Principais modelos contínuos

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Uma variável aleatória ${X}$ é contínua se sua função de distribuição acumulada ${F}$ pode ser escrita como

$\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)\mathrm{d}t.$

para alguma função integrável ${f}$ chamada função de densidade de probabilidade (f.d.p.) de ${X}$ e valem

${f(x) \geq 0 }$ para todo ${x\in {\mathbb R}}$ ;
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x = 1$ ;
$\mathop{\mathbb P}(a\leq X\leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$ para todo ${a\leq b}$ ;

O valor esperado de ${X}$ e a variância de ${X}$ são dados, respectivamente, por

$\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X) =\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\mathrm{d}x$

$\mathrm{Var}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mathop{\mathbb E}(X))^2f(x)\,\mathrm{d}x = \mathop{\mathbb E}(X^2) - \mathop{\mathbb E}(X)^2.$

— Distribuição uniforme contínua —

Uma v.a. contínua ${X}$ tem distribuição uniforme no intervalo ${[a,b]}$ , para ${a<b}$ se sua f.d.p. é

$\displaystyle f(x)= \begin{cases} \frac 1{b-a}, &\textrm{ se } x\in[a,b]\\ 0 &\textrm{caso contr\'ario} \end{cases}$

e denotamos esse fato por ${X \sim \mathrm{Uniforme}([a,b])}$ .

A média e a variância são

$\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X) = \int_a^bx\frac1{b-a}\mathrm{d}x = \frac{a+b}2$

$\displaystyle \mathrm{Var}(X) = \int_a^b x^2 \frac1{b-a}\mathrm{d}x - \left(\frac{a+b}2 \right)^2= \frac{(b-a)^2}{12}$

Exemplo 73 Num teste, tubos de PVC de ${6\mathrm{m}}$ são submetidos a grande pressão d’água até que o primeiro vazamento ocorra. A distância do início do tubo até o vazamento é anotada. ${X\sim\mathrm{Uniforme}([0,6])}$ denota a distância anotada para um tubo escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o vazamento esteja a ${\leq 1\mathrm{m}}$ das extremidades?

$\displaystyle \mathop{\mathbb P} \big( \{0\leq X\leq 1\} \cup \{5\leq X\leq6\}\big) = \mathop{\mathbb P}( 0\leq X\leq1 ) + \mathop{\mathbb P}(5\leq X\leq6) = \int_0^1 \frac 16 \mathrm{d}x + \int_5^6 \frac 16 \mathrm{d}x = \frac 13$

Exemplo 74 Seja ${g\colon [0,1]\rightarrow[0,1]}$ uma função contínua. Se ${X \sim\mathrm{Uniforme}([0,1])}$ com f.d.p. ${f}$ , então

$\displaystyle \mu = \mathop{\mathbb E}(g(X)) = \int_0^1 g(x)f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 g(x)\mathrm{d}x$

e

$\displaystyle \sigma^2 = \mathop{\mathbb E}(Y -\mu)^2 = \int_0^1(g(x)-\mu)^2\,\mathrm{d}x < 1$

pois ${|g(x) - \mu| \leq 1}$ .

Agora, sejam ${X_1,\dots, X_n}$ valores escolhidos aleatoriamente em ${[0,1]}$ de acordo com a distribuição uniforme. Uma estimativa para a integral de ${g}$ no intervalo ${[0,1]}$ é obtida tomando a média

$\displaystyle A_n = \frac{g(X_1)+\cdots+g(X_n)}n.$

Pela desigualdade de Chebyshev

$\displaystyle \mathop{\mathbb P} \left( |A_n - \mu| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} < \frac 1{n\varepsilon^2}$

para qualquer erro ${\varepsilon >0}$ . Por exemplo, para ${\varepsilon = 0,001}$ , se ${n=100.000.000}$ então ${\big| A_n - \int_0^1 g(x)\mathrm{d}x \big| < 0,001}$ com probabilidade ${> 0,99}$ .

Exercicio 65 Determine a f.d.a. de ${X\sim \mathrm{Uniforme}([a,b])}$ e esboce o seu gráfico.

— Distribuição Exponencial —

Uma v.a. contínua ${X}$ tem distribuição exponencial com parâmetro ${\alpha>0}$ , e denotamos esse fato por ${X \sim \mathrm{Exp}(\alpha)}$ , se assume valores não-negativos e se sua f.d.p. é

$\displaystyle f(x)= \begin{cases} \alpha\mathrm{e}^{-\alpha x}, &\textrm{ se } x\geq 0\\ 0 &\textrm{caso contr\'ario.} \end{cases}$

A média e a variância de ${X\sim \mathrm{Exp}(\alpha)}$ é

$\displaystyle \mathop{\mathbb E}(X) = \int_0^\infty x \alpha \mathrm{e}^{-\alpha x} \mathrm{d}x = \frac 1{\alpha},$

$\displaystyle \sigma^2 = \mathrm{Var}(X) = \int_0^\infty x^2 \alpha \mathrm{e}^{-\alpha x} \mathrm{d}x - \left( \frac 1{\alpha} \right)^2 = \frac 1{\alpha^2}.$

Exemplo 75 Seja ${X\sim \mathrm{Exp}(0,2)}$ o intervalo de tempo (em ${\mathrm{min}}$ ) entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa.

A probabilidade de haver uma emissão em ${<2\, \mathrm{min}}$ é

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(X < 2) = \int_0^2 0,2\mathrm{e}^{-0,2x} = 0,33$

A probabilidade do intervalo ser ${\geq 7}$ dado que foi ${\geq 5}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathop{\mathbb P}(X\geq7~|~X\geq 5) &=& \frac{\mathop{\mathbb P}( [X\geq7] \cap [X\geq 5 ])}{\mathop{\mathbb P}(X\geq5)} = \frac{\mathop{\mathbb P}(X\geq7)}{\mathop{\mathbb P}(X\geq5)}\\ \displaystyle &=& \frac{\int_7^\infty 0,2\mathrm{e}^{-0,2x}\mathrm{d}x}{ = \int_5^\infty 0,2\mathrm{e}^{-0,2x}\mathrm{d}x} = 0,67 \end{array}$

Notemos que, no exemplo acima, ocorreu de ${\mathop{\mathbb P}(X\geq7~|~X\geq 5) = \mathop{\mathbb P}(X\geq 2)}$ . Dizemos que uma variável aleatória ${X}$ é sem memória se

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(X> s+t ~|~X>t) = \mathop{\mathbb P}(X>s) \ \ \ \ \ (27)$

para quaisquer ${s,t\geq 0}$ .

Exercício 66 Prove que ${X\sim \mathrm{Exp}(\alpha)}$ é sem memória.

Exercício 67 Determine a f.d.a. de ${X\sim \mathrm{Exp}(\alpha)}$ e esboce o seu gráfico.

Exercício 68 Seja ${X}$ uma v.a. contínua que interpretamos como a vida útil (tempo) de um item, sejam ${F}$ e ${f}$ a f.d.a. e f.d.p. de ${X}$ , respectivamente. A taxa de falhas é a função definida por

$\displaystyle \lambda(t) = \frac{f(t)}{1-F(t)}.$

De um argumento que mostra que ${\lambda}$ pode ser interpretada como a probabilidade (condiciona a idade) de que um item com idade ${t}$ apresente falha (i.e., ${\mathop{\mathbb P}(t<X<t+\Delta t~|~X>t)}$ ).

Determine ${\lambda(t)}$ no caso ${X\sim \mathrm{Exp}(\alpha)}$ .

Exemplo 76 Suponha que um sistema contenha componentes cujo tempo de falha é ${T\sim\mathrm{Exp}(1/5)}$ em anos. Se 5 desses componentes são instalados em sistemas diferentes, qual é a probabilidade de que pelo menos 2 ainda estejam funcionando no final de 8 anos?

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(T > 8) = \frac 15 \int_8^\infty \mathrm{e}^{-t/5}\,\mathrm{d}t =0,2$

assim, se ${X}$ é a quantidade de componentes funcionando após 8 anos

$\displaystyle \mathop{\mathbb P}(X\geq 2)= \sum_{x=2}^5 \mathrm{Bi}_{5,0.2}(x) = 1- \sum_{x=0}^1 \mathrm{Bi}_{5,0.2}(x) = 0,26.$