bc1414 – Função geradora de probabilidade e soma de variáveis independentes

Se ${a_0,a_1,a_2,\dots}$ é uma sequência de números reais e

$\displaystyle A(s) = \sum_{i\geq 0} a_is^i$

converge em algum intervalo então ${A(s)}$ é uma função geradora da sequência ${(a_i)_i}$ . Por exemplo,

$\displaystyle \frac 1{1-s} = 1+s+s^2+s^3+\cdots$

é função geradora da sequência ${1,1,1,\dots}$

$\displaystyle \mathrm{e}^s = 1+ \frac s1 +\frac {s^2}{2!} + \frac {s^3}{3!}+\cdots$

é função geradora da sequência ${1/j!}$ e

$\displaystyle \frac 1{\sqrt{1-4s}} = \sum_{k\geq 0}\binom{2k}ks^k$

é função geradora da sequência ${\binom{2k}k}$ .

Exemplo 1 Se ${X}$ é o resultado do lançamento de um dado, então a função geradora para a função de probabilidade de ${X}$ é

$\displaystyle D(s) = \frac 16( s+s^2+s^3+s^4+s^5+s^6)$

e notemos que a função de probabilidade para a soma do lançamento de dois dados

$\displaystyle \begin{array}{rcl} D(s)D(s) &=& \frac 1{36}( s+s^2+s^3+s^4+s^5+s^6)( s+s^2+s^3+s^4+s^5+s^6) \\&=& \frac 1{36}( s^2+ 2s^3+3s^4+4s^5+5s^6+5s^7+5s^8+5s^9+3s^{10}+2s^{11}+s^{12} ) \end{array}$

Se ${X}$ assume valores naturais, a função geradora de probabilidade de ${X}$ é a função geradora da função de massa de probabilidade de ${X}$

$\displaystyle P_X(s) := \mathop{\mathbb E}(s^X) = \sum_{i\geq 0}\mathop{\mathbb P}(X=i)s^i.$

Como $P(1)=1$ a série converge absolutamente para, pelo menos, todo ${s\in(-1,1)}$ . Derivando ${P}$ com relação a ${s}$

$\displaystyle P'(s) = \sum_{i\geq 1} i \mathop{\mathbb P}(X=i) s^{i-1}$

portanto

${P'(1) = \mathop{\mathbb E}(X).}$

Exercício 9 Mostre que

${\mathrm{Var}(X) = P''(1)+P'(1)- P'(1)^2.}$

Se ${X}$ e ${Y}$ são v.a. independentes então ${s^X}$ e ${s^Y}$ são independentes, portanto, ${\mathop{\mathbb E}(s^{X+Y})=\mathop{\mathbb E}(s^Xs^Y) = \mathop{\mathbb E}(s^X)\mathop{\mathbb E}(s^Y)}$ ou seja,

$\displaystyle P_{X+Y}(s) = P_X(s)P_Y(s)$

e, usando indução

$\displaystyle P_{X_1+\cdots+X_n}(s) = P_{X_1}(s)\cdots P_{X_n}(s)$

agora

Teorema 1 Se ${X_1,X_2,\dots}$ é uma sequência de v.a. independentes e de mesma distribuição e com função geradora ${P_X}$ e se ${N}$ é uma v.a. independente das demais v.a. e tem função geradora ${P_N}$ , então a soma ${X_1+\cdots+X_N}$ tem função geradora

${P_{X_1+\cdots+X_N}(s) = P_N(P_X(s)).}$

De fato,

$\displaystyle P_{X_1+\cdots+X_N}(s) = \mathop{\mathbb E}(s^{X_1+\cdots+X_N}) = \mathop{\mathbb E}\big( \mathop{\mathbb E}(s^{X_1+\cdots+X_N}~|~N) \big)$

e o lado direito vale

$\displaystyle \sum_ n \mathop{\mathbb E}(s^{X_1+\cdots+X_N}~|~N=n) \mathop{\mathbb P}(N=n)= \sum_ n \mathop{\mathbb E}(s^{X_1+\cdots+X_n}) \mathop{\mathbb P}(N=n)$

e pela independência ficamos com

$\displaystyle \sum_n \mathop{\mathbb E}(s^{X_1})\cdots \mathop{\mathbb E}(s^{X_n}) \mathop{\mathbb P}(N=n)= \sum_n P_X(s)^n \mathop{\mathbb P}(N=n) = P_N ( P_X(s)).$

— Sobre convergência —

Acima, não nos preocupamos com a convergência das séries mas podemos diferenciar, ou integrar, como fizemos acima para ${\mathop{\mathbb E}(X)=P_X'(S)}$ ? Embora não seja óbvio, é sempre seguro assumir convergência de ${P_X(s)}$ quando ${|s|<1}$ .

A função geradora de probabilidade de uma v.a. que assume valores nos naturais

$\displaystyle \mathop{\mathbb E}(s^X) = \sum_{i\>0}f_X(i)s^i$

converge (absolutamente) para todo ${s,~|s| <R}$ e

$\displaystyle R= \frac 1{\displaystyle\limsup_{i\rightarrow\infty}|f_X(i)|^{1/i}}$

e diverge se ${|s|>R}$ . O número ${R}$ sempre existe, no nosso caso ${R\geq 1}$ , e é chamado de raio de convergência. ${P_X(s)}$ pode ser derivada e integrada, qualquer número de vezes, dentro do raio de convergência.

Um teorema devido a Abel garante que ${\lim_{s\uparrow 1}P_X(s)= P_X(1) = \sum_{i\geq 0}f_X(i)}$ , ou seja a função geradora é contínua a esquerda em ${s=1}$ . Assim, escrevemos ${P_X(1)}$ como abreviação de ${\lim_{s\uparrow 1}P_X(s)}$ .