bc0406 – Axiomas de probabilidade e Modelo probabilístico

Uma medida de probabilidade é uma função que atribui para os eventos aleatórios {A} de um espaço amostral um número real {\mathop{\mathbb P}(A)} satisfazendo

  • Axioma 1
    {0 \leq \mathop{\mathbb P}(A) \leq 1}
  • Axioma 2
    {\mathop{\mathbb P}(\Omega) = 1}
  • Axioma 3
    {\displaystyle\mathop{\mathbb P}\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right)= \sum_{i=1}^\infty \mathop{\mathbb P}(A_i)}

    sempre que {A_1,A_2,\dots} é uma sequência de eventos mutuamente exclusivos.

    A soma infinita no axioma 3 é chamada de série. Nesse ponto pode ser interessante fazer dar uma olhada aqui.

    Algumas consequências simples desses axiomas são

    Proposição 3 (probabilidade do evento impossível) A probabilidade de {\emptyset} é {0}.

    Demonstração: Escolhendo {A_1=\Omega} e {A_i=\emptyset} para todo {i\geq 2} temos pelo Axioma 3 que

    \displaystyle \mathop{\mathbb P}(\Omega) = \mathop{\mathbb P} ( \Omega \cup \emptyset\cup \emptyset\cup \cdots \cup\emptyset\cup\cdots) = \mathop{\mathbb P}(\Omega) +\sum_{i=1}^\infty\mathop{\mathbb P}(\emptyset)

    portanto, pelo Axioma 1 resta que

    {\mathop{\mathbb P}(\emptyset)=0}.

    \Box

    Proposição 4 (probabilidade de uma união finita de eventos disjuntos) Para quaisquer {A_1,A_2,\dots,A_n} eventos mutuamente exclusivos

    \displaystyle  \mathop{\mathbb P}\left( \bigcup_{i= 1}^n A_i \right) =\sum_{i=1}^n \mathop{\mathbb P}(A_i) \ \ \ \ \ (20)

    Demonstração: Dados {A_1,A_2,\dots,A_n} eventos mutuamente exclusivos, podemos fazer {A_i=\emptyset} para todo {i>n} e pelo Axioma 3

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathop{\mathbb P}\left( \bigcup_{i= 1}^n A_i \right) &=& \mathop{\mathbb P}\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \mathop{\mathbb P}(A_i) = \sum_{i=1}^n \mathop{\mathbb P}(A_i) + \sum_{i=n+1}^\infty \mathop{\mathbb P}(\emptyset) \\ &=& \sum_{i=1}^n \mathop{\mathbb P}(A_i) \end{array}

    pois { \mathop{\mathbb P}(\emptyset) =0 }. \Box

    Proposição 5 Se {E} é um evento então

    {\mathop{\mathbb P}(\overline E) =1 -\mathop{\mathbb P}(E)}.

    Demonstração: Basta notar que {E} e {\overline E} são mutuamente exclusivos que a o resultado segue da proposição 4. \Box

    Proposição 6 Se {A} e {B} são eventos

    1. {A \subseteq B \Rightarrow \mathop{\mathbb P}(A) \leq \mathop{\mathbb P}(B)}
    2. {A \subseteq B \Rightarrow \mathop{\mathbb P}(B\setminus A)=\mathop{\mathbb P}(B)-\mathop{\mathbb P}(A)}

    Demonstração: Sejam {A} e {B} eventos tais que {A \subseteq B} e vamos provar que {\mathop{\mathbb P}(A) \leq \mathop{\mathbb P}(B)}. Usamos que {B} pode ser escrito como união disjunta de {A} e {\overline A \cap B} e a proposição 4

    \displaystyle  B = A \cup (\overline A \cap B) \Rightarrow \mathop{\mathbb P}(B) = \mathop{\mathbb P}(A)+ \mathop{\mathbb P}(\overline A \cap B)

    e como {\mathop{\mathbb P}(\overline A \cap B)\geq 0} temos { \mathop{\mathbb P}(B) \> \mathop{\mathbb P}(A)}.

    Para provar que {\mathop{\mathbb P}(B\setminus A)=\mathop{\mathbb P}(B)-\mathop{\mathbb P}(A)} basta notar que {(B\setminus A) \cup A = B} e a união é disjunta. \Box

    Proposição 7 Se {A} e {B} são eventos

    Demonstração: Sejam {A} e {B} eventos quaisquer. Vamos novamente recorrer a proposição 4.

    { A\cup B} pode ser escrito como a união disjunta {A \cup (\overline A \cap B)} donde concluímos que

    \displaystyle   \mathop{\mathbb P}(A\cup B) = \mathop{\mathbb P}(A)+ \mathop{\mathbb P} (\overline A \cap B). \ \ \ \ \ (22)

    { \overline A \cap B} pode ser escrito como {B \setminus (A\cap B)} com {A\cap B \subset B}, pela proposição 6, item 2, concluímos que

    \displaystyle   \mathop{\mathbb P}(\overline A \cap B) = \mathop{\mathbb P}(B)-\mathop{\mathbb P}(A\cap B) . \ \ \ \ \ (23)

    Substituindo (23) em (22) prova a proposição. \Box

    No caso da união de três eventos a probabilidade pode ser facilmente deduzida da proposição 7

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathop{\mathbb P}\big( (A\cup B) \cup C\big) &=& \mathop{\mathbb P} (A\cup B) + \mathop{\mathbb P}(C) - \mathop{\mathbb P}\big( (A\cup B) \cap C\big) \\ &=&\mathop{\mathbb P} (A\cup B) + \mathop{\mathbb P}(C) - \mathop{\mathbb P}\big( (A\cap C) \cup ( B \cap C)\big) \end{array}

    agora usamos a proposição 7 nas duas uniões

    \displaystyle \mathop{\mathbb P}(A\cup B) = \mathop{\mathbb P}(A) + \mathop{\mathbb P}(B) - \mathop{\mathbb P}(A\cap B).

    \displaystyle \mathop{\mathbb P}\big( (A\cap C) \cup ( B \cap C)\big) = \mathop{\mathbb P} (A\cap C) + \mathop{\mathbb P}( B \cap C) - \mathop{\mathbb P}\big( (A\cap C) \cap ( B \cap C)\big)

    que, substituindo na equação anterior, resulta em

    \displaystyle  \mathop{\mathbb P}\big( (A\cup B) \cup C\big) = \mathop{\mathbb P}(A) + \mathop{\mathbb P}(B) + \mathop{\mathbb P}(C) - \mathop{\mathbb P}(A\cap B) - \mathop{\mathbb P} (A\cap C) - \mathop{\mathbb P}( B \cap C) +\mathop{\mathbb P} (A \cap B \cap C) .

    Essa mesma estratégia pode ser usada numa prova por indução para mostrar o seguinte

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathop{\mathbb P}\big( A\cup B \cup C \cup D \big) &=& \mathop{\mathbb P}(A) + \mathop{\mathbb P}(B) + \mathop{\mathbb P}(C) + \mathop{\mathbb P}(D) \\ &-& \mathop{\mathbb P}(A\cap B) - \mathop{\mathbb P} (A\cap C) - \mathop{\mathbb P} (A\cap D) - \mathop{\mathbb P}( B \cap C)- \mathop{\mathbb P}( B \cap D) - \mathop{\mathbb P}( C \cap D)\\ &+ & \mathop{\mathbb P} (A \cap B \cap C) +\mathop{\mathbb P} (A \cap B \cap D) +\mathop{\mathbb P} (B \cap C \cap D) \\ &-& \mathop{\mathbb P} (A \cap B \cap C \cap D) . \end{array}

    Exercicio Use a equação acima para responder a pergunta no final da solução do exercício 23.

    Exercicio 24 (inclusão–exclusão) Sejam { A_1,A_2,\dots,A_n} eventos. Prove que

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathop{\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right) &=& \sum_{i=1}^n \mathop{\mathbb P}(A_i) - \sum_{1\leq i< j \leq n} \mathop{\mathbb P}(A_i \cap A_j) + \cdots + \\ &+& (-1)^{k+1}\sum_{1\leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} \mathop{\mathbb P}(A_{i_1} \cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_k}) +\cdots + \\ &+& (-1)^{n+1} \mathop{\mathbb P}(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) \end{array}

    A soma

    \displaystyle \displaystyle (-1)^{k+1}\sum_{1\leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} \mathop{\mathbb P}(A_{i_1} \cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_k})

    é feita ao longo dos {\binom nk} subconjuntos de {k} de elementos de {\{1,2,\dots,n\}}. Escrevemos

    Exercicio 25 Suponha que {n>1} pessoas chegam de chapéu em uma festa e deixam seu chapéu na entrada. Ao ir embora da festa, cada pessoa pega um chapéu ao acaso. Qual é a probabilidade que nenhuma pessoa pegue o próprio chapéu? (dica: considere o evento “o {i}-ésimo a sair pega o próprio chapéu” e determine a probabilidade que pelo menos uma pessoa pegue o próprio chapéu)


    Se E_i denota o evento “o i-ésimo a sair pega o próprio chapéu”, queremos determinar \mathbb{P}(\bigcup_{i=1}^n E_i). Considerando todas as permutações de chapéu igulamente provávies, temos {\mathbb{P}(E_i) = (n-1)! / n!}. Mais que isso

    {\displaystyle \mathbb{P}(E_{i_1}\cap E_{i_2}\cap \cdots \cap E_{i_k}) = \frac{(n-k)!}{n!}}

    para qualquer combinação i_1,i_2,\dots,i_k de índices, para qualquer inteiro positivo k. Como são \binom nk combinações posiveis,

    \displaystyle {\sum_{1\leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} \mathop{\mathbb P}(A_{i_1} \cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_k}) = \binom nk\frac{(n-k)!}{n!} = \frac 1{n!} }

    . Portanto,

    \displaystyle {\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n E_i\right) = 1-\frac 1{2!}+\frac 1{3!}-\frac 1{4!}+ \cdots +(-1)^{n+1}\frac 1{n!} } que é, aproximadamente, \frac 1{\mathrm{e}} para n grande. {\Box}

    Proposição 8 (desigualdade de Boole) Sejam { A_1,A_2,\dots,A_n} eventos. Então

    Demonstração: Se {n=1} então {\mathop{\mathbb P}(A_1) \leq \mathop{\mathbb P}(A_1)}, obviamente. Se {n=2} então {\mathop{\mathbb P}(A_1\cup A_2)= \mathop{\mathbb P}(A_1) + \mathop{\mathbb P}(A_2) - \mathop{\mathbb P}(A_1\cap A_2)} e como o último termo é positivo {\mathop{\mathbb P}(A_1\cup A_2)\leq \mathop{\mathbb P}(A_1) + \mathop{\mathbb P}(A_2)}.

    Sejam { A_1,A_2,\dots,A_n} eventos e suponhamos, como hipótese do passo indutivo, que

    \displaystyle \mathop{\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n-1} \mathop{\mathbb P}(A_i).

    Então

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathop{\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) &=& \mathop{\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \cup A_n\right) \\ &\leq& \mathop{\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i\right) + \mathop{\mathbb P}( A_n )\\ &\leq& \sum_{i=1}^{n-1} \mathop{\mathbb P}\left(A_i\right) + \mathop{\mathbb P}( A_n )\\ &=& \sum_{i=1}^{n} \mathop{\mathbb P}\left(A_i\right) \end{array}

    portanto, a desigualdade de Boole segue do Princípio da Indução Finita. \Box

    — Modelo probabilístico —

    Um Modelo Probabilístico para um experimento aleatório consiste de

    1. um espaço amostral {\Omega};
    2. um espaço de eventos ({\sigma}-álgebra) {\mathcal A};
    3. uma medida de probabilidade {\mathop{\mathbb P}\colon \mathcal A \rightarrow [0,1]}.

    Observação 1 (mais sobre o item 2 de Modelo Probabilístico) {\mathcal A} é uma necessidade técnica e sua compreensão vai muito além do que precisamos e podemos compreender nesse momento. Nós não vamos nos preocupar com esse fato nessa disciplina, para os eventos de nosso interesse a medida {\mathop{\mathbb P}} estará sempre definida.

    Daqui em diante adotamos a notação

    {\displaystyle\mathop{\mathbb P}( A) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \sum_{\omega_i\in A} \mathop{\mathbb P}( \omega_i)}

    para todo {\omega\in\Omega}.

    — Modelo probabilístico discreto —

    No caso de espaço amostral discreto, todo experimento tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos

    • O espaço amostral {\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\dots\}}
    • A probabilidade

      {\displaystyle \mathop{\mathbb P}(\omega) \stackrel{\text{\tiny def}}{=}\mathop{\mathbb P}(\{\omega\})}

      para cada evento elementar de modo que:

    • (Axioma 1′) {0\leq \mathop{\mathbb P}(\omega_i) \leq 1}, para todo {i}, e
    • (Axioma 2′) {\mathop{\mathbb P} (\Omega ) = \mathop{\mathbb P}(\{\omega_1, \omega_2 ,\dots \}) = \sum_{i=1}^\infty \mathop{\mathbb P}( \omega_i ) = 1.}

    Para todo {A\subset \Omega}

    Exemplo 15 Uma moeda equilibrada é lançada até sair coroa

    • {\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_\infty\}}, onde {\omega_i = (c_{1},c_{2},\dots, c_i)} com { c_j = \begin{cases} \mathrm{Co}& \textrm{ se }j=i\\ \mathrm{Ca}& \textrm{ se } 1\leq j<i \end{cases} } e {\omega_\infty= (\mathrm{Ca},\mathrm{Ca},\mathrm{Ca},\dots)}
    • {\mathop{\mathbb P}(\omega_{i}) = \left( \frac 12 \right)^{i}} para {i} diferente de {\infty} e {\mathop{\mathbb P}(\omega_{\infty})=0}.

    Notemos que

    \displaystyle  \sum_{\omega_i\in\Omega\setminus\{\infty\}}\mathop{\mathbb P} (\omega_i)= \sum_{i\geq1} 2^{-i}=1

    além disso, {0<\mathop{\mathbb P} (\omega_i)<1} para todo {\omega_i}.

    Exemplo 16 Escolhemos um inteiro positivo ao acaso, a probabilidade de escolher {i} é {(\frac 12)^i}. Estendemos a probabilidade a qualquer evento {A} pondo

    \displaystyle \mathop{\mathbb P}(A) = \sum_{a\in A} \mathop{\mathbb P}\big(\{a\}\big).

    A probabilidade de escolher um número par é

    \displaystyle  \sum_{\substack{a\in A\\a\textrm{ par}}} \mathop{\mathbb P}\big(\{a\}\big) = \sum_{k\geq 1} \left( \frac 12 \right)^{2k} = \sum_{k\geq 1} \left( \frac 14 \right)^{k} = \frac 13.

    Exemplo 17 Um casal é escolhido ao acaso e {(i,j)\in{\mathbb N}\times{\mathbb N}} representa o número de filhos ({i}) e o número de filhas ({j}) do casal. Admitamos que

    \displaystyle  \mathop{\mathbb P}\big(\{(i,j)\}\big) = \frac 1{2^{i+j+2}}

    qual é a probabilidade de um casal não ter filho? O evento é dado por {A=\big\{(0,j)\colon j\in{\mathbb N}\big\}} e

    \displaystyle \mathop{\mathbb P}(A) = \sum_{j\geq 0} \frac 1{2^{j+2}} = \frac 12.

    Você acha isso um modelo realista?

    Exercicio 30 Verifique que {\mathop{\mathbb P}} dos exemplos anteriores é uma medida de probabilidade. Também, prove que {\mathop{\mathbb P}} como definida em (29), de acordo com {\textbf{Axioma 1'}} e {\textbf{Axioma 2'}}, é uma medida de probabilidade.

    Exercício 31 No meu bolso há 3 cartas. Uma é verde em ambas as faces, outra é laranja em ambas as faces, a última tem uma face de cada uma dessas cores. Retiro uma das três cartas escolhida ao acaso e somente um dos lados é exibido; é uma face laranja. Qual é a probabilidade de que o outro lado, que está oculto, seja laranja?

    Um argumento comum diz: “Não pode ser a carta verde-verde. Se for verde-laranja, então o outro lado é verde, enquanto que se for o laranja-laranja, o outro lado é laranja. Uma vez que essas possibilidades são igualmente prováveis, o outro lado é igualmente provável de ser verde laranja.”

    Essa conclusão está errada, faça uma análise cuidadosa do problema.

    {Problema:} Uma urna contém bolas {k} pretas e uma única bola vermelha. Pedro e Paula sorteiam bolas sem reposição alternadamente até que a bola vermelha é extraída. O jogo é ganho pelo jogador que jogar por último. Pedro é um cavalheiro oferece a Paula a opção de escolher se ela quer começar ou não. Paula tem um palpite de que ela tem mais chance se ela começar, afinal, ela pode ter sucesso no primeiro sorteio. Por outro lado, se o seu primeiro sorteio produz uma bola preta, então a chance de Pedro ganhar em seu primeiro sorteio é aumentada, já que a urna atem uma bola preta a menos. Como Paula deve decidir a fim de maximizar sua probabilidade de ganhar?

    — Exercícios —

    1. Sejam {A}, {B} e {C} eventos. Determine expressões para
      1. somente {A} ocorre;
      2. {A} e {B} mas não {C} ocorrem;
      3. os três eventos ocorrem;
      4. pelo menos um evento ocorre;
      5. pelo menos dois eventos ocorrem;
      6. exatamente um evento ocorre;
      7. exatamente dois eventos ocorrem;
      8. nenhum evento ocorre;
      9. no máximo três eventos ocorrem;
      10. não mais que dois eventos ocorrem.
    2. A união de dois eventos {A\cup B} pode ser escrita como a união de dois eventos mutuamente exclusivos da seguinte forma {A\cup B= A \cup (B\setminus A\cap B))}. Expresse a união de três eventos {A\cup B\cup C} como a união de três eventos mutuamente exclusivos.
    3. Um dado é lançado até que ocorra um 6. Qual é o espaço amostral do experimento? Se {E_n} é o evento “o dado foi lançado {n} vezes”, descreva os elementos desse evento. O que é o evento {\displaystyle \overline{\bigcup_{i\geq 1}E_i}}?
    4. Uma mão de pôquer consiste de 5 cartas retiradas de um baralho tradicional de 52 cartas. Assumindo que todas as possíveis mãos são igualmente prováveis qual é a probabilidade de
      1. um flush (as 5 cartas do mesmo naipe);
      2. um par (exatamente duas cartas com o mesmo “número”);
      3. dois pares;
      4. uma trinca (exatamente três cartas com o mesmo “número”);
      5. uma quadra (exatamente quatro cartas com o mesmo “número”).
        (a)0,002; (b)0,4226; (c)0,0475; (d)0,0211; (e)0,00024
    5. Lança-se um par de dados. Qual é a probabilidade do resultado do segundo ser maior que o resultado do primeiro? 5/12
    6. Lança-se um par de dados até ocorra uma soma {5} ou {7}. Qual é a probabilidade do resultado {5} ocorrer primeiro?(dica: seja {E_n} o evento “ocorreu 5 na {n}-ésima rodada e {5} ou {7} não ocorreram nas {n-1} primeiras rodadas”) 0,4
    7. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 7 pretas. Começando com {A}, os jogadores {A} e {B} retiram uma bola, alternadamente, até que ocorra uma bola vermelha.

      Qual é a probabilidade de {A} retirar uma bola vermelha?
      {\displaystyle \frac{3\cdot 9!+7\cdot 6\cdot 3\cdot 7!+ (7)_55!+(7)_63!3}{10!}}

    8. Numa floresta vivem 20 renas, das quais 5 são capturadas, marcadas e soltas. Algum tempo depois 4 renas são capturadas. Qual é a probabilidade de 2 estarem marcadas? 70/323
    9. Sete bolas são retiradas ao acaso de uma urna que contém 12 bolas vermelhas, 16 azuis e 18 verdes. Determine a probabilidade de que ocorra
      1. 3 vermelhas, 2 azuis e 2 verdes;
      2. pelo menos 2 vermelhas;
      3. todas da mesma cor;
      4. exatamente 3 vermelhas ou exatamente 3 azuis.
    10. {n} meias numa gaveta, das quais 3 são vermelhas. Qual é o valor de {n} se a probabilidade de retirar 2 meias vermelhas da gaveta é {1/2}?4
    11. Se 3 pessoas fazem registro, ao acaso, num dos 5 hotéis de um cidade, qual é a probabilidade de que se hospedem em hotéis diferentes? 0,48
    12. Dois dados são lançados {n} vezes. Qual é a probabilidade de que ocorra um duplo 6 pelo menos um vez? Quão grande deve ser {n} para que a probabilidade seja pelo menos {1/2}? {1- (35/36)^n}
    13. Se {n} pessoas, incluindo {A} e {B}, são dispostas aleatoriamente em linha, qual é a probabilidade de que {A} esteja ao lado de {B}? E se a formação for um círculo? {2/n}; {2/(n-1)}
    14. Se {n} bolas são distribuídas aleatoriamente em {N} caixas, qual é a probabilidade de que {m} bolas caiam na primeira caixa? {\binom nm(n-1)^{n-m}/N^n}
    15. Dois jogadores {A} e {B} jogam o seguinte jogo: {A} escolhe uma das 3 roletas do desenho abaixo e {B} escolhe outra das 2 restantes. Então ambos giram a roleta e o qual obtiver o maior resultado é o vencedor. Supondo que as regiões das roletas sejam equiprováveis, qual jogador você preferia ser? Por que?

      roleta

    16. Seja {A_1,A_2,\dots} uma sequência de eventos. Defina uma sequência {B_1,B_2,\dots} de eventos mutuamente exclusivos tal que

      \displaystyle \bigcup_{i\geq 1}A_i = \bigcup_{i\geq 1}B_i.

    17. Suponha que {E} seja um evento de um experimento e que o experimento seja executado {n} vezes. Denote por {n(E)} o número de vezes que o evento {E} ocorre nas {n} repetições e defina {p(E) = \frac{n(E)}n}. Mostre que {p} satisfaz os axiomas Axioma 1, Axioma 2 e Axioma 3 de probabilidade.
    18. Prove que se {A\subset B} então {\mathop{\mathbb P}(A) \leq \mathop{\mathbb P}(B)}.

    19. Prove que

      \displaystyle \mathop{\mathbb P}\left(\bigcup_{i\geq 1}A_i\right)\leq \sum_{i\geq 1}\mathop{\mathbb P}(A_i).

    20. Prove que se {\mathop{\mathbb P}(A_i)=1} para todo {i\geq 1} então {\mathop{\mathbb P}(\bigcap_{i\geq 1}A_i)=1}.

    21. (Continuidade de \mathbb{P}) Seja {A_n}, {n\geq 1}, uma sequência de eventos. Essa sequência é
      • crescente se {A_1\subset A_2 \subset \cdots \subset A_n\subset A_{n+1} \subset \cdots}. Nesse caso, definimos

        \displaystyle  \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \bigcup_{n\geq 1}A_n.

      • decrescente se {A_1\supset A_2 \supset \cdots \supset A_n\supset A_{n+1} \supset \cdots}. Nesse caso, definimos

        \displaystyle  \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \bigcap_{n\geq 1}A_n.

      Prove que em ambos os casos

      \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \mathop{\mathbb P}(A_n) = \mathop{\mathbb P}( \lim_{n\rightarrow\infty} A_n).

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