Sobre probabilidade clássica no intervalo [0,1]

Seja {A\subset [0,1]} e definamos

\displaystyle  A\oplus r \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \{a+r \colon a\in A \text{ e } a+r\leq 1\} \cup \{a+r -1 \colon a\in A \text{ e } a+r> 1\}

a {r}-translação de {A}, para {r\in [0,1]}.

Proposição 2 Não existe uma medida de probabilidade que esteja definida para todo {A\subseteq [0,1]} e tal que

{\mathop{\mathbb P}([a,b])= \mathop{\mathbb P}([a,b))= \mathop{\mathbb P}((a,b])= \mathop{\mathbb P}((a,b))=b-a \qquad \forall 0\leq a\leq b \leq 1}\ \ \ \ \ \ (1)

{\mathop{\mathbb P}(A\oplus r) = \mathop{\mathbb P}(A).}\ \ \ \ \ \ (2)

A prova desse fato é por contradição. Assumamos que exista tal {\mathop{\mathbb P}}.

Definimos uma relação de equivalência sobre {[0,1]} pondo {x\sim y} se, e só se, {x-y \in {\mathbb Q}}. Tomemos {H} o conjunto dado por um representante de cada classe de equivalência de modo que o representante de dos racionais em {[0,1]} não seja o {0}.

Para {r_1,r_2\in {\mathbb Q}\cap[0,1]} distintos temos {H\oplus r_1 \cap H\oplus r_2 = \emptyset} pois se {x} está na interseção então ou {x=h_1+r_1=h_2+r_2} ou {x=h_1+r_1=h_2+r_2 -1} (os outros casos são análogos) portanto {h_1-h_2\in Q}, logo {h_1=h_2} e segue que {r_1=r_2}.

Ainda, se {x\in (0,1]} então para algum {\bar x \in H} e algum {r \in {\mathbb Q}\cap [0,1)} vale {x-\bar x = r} (lembremos que {0\not\in H}), de modo que

\displaystyle  (0,1] = \bigcup_{r\in {\mathbb Q}\cap [0,1)} H\oplus r

e como a união é disjunto e {\mathop{\mathbb P}} probabilidade

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}\big( (0,1] \big) = \sum_{r\in {\mathbb Q}\cap [0,1)} \mathop{\mathbb P}(H\oplus r).

Usando 2 no lado esquerdo e 2 no lado direito da equação acima

\displaystyle  1 = \sum_{r\in {\mathbb Q}\cap [0,1)} \mathop{\mathbb P}(H\oplus r)

mas o lado direito só pode valer {0}, ou {\infty} ou {-\infty}, uma contradição.{\Box}

Referência: grprobcov2

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