Paradoxo de Bertrand

O seguinte problema, conhecido como Paradoxo de Bertrand, que a rigor não é um paradoxo, é passível de mais de uma interpretação. Numa circunferência de raio {1}, um triângulo equilátero inscrito tem lado {\sqrt{3}}. Qual é a probabilidade de que uma corda {AB} escolhida ao acaso tem comprimento maior que {\sqrt 3}?

bert1

1ª interpretação: a escolha da corda é por tomarmos A e B escolhidos aleatoriamente dentre os pontos da circunferência. Imaginemos o triângulo rotacionado de modo que um de
seus vértices coincida, s.p.g., com o ponto A. A corda tem comprimento maior que o lado do triângulo se B está no arco da circunferência entre os dois outros vértices do triângulo, o que ocorre com probabilidade 1/3.
bert2

2ª interpretação: a escolha da corda é por tomarmos {P} no interior da circunferência aleatoriamente e {AB} é a corda cujo ponto médio é {P}.

bert3

A corda é maior que o lado do triângulo se {P} está no interior da circunferência de centro {O} e raio {1/2}, o que ocorre com probabilidade {1/4}.

3ª interpretação: Fixamos um raio. A corda é obtida escolhendo um ponto {P} aleatoriamente no raio e tomando a corda que passa por {P} perpendicular ao raio.

bert4

A corda é maior do que um lado do triângulo, se o ponto escolhido está mais próximo do centro do círculo, que o ponto onde o lado do triângulo intersecta o raio, logo se {|OP|\in (0,1/2)} o que ocorre com probabilidade {1/2}.

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s