bc0406 – Função de distribuição acumulada e Variáveis aleatórias contínuas

Para caracterizar a distribuição de probabilidades de qualquer v.a. {X} é suficiente conhecermos as probabilidades dos eventos {[X \leq x]}, para todo {x\in{\mathbb R}}. A função de distribuição acumulada (f.d.a.) de {X} é a função {F_X\colon{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}} dada por

{F_X(x) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \mathop{\mathbb P}(X\leq x) }.

Se {X} é uma v.a. discreta então a funções de distribuição é dada pela função de massa de probabilidade

\displaystyle  F_X(x)=\sum_{x_i \leq x}f_X(x_i)

em que a soma é sobre todo {x_i} tal que {x_i \leq x}.

Observemos que {F_X(x)} está definida para todo real {x}. Também, é imediato da definição que

(1) {0\leq F_X(x) \leq 1},

Agora, observemos que se {x< y} então {[X\leq x] \subset [X\leq y]} logo {\mathop{\mathbb P}(X\leq x) \leq \mathop{\mathbb P}(X\leq y)} pela proposição 6, ou seja, {F_X(x) \leq F_X(y)}, resumindo

(2) {x<y \Longrightarrow F_X(x)\leq F_X(y)}

o que significa que {F_X} é não-decrescente.

Também valem:

(3) { \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1 \text{ e } \lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0};
(4) {F} é contínua à direta: {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+} F_X(x) = F_X(a)}, para todo {a\in{\mathbb R}}.

A notação {x \rightarrow a^+} significa que {x} tende a {a} pela direita ({x>a}). As quatro propriedades em destaque acima caracterizam uma função de distribuição, ou seja, qualquer {F} que satisfaz essas condições é a f.d.a. de alguma v.a. (Ref.: Barry James, Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário, Coleção Projeto Euclides).

As demonstrações das propriedades que envolvem limite dependem do exercício 21 (continuidade de \mathbb{P}) e não apresentaremos aqui.

Exemplo 67 Um caso bem simples de v.a. é {Y(\omega)=c}, algum {c\in{\mathbb R}} e todo {\omega\in\Omega}.

\displaystyle F_Y(x) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } x < c\\ 1, & \textrm{ se } x \geq c \end{cases}

grafico2

Exemplo 68 Consideremos uma moeda com probabilidade {p} de sair {\mathrm{Ca}}. Seja {Z\colon \Omega\rightarrow{\mathbb R}} dada por

\displaystyle Z(\mathrm{Ca})=1,\;Z(\mathrm{Co})=0

\displaystyle F_Z(x) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } x <0\\ 1-p & \textrm{ se } 0\leq x < 1\\ 1, & \textrm{ se } x \geq 1 \end{cases}

grafico3

Exemplo 69 No caso dos 3 lançamentos de uma moeda, se {X} é o número de caras

\displaystyle F_X(t) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } t <0\\ 1/8, & \textrm{ se } 0\leq t < 1\\ 1/2, & \textrm{ se } 1\leq t < 2\\ 7/8, & \textrm{ se } 2\leq t < 3\\ 1, & \textrm{ se } t \geq 3 \end{cases}

grafico1

Exemplo 70 Seja {F} dada por

\displaystyle F(x) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } x < a\\ \frac{x-a}{b-a}, & \textrm{ se } a\leq x < b\\ 1, & \textrm{ se } x \geq b \end{cases}

grafico4
{F} é contínua em toda a reta, portanto é continua a direita; {0\leq F(x)\leq 1} para todo {x}; os limites quando {x\rightarrow +\infty} e quando {x\rightarrow -\infty} são, respectivamente, {1} e {0}. Assim, essa função e uma f.d.a. de uma variável aleatória {U}.

Exemplo 71 Defina a v.a. {Y} por

\displaystyle Y(\omega)= \min\big\{U(\omega),\frac{b-a}2\big\}

em que {U} é a v.a. do exemplo anterior. Usando a definição de {Y}, é imediato que

\displaystyle \mathop{\mathbb P}\left( Y\leq \frac{b-a}2 \right)=1.

Para {x<(b-a)/2}, {Y(\omega)\leq x} se e só se {U(\omega)\leq x}, logo {F_Y(x)=F_U(x)} e o gráfico de {F_Y} é

grafico6

Mais propriedades de uma f.d.a.

Proposição 21 A função de distribuição acumulada de uma v.a. satisfaz

  1. {1 - F(a) = \mathop{\mathbb P} ( X >a)}, para todo {a\in{\mathbb R}};
  2. para quaisquer {a<b} temos {F(b) - F(a) = \mathop{\mathbb P} ( a < X \leq b)};
  3. {\mathop{\mathbb P}(X=a) = F(a) - F(a{}^{-})}, em que {F (a{}^{-}) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \lim_{x\rightarrow a^{-}} F (x)}, de modo que, {F} é contínua em {a} se, e só se, {\mathop{\mathbb P}(X=a)=0}.

Demonstração: Os dois primeiros itens são deixados como exercício. O último item precisa do exercício 21 (continuidade de \mathbb{P}) e não apresentaremos aqui. \Box

Observação 4 Se {X} é uma v.a. discreta então a funções de massa e de distribuição estão relacionadas por

\displaystyle  F_X(a)=\sum_{x_i \leq a}f_X(x_i) \qquad \mathrm{e} \qquad f_X(a) = F_X(a) - F_X(a^-).

Observação 5 As descontinuidades das funções de distribuição acumulada são do tipo salto. Se {F} é descontínua então o salto em {a} é de {\mathop{\mathbb P}(X=a) = F(a) - F(a{}^{-})}. No exemplo 72 acima, o salto em {x=2} é {7/8-1/2=3/8=\mathop{\mathbb P}(X=2)}. Notemos que a soma dos saltos de tamanho {\geq 1/n} não deve ser maior que {1}, portanto, há no máximo {n} desses saltos; desse fato podemos concluir que há um número enumerável de pontos de descontinuidade.

Exemplo 72 No caso dos 3 lançamentos de uma moeda, {X} é o número de caras

\displaystyle F_X(t) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } t <0\\ 1/8, & \textrm{ se } 0\leq t < 1\\ 1/2, & \textrm{ se } 1\leq t < 2\\ 7/8, & \textrm{ se } 2\leq t < 3\\ 1, & \textrm{ se } t \geq 3 \end{cases}

Usando as propriedades de uma função de distribuição temos, por exemplo

  • {\mathop{\mathbb P}(X > 2) = 1- F(2) = 1-7/8=3/8};
  • {\mathop{\mathbb P}(X>3) = 1-F(3) =0};
  • {\mathop{\mathbb P}( 0{,}5 < X \leq 2{,}5) = F(2{,}5) - F(0{,}5) = 7/8 - 1/8 = 3/4};
  • {\mathop{\mathbb P}(X=1) = F(1) - F(1{}^{-}) = 1/2-1/8 = 3/8};
  • {\mathop{\mathbb P}(X=1{,}8) = F(1{,}8) - F(1{,}8{}^{-}) = 1/2-1/2 = 0};
  • {\mathop{\mathbb P}(X=-1) = F(-1)-F(-1{}^{-}) = 0-0=0};
  • {\mathop{\mathbb P}(X=7) = F(7)-F(7{}^{-}) = 1-1=0}.

Exemplo 73 Para a v.a. {Y} dada por {Y(\omega)= \min\{Z(\omega),(b-a)/2\}} apresentada no exemplo 71 temos

\displaystyle \mathop{\mathbb P}\left(Y=\frac{b-a}2\right) =F_Y\left(\frac{b-a}2\right) - F_Y\left({\frac{b-a}2}^-\right)= \frac {a+b}{2(b-a)}.

Se {Y} fosse uma v.a. contínua esse valor deveria ser {0} (por quê?) Essa v.a. não é discreta porque sua imagem não é enumerável.

A seguir veremos outro tipo de váriável aleatória. Estudaremos dois tipos de variáveis aleatórias: as discretas e as contínuas. Lembrando os gráficos das f.d.a.’s dos exemplos 69, 70 e 71

distribs

o primeiro corresponde a uma v.a. discreta, o segundo a uma v.a. contínua e o terceiro corresponde a uma v.a. que não é discreta nem contínua.

No caso em que {\mathrm{Im}(X)} é não-enumerável não é suficiente conhecermos as probabilidades do eventos {[X=a]}. Aliás, quando {F} é contínua em {{\mathbb R}}, por exemplo, como no casos do exemplo 70 acima, temos {\mathop{\mathbb P}(X=a)=F(a)-F(a^-)} para todo {a\in {\mathbb R}} pelo item 3 da proposição 21.

— Variáveis aleatórias contínuas —

Uma v.a. {X} é variável aleatória contínua se

\displaystyle F_X(a) = \int_{-\infty}^a f_X(x)\,\mathrm{d}x\qquad (\forall a\in{\mathbb R})

para alguma função integrável {f\colon {\mathbb R}\rightarrow [0,+\infty)}. Essa função {f_X} é chamada de função de densidade de probabilidade (f.d.p).

Para nós, sempre valerá que uma v.a. contínua {X} admite uma f.d.p. {f} se a distribuição {F_X} é contínua e é derivável em todo ponto da reta exceto por um número enumerável deles, portanto, basta conhecer a f.d.p. de {X} para conhecer sua distribuição. Ademais, {f_X (x)= F_X'(x)}.

Exercicio 47 Mostre que para uma função integrável {f\colon {\mathbb R}\rightarrow [0,+\infty)} tal que {\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1} vale que {F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(u)\,\mathrm{d}u} satisfaz as quatro propriedades citadas acima que caracterizam uma função de distribuição.

Para uma v.a. contínua {X} a f.d.a. {F_X} é contínua em toda reta, portanto, temos {\mathop{\mathbb P}(X=a)=0} para todo {a\in{\mathbb R}}, logo

\displaystyle  P(a\leq X \leq b) = P(a\leq X < b) = P(a< X < b) = P(a < X \leq b)

e

{\displaystyle P(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_{-\infty}^b f_X(x)\,\mathrm{d}x - \int_{-\infty}^a f_X(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f_X(x)\,\mathrm{d}x .}

cont

{\mathop{\mathbb P}(a\leq X\leq b)=} área da região delimitada pelo gráfico e pelo eixo {x} no intervalo {[a,b]}; Disso, temos para {\varepsilon >0} pequeno

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}\left( a -\frac \varepsilon 2 < X < a+ \frac{\varepsilon }2 \right) = \int_{a -\frac \varepsilon 2}^{a+\frac{\varepsilon}2} f_X(x)\,\mathrm{d}x \approx \varepsilon f_X(a)

ou seja, {X} assume valor numa vizinhança de {a} de diâmetro {\epsilon} com probabilidade aproximadamente {\varepsilon f_X(a)}.

Retomando o exemplo 70, {Z} definida por

\displaystyle F_Z(x) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } x < a\\ \frac{x-a}{b-a}, & \textrm{ se } a\leq x < b\\ 1, & \textrm{ se } x \geq b \end{cases}

é contínua e tem derivada em todo ponto, exceto {a} e {b}, e temos {F_Z} dada pela integral de
{\displaystyle f(x) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } x < a \textrm{ ou } x> b\\ \frac{1}{b-a}, & \textrm{ se } a\leq x \leq b \end{cases} }

grafico5

Exemplo 74 Num jogo de dardos o alvo é composto de 3 círculos concêntricos de raios 1,2 e 3. Consideremos o centro desses círculos no ponto {(0,0)} do plano cartesiano

grafico7

Assuma que o dardo acerte qualquer ponto dentro do círculo vermelho, i.e.,

\displaystyle \Omega = \left\{ (x,y)\colon x^2+y^2 < 9 \right\}

e que a probabilidade de atingir qualquer ponto de uma região {A} é proporcional a área de {A},

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}(A) = \frac{\mathrm{Area}(A)}{9\pi^2}. \ \ \ \ \ (38)

Para cada {k=1,2,3}, considere as regiões

\displaystyle A_k \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \left\{(x,y)\colon (k-1)^2 \leq {x^2+y^2} < k^2 \right\}.

Se {X(\omega) = k} quando {\omega \in A_k} então {\mathop{\mathbb P}(X=k)=\mathop{\mathbb P}(A_k)=(2k-1)/9} e {X} tem distribuição acumulada

\displaystyle F_X(d) = \begin{cases} 0 , & \textrm{ se } d < 1\\ \frac{\lfloor d \rfloor^2}{9}, & \textrm{ se } 1\leq d < 3\\ 1, & \textrm{ se } d \geq 3 \end{cases}

onde {\lfloor d \rfloor} é o maior inteiro menor ou igual a {d}.

grafico8

Se {\omega =(x,y)\in\Omega} e {Y(\omega)= \sqrt{x^2+y^2}} é a distância do ponto atingido ao centro, a função de distribuição acumulada de {Y} é {F_Y(r) = r^2/9} se {0\leq r \leq 3}

cont2

Agora, suponha que o jogador erre o alvo com probabilidade {p}, para algum {p>0} fixo, caso acerte então vale a equação (38). A pontuação, caso acerte, é a distância ao centro e, caso erre o alvo, é {4}. Seja {Z} a v.a. da pontuação de um lance. Então

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}(Z\leq r) = \mathop{\mathbb P}(Z\leq r ~|~\text{acertou})\mathop{\mathbb P}(\text{acertou}) + \mathop{\mathbb P}(Z\leq r ~|~\text{errou})\mathop{\mathbb P}(\text{errou})

\displaystyle F_Z(r) = \begin{cases} 0 & \text{ se } r<0,\\ (1-p)F_Y(r) & \text{ se } 0 \leq r < 4,\\ 1 & \text{ se } r \geq 4.\\ \end{cases}

grafico10

— Esperança de v.a. contínuas —

Se {X} é uma v.a. com função de densidade de probabilidade {f_X} então o valor médio (ou valor esperado, ou esperança matemática) da v.a. {X} é

{\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X)\stackrel{\text{\tiny def}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} xf_X(x)\,\mathrm{d}x}

Observação 6 (uma justificativa informal para a definição de esperança) A definição de valor médio no caso discreto é intuitiva. No caso contínuo podemos justificar, ingenuamente, da seguinte maneira: Sejam {I_n=(y_n,y_{n+1}]}, para {n\in{\mathbb Z}}, uma coleção de intervalos centrados em {x_n} que particiona a reta e que, por simplicidade, supomos todos do mesmo comprimento {\varepsilon}. Definimos a v.a. discreta {Y} sobre o mesmo espaço amostral dada por

\displaystyle Y = \sum_n x_n 1_{[X\in I_n]}

que assume os valores {x_n} ({n\in{\mathbb Z}}). Assim {[Y=x_n] = [X\in I_n]} e a esperança de {Y} é

\displaystyle  \mathop{\mathbb E}(Y) =\sum_n x_n\mathop{\mathbb P}(Y=x_n) = \sum_n x_n\mathop{\mathbb P}(X\in I_n).

Notemos que se {\omega \in [X\in I_n]}, então {X(\omega)\in I_n} e {Y(\omega)=x_n}, logo

\displaystyle \big| Y(\omega) -X(\omega)\big| \leq \frac{ |y_{n+1}-y_n|}2 = \frac\varepsilon 2\quad (\forall \omega\in\Omega).

Portanto, a definição de esperança para a variável {X} deve satisfazer {|\mathop{\mathbb E}(X)-\mathop{\mathbb E}(Y)|\leq \frac\varepsilon 2}, logo {E(X)=\lim \mathop{\mathbb E}(Y)} quando {\varepsilon \rightarrow 0}, i.e.

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \displaystyle \mathop{\mathbb E}(X) &=& \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \sum_n x_n \mathop{\mathbb P}(y_n < X \leq y_{n+1}) \\&=& \displaystyle \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \sum_n x_n (F_X(y_{n+1})-F_X(y_n)) \\&=& \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x \,\mathrm{d}F_X \\&=& \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) \,\mathrm{d}x \end{array}

(lembremos que {F_X'=f_X}).

Exemplo 75 Seja {T} o tempo de vida útil de um equipamento eletrônico em horas. {T} tem f.d.p.

\displaystyle f(t) = \begin{cases} \frac{20.000}{t^3} & \text{ se } t>100\\ 0 & \text{caso contr\'ario.} \end{cases}

O tempo médio de vida é

\displaystyle  \mathop{\mathbb E}(T)= \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\,\mathrm{d}x = \int_{100}^{+\infty} \frac{20.000}{x^2}\,\mathrm{d}x = 200 \text{ horas.}

Exemplo 76 ({\mathop{\mathbb E}(X)=\infty}) Seja {X} uma variável com f.d.p.

\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{10}{x^2} & \text{ se }x>10\\ 0 & \text{ caso contr\'ario.} \end{cases}

{X} tem esperança

\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X) = \int_{10}^\infty x\frac{10}{x^2}\,\mathrm{d}x = \int_{10}^\infty \frac{10}{x}\,\mathrm{d}x = 10\ln(x)\Big|^{\infty}_{10} = \infty

Observação 7 No caso acima dizemos que a variável aleatória não tem esperança finita.

Os dois teoremas a seguir são muito úteis e pulamos as demonstrações por enquanto.

Teorema 22 Se {X} é uma variável aleatória com esperança finita e função de densidade de probabilidade {f_X} e {g} uma função a valores reais e contínua na reta, então {g(X)} é uma variável aleatória contínua e

{\displaystyle \mathop{\mathbb E}(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)\,\mathrm{d}x}

Corolario 23 (Linearidade da esperança) Para quaisquer {a,b\in{\mathbb R}}, vale {\mathop{\mathbb E}(aX+b) = a\mathop{\mathbb E}(X)+b}.

Demonstração: Basta tomar {g(x) =ax+b} no teorema. \Box

Teorema 24 Se {X, Y} são variáveis aleatórias contínuas com esperança finita então

{\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X+Y) = \mathop{\mathbb E}(X)+ \mathop{\mathbb E}(Y)}

Exemplo 77 Se {Z} é uma v.a. com f.d.p

\displaystyle  f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}3, & \text{ se } -1<x<2\\ 0 & \text{ caso contr\'ario.} \end{cases}

e {g\colon {\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}} é dada por {g(x)=4x+1} então

\displaystyle  \mathop{\mathbb E}(g(Z)) = \mathop{\mathbb E}(4Z+3)= \int_{-1}^2 (4x+3)\frac{x^2}3\,\mathrm{d}x = 8

— Variância e desvio padrão —

A variância da v.a. contínua {X} é dada pelo valor esperado de {g(X)=(X-\mathop{\mathbb E}(X))^2}, sempre que {\mathop{\mathbb E}(X)<\infty}

{\displaystyle \mathrm{Var}(X) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \mathop{\mathbb E}(X-\mathop{\mathbb E}(X))^2 = \mathop{\mathbb E}(X^2) - (\mathop{\mathbb E}(X))^2}

donde temos

\displaystyle  \mathrm{Var}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mathop{\mathbb E}(X))^2f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{-\infty}^{+\infty} x^2f(x)\,\mathrm{d}x - \left(\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\,\mathrm{d}x\right)^2

O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da variância

{\displaystyle\sigma_X = \sqrt{\mathrm{Var} (X )}. }

Exercicio 48 Num jogo de apostas, se o ganho é {x} e a perda é {y} em cada rodada, então o ganho médio é

\displaystyle x\cdot \mathop{\mathbb P}(\text{ocorrencias favoraveis}) + y\cdot\mathop{\mathbb P}(\text{ocorrencias desfavoraveis}).

Uma v.a. {U} não-negativa em função de distribuição acumulada {F} e densidade {f = F'}. Um jogo lhe é oferecido da seguinte forma: você pode escolher um número não negativo {c}, se {U> c} então você ganha a quantidade {c}, caso contrário, você não ganha nada. Como exemplo, suponha que {U} é a altura (medida em cm) da próxima pessoa entrando em uma estação ferroviária pública específica. Se você escolher {c = 100}, então você quase certamente ganha essa quantia. Um valor de {c = 200} dobraria a quantia se você ganhar, mas reduz drasticamente a sua probabilidade de ganhar. Encontre uma equação para caracterizar o valor de {c} que maximiza o ganho médio.

— Exercícios —

  1. Prove que {1 - F_X(a) = \mathop{\mathbb P} ( X >a)}, para todo {a\in{\mathbb R}}.
  2. Prove que {F_X(b) - F_X(a) = \mathop{\mathbb P} ( a < X \leq b)} para quaisquer {a<b}.
  3. Seja {X} uma v.a. e {a,b\in{\mathbb R}}. Defina a v.a. {Y} por {Y(\omega)= aX(\omega)+b}, para todo {\omega\in\Omega}. Se {F} é função de distribuição acumulada de {X}, determine a função de distribuição acumulada de {Y}.

  4. Prove que se {X} é v.a. discreta com função de massa de probabilidade {f} então

    \displaystyle \mathop{\mathbb P}(a\leq X\leq b)= \sum_{a\leq x\leq b} f(x)

    onde a soma é sobre todo {a\leq x\leq b} tal que {f(x)>0}.

  5. Prove que se {a<b} e {Y} é v.a. contínua com função de densidade de probabilidade {f} então

    \displaystyle  \mathop{\mathbb P}(a< X < b) =\mathop{\mathbb P}(a\leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

  6. Determine o valor de {c} para que cada uma das seguintes funções seja uma função (de massa ou densidade) de probabilidade
    1. {f(x) = c(x^2+4)} para {x=0,1,2,3}, caso contrário {f(x)=0};
    2. {f(x) = c\binom 2x\binom 3{3-x}}, para {x=0,1,2}, caso contrário {f(x)=0};
    3. {f(x) = c\sqrt{x}}, para {0<x<1}, caso contrário {f(x)=0};

  7. O número de horas, em unidades de 100 horas, que uma família usa o aspirador de pó é uma v.a. com f.d.p.

    \displaystyle f(x) = \begin{cases} x, & \text{ se }0<x<1;\\ 2-x,& \text{ se }1\leq x <2;\\ 0,& \text{ caso contrario.} \end{cases}

    Determine a probabilidade com que uma família use o aspirador

    1. menos de 120 horas;
    2. entre 50 e 100 horas;
    3. o valor médio do tempo de uso.

  8. Um aluno estuda 12 exercícios, dos quais o professor vai escolher 6 aleatoriamente para uma prova. O estudante sabe resolver 9 dos 12 problemas. Seja {X} o número de exercícios resolvidos por ele na prova. (a) Qual a distribuição de X? (b) Calcule a probabilidade de que o aluno resolva ao menos 5 exercícios da prova.
  9. Uma urna contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são retiradas simultaneamente. Obtenha a função de probabilidade e faça o gráfico da função de distribuição das seguintes variáveis aleatórias: (a) o maior número sorteado. (b) a soma dos números retirados.
  10. Um carregamento com 7 televisores contém dois aparelhos defeituosos. Um hotel compra 3 desses 7 aparelhos ao acaso. Se {X} é o número de aparelhos comprados,
    1. determine a função de probabilidade de {X};
    2. determine a função de distribuição acumulada de {X};
    3. usando a f.d.a, compute {\mathop{\mathbb P}(X=1)} e {P(0<X\leq 2)}.
  11. Seja {X} o número de lançamentos de uma moeda até sair cara. Suponha que {\mathop{\mathbb P}(\mathrm{Ca}) = p} para algum {p\in (0,1)} fixo. Determine a função de massa de probabilidade de {X}, a função de distribuição de probabilidade de {X}.

  12. Uma loja de comércio eletrônico envia emails com ofertas especiais a seus clientes cadastrados. Suponha que, após o recebimento de uma mensagem, a proporção de clientes que efetivam uma compra é uma variável aleatória com densidade dada por {f (x) = c x (1 - x)^5}, para {0 \leq x \leq 1} e {f(x)=0} para os outros valores de {x}. (a) Encontre o valor de {c}. (b) Calcule a probabilidade de que um email resulte em alguma compra para mais de 50% dos seus destinatários

  13. Se o lucro de um vendedor de automóveis, em unidades de {\$5.000} é, por automóvel vendido, uma v.a. {X} que tem f.d.p

    \displaystyle f(x)= \begin{cases} 2(1-x), & \textrm{ se }0<x<1\\ 0 & \textrm{ caso contr\'ario } \end{cases}

    determine o lucro médio por automóvel.

    Qual é o lucro médio se o lucro por automóvel vendido é {g(X)=X^2}? Determine {\mathrm{Var}(g(X))}

  14. O tempo, em minutos, para a reação humana ao gás lacrimejante tem f.d.p.

    \displaystyle f(x)= \begin{cases} \frac 14 \mathrm{e}^{-x/4} & \textrm{ se }x\geq 0\\ 0 & \textrm{ caso contr\'ario.} \end{cases}

    Determine o tempo médio para reação. Determine {\mathop{\mathbb E}(X^2)} e {\mathrm{Var}(X)}.

  15. Sejam {X_1} e {X_2} variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com {\mathop{\mathbb P} (X_1 = 1) = \mathop{\mathbb P} (X_1 = -1) = 1/2}. Considere {X_3 = X_1 X_2} . As variáveis aleatórias {X_1} , {X_2} e {X_3} são independentes? São independentes duas a duas?
  16. Seja {Y} uma v.a. não-negativa. Prove que se {Y} assume valores inteiros (portanto é discreta) então {\mathop{\mathbb E}(Y) = \sum_{x}\mathop{\mathbb P}(Y\geq x)}. Prove que se {Y} é contínua então {\mathop{\mathbb E}(Y) = \int_0^\infty \mathop{\mathbb P}(Y>x)\,\mathrm{d}x}.

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