bc0406 – Principais modelos contínuos

Retomemos alguns fatos. Uma variável aleatória {X} é contínua se sua função de distribuição acumulada {F} pode ser escrita como { F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)\mathrm{d}t} para alguma função integrável {f} chamada função de densidade de probabilidade de {X}. Ademais valem

  1. {f(x) \geq 0 } para todo {x\in {\mathbb R}};
  2. {\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x = 1};
  3. {\displaystyle \mathop{\mathbb P}(a\leq X\leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)} para todo {a\leq b};
  4. { \mathop{\mathbb P}(X=a) = 0}, para qualquer {a\in{\mathbb R}}.

O valor esperado de {X} e a variância de {X} são dados, respectivamente, por

\displaystyle  \mathop{\mathbb E}(X) =\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\mathrm{d}x

\displaystyle  \mathrm{Var}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mathop{\mathbb E}(X))^2f(x)\,\mathrm{d}x = \mathop{\mathbb E}(X^2) - \mathop{\mathbb E}(X)^2.

Distribuição uniforme contínua: Uma v.a. contínua {X} é uniforme no intervalo {[a,b]}, para {a<b}, se sua f.d.p. é

\displaystyle  f(x)= \begin{cases} \frac 1{b-a}, &\textrm{ se } x\in[a,b]\\ 0 &\textrm{caso contr\'ario} \end{cases}

e denotamos esse fato por {X \sim \mathrm{Uniforme}([a,b])}.

Nesse caso, a probabilidade de {X} estar num subintervalo de {[a,b]} é proporcional ao comprimento de tal subintervalo; de fato, para {y<z} reais

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}(y\leq X\leq z) = \int_y^z \frac 1{b-a}\,\mathrm{d}x = \frac {z-y}{b-a}.

Exemplo 78 Num teste, tubos de PVC de {6\,\mathrm{m}} são submetidos a grande pressão d’água até que o primeiro vazamento ocorra. A distância do início do tubo até o vazamento é uniformemente distribuída. Qual a probabilidade de que o vazamento esteja a no máximo {1\,\mathrm{m}} das extremidades?

Seja {X\sim\mathrm{Uniforme}([0,6])} a distância do início do tubo até o vazamento. A probabilidade procurada é

\displaystyle  \mathop{\mathbb P} \big( [0\leq X\leq 1] \cup [5\leq X\leq6]\big) = \mathop{\mathbb P}( 0\leq X\leq1 ) + \mathop{\mathbb P}(5\leq X\leq6) = \int_0^1 \frac 16 \mathrm{d}x + \int_5^6 \frac 16 \mathrm{d}x = \frac 13

que corresponde à área da região destacada em cinza

uniforme

O valor médio de {X \sim \mathrm{Uniforme}([a,b])} é

\displaystyle  \mathop{\mathbb E}(X) = \int_a^bx\frac1{b-a}\mathrm{d}x = \frac{a+b}2

a variância

\displaystyle  \mathrm{Var}(X) = \int_a^b x^2 \frac1{b-a}\mathrm{d}x - \left(\frac{a+b}2 \right)^2= \frac{(b-a)^2}{12}

de modo que o desvio padrão é { \approx 0{,}29 (b-a).}

Exercicio 49 Determine a f.d.a. de {X\sim \mathrm{Uniforme}([a,b])} e esboce o seu gráfico.

Distribuição Exponencial: Uma v.a. contínua {X} é exponencial com parâmetro {\lambda>0}, e denotamos esse fato por

\displaystyle X \sim \mathrm{Exponencial}(\lambda)

se sua função de densidade é

\displaystyle  f_X(x)= \begin{cases} \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}, &\textrm{ se } x\geq 0\\ 0 &\textrm{caso contr\'ario.} \end{cases}

A função de distribuição é

\displaystyle  F_X(t) = \int_0^t \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}

portanto {\mathop{\mathbb P}(X > a) = \mathrm{e}^{-\lambda a}}.

Variáveis aleatórias exponenciais são muitas vezes utilizados para modelar a distribuição da quantidade de tempo decorrido até que algum evento particular ocorra. Por exemplo, seja {T\sim \mathrm{Exponencial}(0{,}2)} o intervalo de tempo (em {\mathrm{min}}) entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa.

A probabilidade de haver uma emissão em até {2\, \mathrm{min}} é { \mathop{\mathbb P}(T\leq 2) =1-\mathop{\mathbb P}(T >  2) = 1 - \mathrm{e}^{0{,}2\cdot 2} \approx 0{,}33} ou, de outro modo

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}(T<2) = \int_0^2 0,2\mathrm{e}^{-0,2x} \,\mathrm{d}x= 1 - \mathrm{e}^{0{,}2\cdot 2}

que corresponde a área da região em cinza no gráfico

exponencial

A probabilidade do intervalo ser maior que {7} dado que foi maior que { 5}

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \displaystyle \mathop{\mathbb P}(T > 7~|~T> 5) &=& \frac{\mathop{\mathbb P}( [T > 7] \cap [T > 5 ])}{\mathop{\mathbb P}(T > 5)} = \frac{\mathop{\mathbb P}(T > 7)}{\mathop{\mathbb P}(T > 5)}\\ \displaystyle &=& \frac{\mathrm{e}^{-0{,}2\cdot 7}}{\mathrm{e}^{-0{,}2\cdot 5}}= \mathrm{e}^{-0{,}2\cdot 2} = \mathop{\mathbb P}(T > 2) \end{array}

Dizemos que uma variável aleatória {T} é sem memória se

\displaystyle   \mathop{\mathbb P}(T> s+t ~|~T>t) = \mathop{\mathbb P}(T>s) \ \ \ \ \ (41)

para quaisquer {s,t\geq 0}. Se {X} tem distribuição exponencial então é sem memória. Por outro lado, uma variável aleatória contínua sem memória tem distribuição exponencial.

Para ver como isso funciona, imagine que no instante {t_0=0} ligamos um despertador que irá tocar depois de um tempo {T} que é distribuído exponencialmente com parâmetro {\lambda}. Suponha que tivemos que sair e ao voltar, no instante {t}, descobrimos que o despertador ainda não tocou. Seja {S} o tempo que decorre partir de então (i.e, observado {[T>t]}) até o despertador tocar.

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}(S>s ~|~T>t) = \mathop{\mathbb P}(T> s+t ~|~ T> t)

que por (41) é { \mathop{\mathbb P}(T> t)}. A coisa importante de se notar é que a distribuição do tempo até ocorrer o evento não depende de {t_1}. A distribuição exponencial é única com essa propriedade.

Exercicio 50 Prove que {T\sim \mathrm{Exponencial}(\lambda)} é sem memória.

Exemplo 79 Suponha que um sistema contenha componentes cujo tempo até falhar é {T\sim\mathrm{Exponencial}(1/5)} em anos. Se 5 desses componentes são instalados em cada sistema, qual é a probabilidade de que pelo menos 2 componentes ainda estejam funcionando após 8 anos?

Se {X} é a quantidade de componentes funcionando após 8 anos então {X\sim \mathrm{Binomial}(5,p)} com {p= \mathop{\mathbb P}(T > 8) = \mathrm{e}^{-8/5} \approx 0{,}2}, assim

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}(X\geq 2)= \sum_{x=2}^5 \mathrm{bi}_{5,p}(x) = 1- \sum_{x=0}^1 \mathrm{bi}_{5,p}(x) \approx 0{,}26.

A média de {T\sim \mathrm{Exponencial}(\lambda)} é

\displaystyle  \mathop{\mathbb E}(T) = \int_0^\infty \lambda x \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}x = \lambda\left( -\frac{\mathrm{e}^{-\lambda x}(\lambda x+1)}{\lambda^2}\right)\Bigg|_{0}^{\infty} = \frac 1{\lambda},

e a variância

\displaystyle  \sigma^2 = \mathrm{Var}(T) = \int_0^\infty \lambda x^2 \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}x - \left( \frac 1{\lambda} \right)^2 = \frac 1{\lambda^2}.

— Distribuição Normal —

A v.a. {X} tem distribuição normal com parâmetros {\mu} e {\sigma^2}, abreviado por {X\sim \mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}, se sua função densidade de probabilidade é dada por

\displaystyle  f_X(x) = \frac 1{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

para todo {x\in{\mathbb R}}.

normal

Propriedades da Normal:

  • {\mathop{\mathbb E}(X) = \mu} e {\mathrm{Var}(X) = \sigma^2};
  • {f_X(x) \rightarrow 0} quando {x\rightarrow \pm \infty};
  • {\mu} é ponto de máximo de {f_X (x)} e {\mu - \sigma} e {\mu + \sigma} são pontos de inflexão de {f_X(x)};
  • a curva é simétrica com relação a {x=\mu};

Exercicio 51 Prove essas propriedades.

Proposição 26 Se {X\sim \mathcal{N}(\mu;\sigma^2)} então {aX+b \sim \mathcal{N}(a\mu+b;a^2\sigma^2)}, para qaisquer {a,b\in{\mathbb R}}.

Demonstração: Escrevemos {Y=aX+b} e temos

\displaystyle F_Y(x) = \mathop{\mathbb P}(Y\leq x) = \mathop{\mathbb P}(aX+b\leq x) = \mathop{\mathbb P}\left( X\leq \frac{x-b}a \right) = F_X\left( \frac{x-b}a \right)

se {a>0}, logo a densidade de {Y} é

\displaystyle F_y'(x) = \frac 1a F_X '\left( \frac{x-b}a \right) = \frac 1{a\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{((x-b)/a-\mu)^2}{2\sigma^2}} = \frac 1{a\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-(b+a\mu))^2}{2a^2\sigma^2}}

portanto {Y\sim \mathcal{N} (a\mu+b;a^2\sigma^2)}, caso {a<0} a mesma conclusão vale e deixamos a verificação como exercício. \Box

O gráfico da densidade de duas normais com médias diferentes mas mesma variância é exibido a seguir

norm-mu

e se as médias são iguais mas variâncias distintas:

norm-sigma

Distribuição normal padrão {\mathcal{N}(0;1)}:
O problema com o qual nos deparamos agora é que

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}(a<X<b) = \int_a^b \frac 1{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}x

não tem solução analítica. Entretanto, sabemos que para {a,b\in{\mathbb R}}

\displaystyle  X\sim \mathcal{N}(\mu;\sigma^2) \Longrightarrow aX+b \sim \mathcal{N}(a\mu+b;a^2\sigma^2)

de modo que se tomarmos {a= 1/\sigma} e {b=-\mu/\sigma} temos

\displaystyle  X\sim \mathcal{N}(\mu;\sigma^2) \Longrightarrow \frac{X-\mu}\sigma \sim \mathcal{N}\left( \frac 1\sigma \mu - \frac \mu\sigma ; \left(\frac 1\sigma\right)^2\sigma^2 \right)

ou seja, definindo a v.a. padronizada {Z} por

\displaystyle  Z= \frac{X-\mu}\sigma

temos {Z\sim \mathcal{N}(0;1)}, portanto,

{\displaystyle \mathop{\mathbb P} (a < X < b) = \mathop{\mathbb P} \left(\frac{a-\mu}{\sigma} < \frac{X-\mu}\sigma < \frac{b-\mu}{\sigma} \right) = \mathop{\mathbb P} \left(\frac{a-\mu}{\sigma} < Z < \frac{b-\mu}{\sigma} \right)}

e, dessa forma, podemos usar uma tabela com a f.d.a.de {Z\sim\mathcal N(0;1)}

\displaystyle  \Phi(x) = \mathop{\mathbb P}(Z\leq x) =\int_{-\infty}^x \frac 1{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-{t^2}/{2}} \,\mathrm{d}t

para determinar a f.d.a. de {\mathcal N(\mu;\sigma^2)} para quaisquer parâmetros {\mu} e {\sigma} (é costume usar {\Phi(x)} para denotar a f.d.a. de uma v.a. com distribuição normal).

Para {Z\sim \mathcal{N}(0;1)}, a tabela que temos é da forma

{x} 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 {\cdots}
{\cdots} {\cdots} {\cdots} {\cdots} {\cdots} {\cdots} {\cdots}
0,3 {\cdots} {\cdots} {0,6255} {\cdots} {\cdots} {\cdots}
{\cdots} {\cdots} {\cdots} {\cdots} {\cdots} {\cdots} {\cdots}

e para calcularmos {\mathop{\mathbb P} (Z\leq 0,32)} decompomos {0{,}32 = 0{,}3 + 0{,}02}, em seguida {\mathop{\mathbb P} (Z\leq 0,32)} é lido na linha indexada por {0{,}3} com a coluna indexada por {0{,}02}, no caso {\mathop{\mathbb P} (Z\leq 0,32)= 0,6255}.

Distribuição normal padrão {\mathcal{N}(0;1)} – Tabela f.d.a.

{x} 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

Vejamos mais alguns exemplos de consulta à tabela da distribuição normal

  1. quanto é {\mathop{\mathbb P} (0<Z\leq 1{,}71)}?

    {\mathop{\mathbb P} (0< Z\leq 1{,}71) = \mathop{\mathbb P} (Z \leq 1{,}71) - \mathop{\mathbb P} ( Z<0) = 0{,}9564 - 0{,}5 = 0{,}4564}

  2. quanto é {\mathop{\mathbb P} (0{,}32 \leq Z \leq 1{,}71)}?

    {\mathop{\mathbb P} (0{,}32 \leq Z \leq 1{,}71) = \mathop{\mathbb P} (Z \leq 1{,}71) - \mathop{\mathbb P} ( Z < 0{,}32 ) = 0{,}9564 - 0{,}6255 =0{,}3309}

  3. quanto é {\mathop{\mathbb P} ( Z \leq - 1{,}71)}?

    {\mathop{\mathbb P} ( Z \leq - 1{,}71) = \mathop{\mathbb P}( Z \geq 1{,}71 ) = 1- \mathop{\mathbb P}( Z < 1{,}71) = 1- 0{,}9564 = 0{,}0436}

  4. quanto é {\mathop{\mathbb P} ( -1{,}71 \leq Z \leq 1{,}71 )}?

    {\mathop{\mathbb P} ( -1{,}71 \leq Z \leq 1{,}71 ) = \mathop{\mathbb P}( Z \leq 1{,}71 ) - \mathop{\mathbb P}( Z < - 1{,}71) = 0{,}9564 - 0{,}0436 = 0{,}9128}

Ou seja, genericamente, se { Z\sim \mathcal{N}(0;1)} então para {y\geq x \geq 0} reais temos

  • {\mathop{\mathbb P}(Z\leq x) = \Phi(x)}
  • {\mathop{\mathbb P}(y\leq Z\leq x) = \Phi(x) - \Phi(y)}
  • {\mathop{\mathbb P}(Z\leq -x) = \Phi(-x) =1 - \Phi(x)}
  • {\mathop{\mathbb P}(-x\leq Z\leq x) = \Phi(x) - \Phi(-x) = 2\Phi(x)-1}

Como encontrar o valor {z} da distribuição {\mathcal{N}(0;1)} tal que {\mathop{\mathbb P}(Z \leq z) = 0,975}?

Consultando a parte relevante da tabela

{x} 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817


obtemos {z=1,96}.

Qual é o {z} tal que {\mathop{\mathbb P}(0< Z \leq z) = 0,4664}? Como da tabela determinamos probabilidade de forma {\mathop{\mathbb P}( Z \leq z)} basta lembrar que, por simetria {\mathop{\mathbb P}(Z \leq 0)=0,5} logo, se somarmos {0,5 + 0,4664} temos {\mathop{\mathbb P}( Z \leq z) = 0,5 + 0,4664}, portanto {z = 1{,}83}.

O {z} tal que {\mathop{\mathbb P}( Z \geq z) = 0,0228 } e determinado por

\displaystyle  1 - 0,0228 = 0,9772 \Longrightarrow z = 2

Exemplo 80 O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal, com média {120\,\mathrm{min}} e desvio padrão {15\,\mathrm{min}}.

  1. Qual é a probabilidade com que um candidato termine o exame antes de 100 minutos?
  2. Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?
  3. Qual é o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame?

Se {X} é o tempo gasto no exame vestibular, então {X \sim \mathcal{N}(120; 15^2)} logo

\displaystyle  \mathop{\mathbb P} ( X<100 ) = \mathop{\mathbb P} \left(Z \leq \frac{100-120}{15} \right) = \mathop{\mathbb P} ( Z\leq -1{,}33) = 1 - \mathop{\mathbb P} ( Z < 1{,}33)

usando a tabela {1 - \mathop{\mathbb P} ( Z < 1,33) = 1 - 0,9082 = 0{,}0918}.

Para determinar o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado, devemos encontrar {x} tal que {\mathop{\mathbb P}( X < x) = 0{,}95}, ou seja, tal que

\displaystyle \mathop{\mathbb P}\left( Z \leq \frac{x-120}{15}\right) = 0{,}95.

Pela tabela {\mathop{\mathbb P}( Z \leq 1{,}64 )= 0{,}95} portanto

\displaystyle  \frac{x-120}{15} = 1{,}64

ou seja {x=144{,}6\,\mathrm{min}}.

O intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame e definido por

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}(a\leq X\leq b) =0{,}8 \Leftrightarrow \mathop{\mathbb P}\left(\frac{a-120}{15} \leq Z \leq \frac{b-120}{15} \right) =0{,}8

Pela tabela {\mathop{\mathbb P}( -1{,}28 \leq Z \leq 1{,}28 ) =0{,}80}, portanto {a=100{,}8} e {b=139{,}2} minutos.

Exemplo 81 Um sistema considera que um sinal digital será transmitido quando a tensão exceder {0,9\,\mathrm{V}}. Na detecção do sinal o ruído tem distribuição {\mathcal{N}(0;0{,}45)}. Qual a probabilidade de detectar um sinal quando nada tiver sido enviado?

Se {R\sim \mathcal{N}(0;0{,}45)} é a tensão do ruído, então

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}( R > 0{,}9) = \mathop{\mathbb P}\left( \frac{R}{0{,}45} > \frac{0{,}9}{0{,}45}\right) = \mathop{\mathbb P}(Z>2) = 1 - 0{,}97725 = 0{,}02275.

O intervalo central que inclui 99% de todas as leituras de ruído é dado por {x} tal que

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}( -x < R < x) = \mathop{\mathbb P} \left( \frac{-x}{0{,}45} < \frac{R}{0{,}45} < \frac{x}{0{,}45} \right)\\ \mathop{\mathbb P} \left( \frac{-x}{0{,}45} < Z < \frac{x}{0{,}45} \right) = 0{,}99 .

De acordo com a tabela, {x/0{,}45 = 2{,}58}, ou seja, {x=1{,}16.} Suponha que quando um sinal é transmitido a média da v.a. {R} mude para {1{,}8\,\mathrm{V}}. Qual a probabilidade do sinal não ser detectado? Seja {S} a tensão quando um sinal é transmitido.

\displaystyle  \mathop{\mathbb P}( S<0{,}9) = \mathop{\mathbb P} \left( \frac{S-1{,}8}{0{,}45} < \frac{0{,}9-1{,}8}{0{,}45} \right) = \mathop{\mathbb P}(Z<-2) = 0{,}02275.

Essa é a probabilidade com que um sinal é perdido.

Exercício 52 Prove que {X\sim \mathcal{N}(0;1)} tem média {0} e variância {1}. Deduze desse fato a média e a variância de {Y\sim \mathcal{N}(\mu;\sigma^2)}.

Concentração em torno do média: Sejam {k \in\mathbb{N}}, {X\sim \mathcal{N}(\mu;\sigma^2)} e {Z= (X-\mu)/\sigma \sim \mathcal{N}(0;1)} então

\displaystyle \mathop{\mathbb P}(\mu - k\sigma \leq X \leq \mu + k\sigma ) = \mathop{\mathbb P}( -k \leq Z \leq k)= \mathop{\mathbb P} (Z < k) - \mathop{\mathbb P}( Z < -k).

  • Para {k=1}, {\mathop{\mathbb P}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma ) = \mathop{\mathbb P}( -1 \leq Z \leq 1) = 0{,}682}.

  • Para {k=2}, {\mathop{\mathbb P}(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma ) = \mathop{\mathbb P}( -2 \leq Z \leq 2) = 0{,}954}.

  • Para {k=3}, {\mathop{\mathbb P}(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma ) = \mathop{\mathbb P}( -3 \leq Z \leq 3) = 0{,}997}.

Screenshot from 2014-11-28 20:48:08

— Exercícios —

  1. Um fator importante no combustível sólido de um míssil é a distribuição do tamanho de partículas, partículas grandes podem acarretar sérios problemas. Dos dados de produção foi determinado que o tamanho (em {\mathrm{\mu m}}) das partículas é caracterizada por

    \displaystyle f(x) = \begin{cases} 3x^{-4} & \textrm{ se } x>1;\\ 0, & \textrm{ caso contr\'ario.} \end{cases}

    Verifique se essa é uma f.d.p. válida. Determine a f.d.a. {F}. Qual é a probabilidade de que uma partícula aleatória exceda {4\,\mu m}?

  2. Se {Y} tem distribuição uniforme no intervalo {(0, 5)}, qual é a probabilidade de que as raízes da equação {4 x^2 + 4 x Y + Y + 2 = 0} sejam ambas reais?
  3. Um casal combina de se encontrar em certo local perto das 12:30 h. Suponha que o homem chega em uma hora uniformemente distribuída entre 12:15 h e 12:45 h e a mulher, independentemente, chega em uma hora uniformemente distribuída entre 12 h e 13 h. Encontre as probabilidades de que (a) o primeiro a chegar não espere mais que 5 minutos pelo segundo. (b) a mulher chegue primeiro.
  4. Para {X\sim\mathcal{N}(10,35)} calcule
    1. {\mathop{\mathbb P}(X>5)}
    2. {\mathop{\mathbb P}(4<X<16)}
    3. {\mathop{\mathbb P}(X<8)}
    4. {\mathop{\mathbb P}(X<20)}
    5. {\mathop{\mathbb P}(X>16)}
  5. Se {X} tem distribuição normal com média {0,5} e {P(X>9)=0,2}, qual é o valor de {\mathrm{Var}(X)} aproximadamente?
  6. O tempo em horas para a manutenção de uma máquina é uma v.a. com distribuição {\mathrm{Exp}(1/2)}.
    1. Qual é a probabilidade com que um reparo dure mais de 2 horas?
    2. Qual é a probabilidade com que um reparo dure mais de 10 horas dado que sua duração seja superior a 9 horas?
  7. Em um processo industrial, o diâmetro de um rolamento é uma parte importante. O comprador determina que as especificações do diâmetro sejam {3\pm0,01\,\mathrm{cm}} e nenhuma peça fora da especificação será aceita. Sabe-se que o diâmetro do rolamento tem distribuição {\mathcal{N}(3,0;0,005^2)}. Em média, quantos rolamentos serão inutilizados?
  8. Calibradores são usados para rejeitar componentes de certa dimensão fora da especificação {1,5\pm d}. Essa medição é distribuída com média {1,5} e desvio-padrão {0,2}. Determine o valor par {d} de modo que as medições cubram {95\%} das medições.
  9. Certa máquina fabrica resistores elétricos com uma resistência média de {40\,\mathrm{ohms}} e desvio-padrão de {2\,\mathrm{ohms}}. Supondo que a resistência siga uma distribuição normal e que pode ser medida em qualquer grau de acuidade, qual é a porcentagem de resistores que terão uma resistência maior que {43\,\mathrm{ohms}}.
  10. A nota média de um exame é {74} e o desvio-padrão {7}. Se {12\%} da classe recebe A e as notas são ajustadas para seguir um distribuição normal qual é a menor nota a receber um {A} e a mais alta a receber um {B}?

  11. Seja {X} uma v.a. contínua que interpretamos como a vida útil (tempo) de um item, sejam {F} e {f} a f.d.a. e f.d.p. de~{X}, respectivamente. A taxa de falhas é a função definida por

    \displaystyle \lambda(t) = \frac{f(t)}{1-F(t)}.

    De um argumento que mostra que {\lambda} pode ser interpretada como a probabilidade (condicionada a idade) de que um item com idade {t} apresente falha (i.e., {\mathop{\mathbb P}(t<X<t+\Delta t~|~X>t)}. Veja (38)).

    Determine {\lambda(t)} no caso {X\sim \mathrm{Exp}(\alpha)}.

  12. Sejam {X_1} e {X_2} v.a. independentes exponencialmente distribuídas com parâmetros {\lambda_1} e {\lambda_2}, respectivamente. Mostre que {min\{X_1,x_2\}} é exponencialmente distribuída com parâmetro {\lambda_1+\lambda_2}.

  13. Em um julgamento de paternidade, um perito atesta que a extensão em dias da gestação humana segue a distribuição {\mathcal{N}(279;100)}. O réu é capaz de provar que estava fora do país durante um período que começou 290 dias antes do nascimento da criança e terminou 240 dias depois do nascimento. Se o réu é de fato o pais da criança, qual é a probabilidade com que mão possa ter tido uma gestação muito longa ou muito curta indicada pela testemunha?
  14. Uma prova é considerada boa se a distribuição das notas daqueles que participaram segue, aproximadamente, uma normal. O professor usa as notas para estimar {\mu} e {\sigma} e atribui A para aqueles com nota superior a {\mu +\sigma}, {B} para aqueles com nota entre {\mu} e {\mu+\sigma} {C} para aqueles com nota entre {\mu-\sigma} e {\mu}, {D} para aqueles com nota entre {\mu-2\sigma} e {\mu-\sigma} e {E} para aqueles com nota abaixo de {\mu-2\sigma}. Qual é a porcentagem da classe que recebe cada um dos conceitos?

  15. Defina uma família de eventos {E_a} para cada {a\in(0,1)}, com a propriedade {\mathop{\mathbb P}(E_a)=1} para todo {a} mas {\mathop{\mathbb P}\big(\bigcap_a E_a)=0}.(dica: defina {E_a} em termos de {X\sim\mathrm{Uniforme}([0,1])}.)
  16. A mediana de uma v.a. com f.d.a {F} é o valor {m} tal que {F(m)=\frac 12}. Determine a mediana de {X} quando

    1. {X\sim\mathrm{Uniform}e([a,b])}
    2. {X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}
    3. {X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)}.

Uma resposta em “bc0406 – Principais modelos contínuos

  1. Calibradores são usados para rejeitar componentes de certa dimensão fora da especificação {1,5\pm d}. Essa medição é distribuída com média {1,5} e desvio-padrão {0,2}. Determine o valor par {d} de modo que as medições cubram {95\%} das medições.
    Como é a resolução dessa questão?

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