Probabilidade, introdução

Versão revisada nesse link

O problema de Monty Hall é um problema que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos chamado Let’s Make a Deal, exibido na década de 1970. O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas a um concorrente, sabendo que atrás de uma delas, escolhida ao acaso, está um carro e que as outras duas têm um bode. O protocolo da brincadeira é:

Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta (que ainda não é aberta);
em seguida Monty Hall abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo que ela esconde um bode;
em seguida, com duas portas fechadas apenas, e sabendo que o carro está atrás de uma delas, o apresentador oferece ao concorrente a oportunidade de trocar de porta.
O concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo se muda para a outra porta que ainda está fechada;
feita a escolha, o apresentador abre a porta escolhida e o concorrente leva o prêmio escondido pela porta.

O problema é determinar a estratégia (trocar ou não trocar no passo 4) que maximiza a chance de ganhar o carro. Teste o jogo aqui. Assista ao show aqui.

— Modelo probabilístico —

Chamamos de experimento qualquer processo que nos fornece um resultado, particularmente, estamos interessados em experimentos idealizados e que quando repetido sob as mesma condições não necessariamente fornece o mesmo resultado, por exemplo, o lançamento de um dado. O espaço amostral de um experimento, denotado por ${\Omega}$ , é conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.

Exemplo 3 São experimentos com os respectivos espaços amostrais

lançamento de dado
$\displaystyle \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$

lançamento de moeda
$\displaystyle \Omega = \{\mathrm{Ca},\mathrm{Co}\}$

lançamento de moeda até sair Coroa
$\displaystyle \Omega = \big\{ (\mathrm{Co}), (\mathrm{Ca,Co}), (\mathrm{Ca,Ca,Co}), (\mathrm{Ca,Ca,Ca,Co}),\dots \big\}$

a altura em metros de um brasileiro escolhido ao acaso
$\displaystyle \Omega = \{h\in{\mathbb R}\colon h > 0\}$

sortear um ponto no círculo de raio ${1}$ e centro na origem do plano cartesiano
$\displaystyle \Omega =\{(x,y)\in{\mathbb R}^2 \colon x^2+y^2 \leq 1\}$

Notemos que os resultados do experimento 4 estão superestimado no sentido de que não é possível ocorrência do resultado ${20,48\,\mathrm{m}}$ , por exemplo. O que é importante no espaço amostral é que

para cada resultado do experimento existe um, e só um, elemento de ${\Omega}$ associado a ele;
resultados diferentes estão associados a elementos diferentes de ${\Omega}$ .

Se o espaço amostral é enumerável então ele é chamado de espaço amostral discreto. Caso contrário, o espaço é chamado de espaço amostral contínuo.

Exemplo 4 São espaços discretos os espaços amostrais dos experimentos ${1}$ , ${2}$ e ${3}$ dados no exemplo 3 acima. Os experimentos ${4}$ e ${5}$ têm espaços contínuos.

Um subconjunto de ${\Omega}$ é chamado de evento, e em especial

${\emptyset}$ é o evento impossível.
${\Omega}$ é o evento certo.
${\{\omega\}}$ é um evento elementar para cada elemento ${\omega \in \Omega}$ .
o complemento do evento ${A}$ é o evento não- ${A}$ dado por
$\displaystyle \overline{A} = \Omega \setminus A =\{\omega\in\Omega\colon\omega\not\in A\}.$

Na realização de um experimento o evento ${A}$ ocorre se o resultado é um elemento de ${A}$ , por conseguinte, o evento complementar de ${A}$ é o evento em que ${A}$ não ocorre.

Exemplo 5 No lançamento de dados, ${\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}}$ , são eventos

${A=\{2,4,6\}}$ , i.e., ${A}$ é o evento “ocorre número par”;
${\overline A=\{1,3,5\}}$ , i.e., ${\overline A}$ é o evento “não ocorre número par”;
${B=\{4,5,6\}}$ , i.e., ${B}$ é o evento “ocorre um resultado ${> 3}$ ”;
${C=\{4\}}$ , i.e., ${C}$ é o evento “ocorre o resultado ${4}$ ”;

também são eventos

${A\cap \overline A = \emptyset}$ , i.e., ${A\cap \overline A }$ é o evento “ocorre um número par e ocorre um número ímpar”, que é o evento impossível;
${A\cup \overline A = \Omega}$ , i.e., ${A\cup \overline A }$ é o evento “ocorre par ou ocorre ímpar”, que é o evento certo;
${B \cap C =\{4\}}$ , i.e., ${B\cap C }$ é o evento “ocorre um número ${> 3}$ e ocorre ${4}$ ”;
${B \cap A =\{4,6\}}$ ,i.e., ${B\cap A}$ é o evento “ocorre número ${> 3}$ e ocorre número par”.

Notação	Conjunto	Evento
${\Omega}$	universo	espaço amostral, evento certo
${\emptyset}$	conjunto vazio	evento impossível
${\omega}$	elemento	evento elementar, resultado
${A}$	subconjunto	evento ${A}$ ocorre
${\overline{A}}$	complemento com relação a ${\Omega}$	evento ${A}$ não ocorre
${A\cap B}$	intersecção	ocorre ${A}$ e ${B}$
${A\cup B}$	união	ocorre ${A}$ ou ${B}$
${A\Delta B}$	diferença simétrica	ocorre ${A}$ ou ${B}$ , não ambos
${A\subset B}$	inclusão	se ocorre ${A}$ , então ocorre ${B}$

${A}$ e ${B}$ são eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, ${A \cap B = \emptyset}$ . Uma sequência de eventos é dita de eventos mutuamente exclusivos se os eventos são mutuamente exclusivos quando tomados dois-a-dois.

Exercício 17 Sejam ${A}$ , ${B}$ e ${C}$ eventos. Determine expressões para

somente ${A}$ ocorre;
${A}$ e ${B}$ mas não ${C}$ ocorrem;
os três eventos ocorrem;
pelo menos um evento ocorre;
pelo menos dois eventos ocorrem;
exatamente um evento ocorre;
exatamente dois eventos ocorrem;
nenhum evento ocorre;
não mais que dois eventos ocorrem.

Uma medida de probabilidade é uma função que atribui para os eventos de um espaço amostral fixo, ${A\subset \Omega}$ , um real ${\mathop{\mathbb P}(A)}$ satisfazendo

(A1) — ${0 \leq \mathop{\mathbb P}(A) \leq 1}$ ;
(A2) — ${\mathop{\mathbb P}(\Omega) = 1}$ ;
(A3) — ${\mathop{\mathbb P}\left( \bigcup_{i\geq1} A_i \right)= \sum_{i\geq1} \mathop{\mathbb P}(A_i) }$ se ${\{A_i\}_{i\geq1}}$ é qualquer sequência de eventos mutuamente exclusivos.

Exemplo 6 (probabilidade do evento impossível) A probabilidade de ${\emptyset}$ é ${0}$ pois fazendo ${A_1=\Omega}$ e ${A_i=\emptyset}$ para todo ${i\geq 2}$ temos por A3 que

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(\Omega) = \mathop{\mathbb P} ( \Omega \cup \emptyset\cup \emptyset\cup \cdots \cup\emptyset) = \mathop{\mathbb P}(\Omega) +\sum_{i\geq 0}\mathop{\mathbb P}(\emptyset)$

portanto, por A1 resta que ${\mathop{\mathbb P}(\emptyset)=0}$ .

Exemplo 7 (probabilidade de uma união finita de eventos disjuntos) Se ${A_1,A_2,\dots,A_n}$ é qualquer sequência de eventos mutuamente exclusivos então

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}\left( \bigcup_{i= 1}^n A_i \right) =\sum_{i=1}^n \mathop{\mathbb P}(A_i) \ \ \ \ \ (6)$

pois podemos fazer ${A_i=\emptyset}$ para todo ${i>n}$ e por A3

$\displaystyle \begin{array}{rcl} \mathop{\mathbb P}\left( \bigcup_{i= 1}^n A_i \right) &=& \mathop{\mathbb P}\left( \bigcup_{i\geq 1} A_i \right) = \sum_{i\geq1} \mathop{\mathbb P}(A_i) = \sum_{i=1}^n \mathop{\mathbb P}(A_i)+ \\ &+& \sum_{i>n} \mathop{\mathbb P}(\emptyset) = \sum_{i=1}^n \mathop{\mathbb P}(A_i) \end{array}$

Independente da interpretação e da darinalidade do espaço amostral sempre valem as seguintes propriedades

(P1) — ${\mathop{\mathbb P}(E) + \mathop{\mathbb P}(\overline E) = 1}$

(P2) — se ${A \subseteq B}$ então ${\mathop{\mathbb P}(A) \leq \mathop{\mathbb P}(B)}$ ;

(P3) regra da adição — ${\mathop{\mathbb P}(A\cup B) = \mathop{\mathbb P}(A) + \mathop{\mathbb P}(B) - \mathop{\mathbb P}(A\cap B)}$ .

Exercício Prove que valem tais propriedades dadas acima.

Modelo probabilístico discreto. No caso de espaço amostral discreto, todo experimento tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos

O espaço amostral ${\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\dots\}}$
A probabilidade
$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(\omega) \stackrel{\text{\tiny def}}{=}\mathop{\mathbb P}(\{\omega\})$

para cada evento elementar de modo que:
(A1′) ${0\leq \mathop{\mathbb P}(\omega_i) \leq 1}$ , para todo ${i}$ , e
(A2′) ${\mathop{\mathbb P} (\Omega ) = \mathop{\mathbb P}(\{\omega_1, \omega_2 ,\dots \}) = \sum_{i\geq 1} \mathop{\mathbb P}( \omega_i ) = 1.}$

Se A é um evento, então

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}( A) \stackrel{\text{\tiny def}}{=} \sum_{\omega_i\in A} \mathop{\mathbb P}( \omega_i )$

Exemplo 8 No caso do lançamento de um dado é usual atribuirmos a probabilidade ${1/6}$ a cada uma das faces, o que é interpretado como todas as faces serem equiprováveis. A partir daí é natural definir para qualquer evento ${A}$ a probabilidade

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(A) =\frac{|A|}6$

que é o modo clássico de interpretar probabilidade no caso finito.

Exercício 18 (eventos equiprováveis em espaços finitos) Prove que se ${\Omega}$ é finito e todos eventos elementares têm a mesma probabilidade de ocorrer então para todo ${A\subset \Omega}$ vale que ${\mathop{\mathbb P}(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}}$ .

(Antes dos próximos exemplos pode ser útil ler esse resumo)

Exemplo 9 Escolhemos um inteiro positivo ao acaso, a probabilidade de escolher ${i}$ é ${(\frac 12)^i}$ . Estendemos a probabilidade a qualquer evento ${A}$ pondo

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(A) = \sum_{a\in A} \mathop{\mathbb P}\big(\{a\}\big).$

A probabilidade de escolher um número par é

$\displaystyle \sum_{\substack{a\in A\\a\textrm{ par}}} \mathop{\mathbb P}\big(\{a\}\big) = \sum_{k\geq 1} \left( \frac 12 \right)^{2k} = \sum_{k\geq 1} \left( \frac 14 \right)^{k} = \frac 13.$

Exemplo 10 Um casal é escolhido ao acaso e ${(i,j)\in{\mathbb N}\times{\mathbb N}}$ representa o número de filhos e o número de filhas do casal. Admitamos que

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}\big(\{(i,j)\}\big) = \frac 1{2^{i+j+2}}$

qual é a probabilidade de um casal não ter filho? O evento é dado por ${A=\big\{(0,j)\colon j\in{\mathbb N}\big\}}$ e

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(A) = \sum_{j\geq 0} \frac 1{2^{j+2}} = \frac 12.$

Você acho isso um modelo realista?

Exercício 19 Verifique que ${\mathop{\mathbb P}}$ dos dois exemplos anteriores é uma medida de probabilidade.

Exemplo 11 (Lançamento(s) de uma moeda equilibrada) Uma moeda equilibrada é lançada

${\Omega = \{\mathrm{{Ca}, {Co}}\}}$ ;
${\mathop{\mathbb P}(\mathrm{Ca}) = \mathop{\mathbb P}(\mathrm{Co}) = 1/2}$ ;

Uma moeda equilibrada é lançada até sair coroa

${\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\dots\}}$ , onde ${\omega_i = c_{1}c_{2}\dots c_i}$ com ${ c_j = \begin{cases} \mathrm{Co}& \textrm{ se }j=i\\ \mathrm{Ca}& \textrm{ se } 1\leq j<i \end{cases} }$
${\mathop{\mathbb P}(\omega_{i}) = \left( \frac 12 \right)^{i}}$ .

Notemos que

$\displaystyle \sum_{\omega_i\in\Omega}\mathop{\mathbb P} (\omega_i)= \sum_{i\geq1} 2^{-i}=1$

além disso, ${0<\mathop{\mathbb P} (\omega_i)<1}$ para todo ${\omega_i}$ .

Modelo probabilístico contínuo. No caso contínuo temos um pouco mais de trabalho, como mostra o seguinte exemplo.

Exemplo 12 (um modelo contínuo) Consideremos o experimento 5 do exemplo 3 e interpretemos a probabilidade de um evento ${A\subset \Omega}$ como a área de ${A}$ proporcionalmente a de ${\Omega}$ , i.e.,

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(A) = \frac{\textrm{\'Area}(A)}{\pi}.$

Como não é possível definir área para todo subconjunto do plano, alguns eventos não tem uma probabilidade associada.

Nesse caso, $\mathbb P$ é definida sobre uma família ${\mathcal A}$ de todos os eventos aos quais são atribuídos uma probabilidade, chamados de eventos mensuráveis, que deve satisfazer

${\Omega \in \mathcal A}$ ;
se ${A\in\mathcal A}$ então ${\overline A\in\mathcal A}$ ;
se ${A_i \in\mathcal A}$ para todo ${i\geq 1}$ , então ${ \bigcup_{i\geq1} A_i\in \mathcal A}$ ;

uma família de subconjuntos como acima é dita ${\sigma}$ -álgebra de subconjuntos de ${\Omega}$ .

Exercício 20 Mostre que se ${\Omega}$ é finito então ${2^\Omega}$ é uma ${\sigma}$ -álgebra.

Modelo probabilístico. Sabendo que nem sempre é possível definir probabilidade para todo evento estabelecemos que um Modelo Probabilístico para um experimento consiste de

um espaço amostral ${\Omega}$ ;
uma $\sigma$ -álgebra ${\mathcal A}$ de eventos mensuráveis;
uma medida de probabilidade ${\mathop{\mathbb P}\colon \mathcal A \rightarrow \mathbb R}$ .

Observação 1 (sobre o item 2 de Modelo Probabilístico) Mais forte que o fato novo descrito no exemplo 11 acima é o de que não há medida de probabilidade que possa ser definida para todo evento desse exemplo, esse é um resultado difícil para mostrar aqui. Isso ocorre em espaços amostrais não-enumeráveis, há casos em que não é possível definir ${\mathop{\mathbb P}(E)}$ para todo ${E\subset \Omega}$ quando ${\Omega}$ é infinito não-enumerável.

Decorre daí que família ${\mathcal A}$ é uma necessidade técnica e sua compreensão vai muito além do que precisamos e podemos compreender nesse momento.

Nós não vamos nos preocupar com esse fato nessa disciplina pois para os eventos de nosso interesse ${\mathop{\mathbb P}}$ estará sempre definida.

Exemplo 13 (Modelo probabilístico — Monty-Hall) No caso do Monty Hall, consideremos o experimento que consiste das seguintes três etapas

uma porta é escolhida ao acaso e o carro é colocado atrás dessa porta;
uma porta é escolhida pelo jogador;
Monty revela uma porta que não esconde o carro.

O espaço amostral é

$\displaystyle \begin{array}{rcl} \begin{matrix} \Omega = & \Big\{ (1,1,2), & (1,1,3), & (1,3,2), & (1,2,3), \\ & (2,2,1), & (2,2,3), & (2,3,1), & (2,1,3), \\ & (3,3,1), & (3,3,2), & (3,1,2), & (3,2,1)\Big\} \\ \end{matrix} \end{array}$

em que cada terna significa

(porta do carro,escolha inicial,porta revelada).

A medida de probabilidade está difinida no diagrama a seguir

Os eventos de interesse são

$\displaystyle \begin{array}{rcl} A &\equiv& \text{"o~ jogador~ vence ~trocando~ de ~porta"} \\ A & = & \{{(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)} \} \\ B &\equiv& \text{"o~ carro~ est\'a~ na~ porta~ escolhida~ inicialmente"} \\ B &=& \{(1, 1, 2), (1, 1, 3), (2, 2, 1), (2, 2, 3), (3, 3, 1), (3, 3, 2)\} \end{array}$

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(B) = \mathop{\mathbb P}\big( \{(1, 1, 2), (1, 1, 3), (2, 2, 1), (2, 2, 3), (3, 3, 1), (3, 3, 2)\}\big)$

$\displaystyle = \frac 13$

Exercício 22 Pra pensar:

Um chapéu contém três cartas. Uma é verde em ambas as faces, outra é laranja em ambos os lados, a última tem uma face de cada cor.
Uma das três cartas é selecionada aleatoriamente e um dos lados é exibido; é laranja.
Qual é a probabilidade de que o outro lado seja laranja?
Um argumento comum diz: “Não pode ser a carta verde-verde. Se for verde-laranja, então o outro lado é verde, enquanto se for no cartão de laranja-laranja, o outro lado é laranja. Uma vez que essas possibilidades são igualmente prováveis, o outro lado é igualmente provável de ser verde ou laranja.”
Essa conclusão está errada.

Exercício 23 Sejam ${ A_1,A_2,\dots,A_n}$ eventos. Prove que

$\displaystyle \begin{array}{rcl} && \mathop{\mathbb P} \left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n \mathop{\mathbb P}(A_i) - \sum_{1\leq i< j \leq n} \mathop{\mathbb P}(A_i \cap A_j) + \cdots \\ +&& (-1)^{k+1}\sum_{1\leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} \mathop{\mathbb P}(A_{i_1} \cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_k}) +\cdots \\ &&+ (-1)^{n+1} \mathop{\mathbb P}(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) \end{array}$

A soma

$\displaystyle \displaystyle (-1)^{k+1}\sum_{1\leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} \mathop{\mathbb P}(A_{i_1} \cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_k})$

é feita ao longo dos ${\binom nk}$ subconjuntos de ${k}$ de elementos de ${\{1,2,\dots,n\}}$ .

Exercício 24 Suponha que ${N}$ pessoas chegam de chapéu em uma festa e deixam seu chapéu na entrada. Ao ir embora da festa, cada pessoa pega um chapéu ao acaso. Qual é a probabilidade que nenhuma pessoa pegue o próprio chapéu? (dica: considere o evento “o ${i}$ -ésimo a sair pega o próprio chapéu” e determine a probabilidade que pelo menos uma pessoa pegue o próprio chapéu)

Exercício 25 (continuidade de ${\mathop{\mathbb P}}$ ) Seja ${A_n}$ , ${n\geq 1}$ , uma sequência de eventos. Essa sequência é

crescente se ${A_1\subset A_2 \subset \cdots \subset A_n\subset A_{n+1} \subset \cdots}$ . Nesse caso, definimos
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \bigcup_{n\geq 1}A_n.$

decrescente se ${A_1\supset A_2 \supset \cdots \supset A_n\supset A_{n+1} \supset \cdots}$ . Nesse caso, definimos
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} A_n = \bigcap_{n\geq 1}A_n.$

Prove que em ambos os casos

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \mathop{\mathbb P}(A_n) = \mathop{\mathbb P}( \lim_{n\rightarrow\infty} A_n).$

Exercício 26 Uma moeda equilibrada é lançada repetidamente. Mostre que o resultado $\mathrm{cara}$ ocorre com probabilidade ${1}$ .

Problema: Uma urna contém bolas ${k}$ pretas e uma única bola vermelha. Pedro e Paula sorteiam bolas sem reposição alternadamente até que a bola vermelha é extraída. O jogo é ganho pelo jogador que jogar por último. Pedro é um cavalheiro oferece a Paula a opção de escolher se ela quer começar ou não. Paula tem um palpite de que ela tem mais chance se ela começar, afinal, ela pode ter sucesso no primeiro sorteio. Por outro lado, se o seu primeiro sorteio produz uma bola preta, então a chance de Pedro ganhar em seu primeiro sorteio é aumentada, já que a urn atem uma bola preta a menos. Como Paula deve decidir a fim de maximizar sua probabilidade de ganhar?

— Espaços de probabilidades —

Probabilidade pode ser estudada do ponto de vista formal/abstrato sem se referir a experimentos e sem que os números associados aos eventos tenham qualquer interpretação. De fato, a Probabilidade é uma disciplina matemática que é estudada independentemente da natureza dos números que definem a função.

Um espaço de probabilidade é uma tripla ${(\Omega,\mathcal E,\mathbb P)}$ tal que

${\Omega}$ é um conjunto chamado espaço amostral;
${\mathcal E}$ é uma ${\sigma}$ -algebra de eventos;
${\mathop{\mathbb P}:\mathcal E \rightarrow {\mathbb R}}$ é uma medida de probabilidade.

Todo modelo probabilístico corresponde a um espaço de probabilidades e todo espaço de probabilidades corresponde a um experimento ideal.

Notas de aula

Jair Donadelli

Probabilidade, introdução

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