} para todo {i};
  2. {A_i} e {A_j} são disjuntos para quaisquer {i\neq j}, isto é,

    \displaystyle \forall i\, \forall j\,(j\neq i\Rightarrow A_i\cap A_j =\emptyset)

  3. a união das partes resulta no todo, isto é, {\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i = A}.

— Conjunto das partes —

{\mathbf{2^A}} denota o conjunto

\displaystyle  \big\{B\colon B\subseteq A \big\}

de todos os subconjuntos de {A}, chamado, conjunto das partes de {A}.

Algumas referências usam {\wp (A)} para o conjunto das partes de A.

— Exercícios —

  1. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras?

    1. {\emptyset \subset \{\emptyset\}};
    2. {\emptyset \in \{\emptyset\}};
    3. {\emptyset = \{\emptyset\}};

    4. {\{\emptyset\} \subset \{\emptyset,\{\emptyset\}\}};
    5. {\{\emptyset\} \in \{\emptyset,\{\emptyset\}\}};
    6. {\{\emptyset\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}};
  2. Sejam {A}, {B} e {C} conjuntos. Prove cada uma das propriedades a seguir.
    1. {A\cap A = A};
    2. {A\cup A = A};
    3. {A\cup \emptyset = A};
    4. {A\cap \emptyset = \emptyset};
    5. {A \subset A\cup B};
    6. {B \subset A\cup B};
    7. {A\cap B \subset A};
    8. {A\cap B \subset B};
    9. {C\cap (A\cup B) = (C\cap A) \cup (C\cap B)};
    10. {C\cup (A\cap B) = (C\cup A) \cap (C\cup B)};
    11. {B = (B\cap A) \cup (B\cap \overline A)};
    12. {A \Delta B = B\Delta A};
    13. {A \Delta A = \emptyset};
  3. Sejam {A} e {B} subconjuntos de {C}. Considere complementos relativos a {C} e prove que
    1. {\overline{A\cup B} = \overline A \cap \overline{B}};
    2. {\overline{A\cap B} = \overline A \cup \overline{B}};
    3. {\overline{\emptyset}^C = C};
    4. {\overline{\overline{A}} = A};
    5. {A \cap \overline A = \emptyset};
    6. {A \cup \overline A = C};
  4. Prove que {\emptyset \subset A} para qualquer conjunto {A}.
  5. Escreva o conjunto das partes de {\{ 1,2,3\}}.
  6. Escreva o conjunto das partes de {\big\{ \{1\},\{2\},\{3\} \big\}}.
  7. Escreva o conjunto das partes de {\big\{ \{1,2\},\{3\} \big\}}.
  8. Seja {\mathbb Z} o conjunto dos números inteiros. Para cada {i\in \{0,1,2\}} denote por {R_i} o subconjunto dos números inteiros que deixam resto {i} quando divididos por {3}. Prove que {\{R_0,R_1,R_2\}} é uma partição de {\mathbb Z}.
  9. Seja {q} um número inteiro e positivo. Para cada {i\in \{0,1,\dots,q-1\}} denote por {R_i} o subconjunto dos números inteiros que deixam resto {i} quando divididos por {q}. Prove que {\{R_0,R_1,\dots,R_{q-1}\}} é uma partição de {\mathbb Z}.

  10. Sejam {U} um conjunto, {E\subset U} e {\{ A_1,A_2,\dots,A_n\}} uma partição de {U}. Prove que

    \displaystyle E = \bigcup_{i=1}^n (A_i\cap E)

  11. Sejam { A_1,A_2,\dots,A_n} conjuntos finitos. Prove que

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  \left| \bigcup_{i=1}^n A_i \right|= \sum_{i=1}^n |A_i| &- &\sum_{1\leq i< j \leq n} |A_i \cap A_j| + \\ &+&\sum_{1\leq i< j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| +\cdots +\\ &+& (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n| \end{array}

  12. Sejam { A_1,A_2,\dots,A_n} conjuntos finitos. Prove que

    \displaystyle  \big| A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n \big| = \big| A_1\big| \cdot \big| A_2 \big| \cdots \big| A_n \big|

    (Dica: use o princípio da indução finita)

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